Chuyên đề 1:Căn thức các phép biến đổi căn thức

Chuyên đề 1 
CĂN THỨC
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
 Kiến thức bổ sung : 
1. Bất đẳng thức Côsi :
a . Với a > 0, b > 0 thì < (dấu bằng “=” xảy ra Û a = b) 
b . Với a > 0, b > 0, c > o thì > 
c . Với n các số không âm a1,a2, . . .,an thì > 
(dấu bằng “=” xảy ra Û a1 = a2=. . . =an)
2 . Bất đẳng thức BuNhia-Côpxki :
a . Mỗi bộ có hai số (a1,a2), (b1,b2)
(a1b1+a2b2)2 < (a12 + a22)( b12 + b22)
b . Mỗi bộ có n số (a1,a2,. . .,an), (b1,b2,. . .,bn)
(a1b1+a2b2+ . . .+anbn)2 < (a12 + a22+. . . + an2)( b12 + b22+ . . . +bn2)
(dấu bằng “=” xảy ra Û = =. . . = 
Qui ước : Nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0
A / CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI – HẰNG ĐẲNG THỨC = .
Bài 1 : Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa :
a /	b /	c / 	d / 
Bài 2 : Cho 	A = + 
B = + 
a / Tìm x để A, B có nghĩa b / Rút gọn A, B c / Giải phương trình A + B = 5x 
Bài 3 : Cho biểu thức A = 
	a / Tìm điều kiện xác định của A b / Rút gọn A 
Gợi ý giải :
a / Biến đổi A = 
Điều kiện để A có nghĩa :x > x – 2 Û Û Û x > 1 
b / Nếu x > 2 thì A = = 
Nếu 1 < x < 2 thì A = = 
Bài 4 : Cho a, b là các số dương thỏa điều kiện : a2 = b + 3992 và x, y, z là các số dương thỏa : 
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P sau đây không phụ thuộc vào x, y, z 
P = x + y + z 
Hướng dẫn : 
Đặt a = (x + y + z)2 
Û a = (x2 + y 2 + x2 ) + 2 (xy + yz + zx) = b + 2(xy + yz + zx) 
Do đó : xy + yz + zx = 
Nên xy + yz + zx = 1996 
Ta có : 1996 + x2 = xy + yz + zx + x2 = (x + y)(x + z) 
 1996 + z2 =(z + x)(z + y)
Do đó : P = x + y + z 
P = x(y + z) + y(x + z) + z(x + y) = 2 (xy + yz + xz) = 3992 
Bài 5 : 
a / Cho a, b, c là số hữu tỉ khác 0 và a = b + c 
Chứng minh : là số hữu tỉ 
	b / Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ khác nhau đôi một .
Chứng minh : A = là số hữu tỉ 
Giải : a / Ta có : + + = (––)2 + 2(+–) = (––)2 + 2 = (––)2 	(vì a = c + b)
Þ =
Do a, b, c là số hữu tỉ khác 0 nên là số hữu tỉ .
	b / Tương tự câu a .
Bài 6 : Rút gọn biểu thức :
M = 
Giải :
Điều kiện xác định : –1 < x < 1 
 Áp dụng công thức căn phức tạp ta tính được 
= + 
= + 
 (1 + x)3 – (1 – x)3 = (1 + x – 1 – x )(2 + 1 – x2 )
Vậy : M = 
M = ((1 + x) – (1 – x)) = x 
B / GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ :
	ª Một số phép biến đổi tương đương cơ bản :
	· Định lí 1 : = g(x) tương đương với hệ 
	· Định lí 2 : = f(x) Û f(x) = g2k + 1 (x) 
· Định lí 3 : = Û 
· Định lí 4 : = Û f(x) = g(x) 
ª Một số phương pháp giải :
1 / Phương pháp lũy thừa :
VD1 : Giải phương trình :
=– (1) 
Giải :
Û x > 
Khi đó : (1) Û + = 
Hai vế đều không âm nên ta bình phương 
= 1 – 2x 
Khi x > thì vế phải của phương trình âm nên phương trình vô nghiệm .
VD2  : Giải phương trình 
+ = 
Lập phương hai vế ta được :
x + 5 + 3 + 3 + x + 6 = 2x + 11 
Û (+ ) = 0
Û Û 
Đáp số : x = – 5 ; x = – 6 ; x = – 
2 / Phương pháp đặt ẩn số phụ :
VD1  : Giải phương trình 
2x – x2 + = 0 (­)
Giải :
Đặt t = Þ t > 0 và t2 = 6x2 – 12x + 7 khi đó 
(­) Û t2 – 6t – 7 = 0 Û t = 7 , t = –1 (loại) 
Vậy = 7 Û x2 – 2x – 7 = 0 
Û x = 1 – 2 hoặc x = 1 + 2 
VD2  : Giải phương trình 
5,(7x – 3) 3 + 8 5, (3 – 7x)3 = 7 (­)
Đặt t = 
Khi đó : = 
(­) Û t –= 7 Û t = –1 hoặc t = 8 
· t = –1 Û x = 
· t = 8 Û x = 5 
Vậy x = và x = 5
3 / Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
VD : Giải phương trình 
+ = 2 
Giải : 
Điều kiện : x > 1
+ = 2 
Û + 1 + = 2 
Û + = 1 
Nếu x > 2 thì + – 1 = 1 
Û= 1 Û x = 2 (không thuộc khoảng đang xét)
Nếu 1 < x < 2 thì + 1 – + 1 = 2 
Vô số nghiệm :1 < x < 2
Kết luận : 1 < x < 2 vô số nghiệm 
4 / Phương pháp bất đẳng thức : 
a / Chứng tỏ tập giá trị của 2 vế là khác nhau khi đó phương trình vô nghiệm :
VD : Giải phương trình 
– = (­)
Giải :
Û Û x > 1
Với điều kiện này ta có : 1 < 5 nên 1 < 5x . 
Do đó : < 
Nên vế trái của (­) là số âm , lại có : 2 > 1 nên 2x > 1 .
Do đó : 2x – 1 > 0 nên vế phải của (­) là số không âm . Vậy phương trình vô nghiệm 
b / Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế :
VD : Giải phương trình 
+ = x2 – 6x + 11 
Giải :
Điều kiện : Û 
Ta luôn có : x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + 2 > 2
 Áp dụng bất đẳng thức : > 
Vào vế trái ta được : + < 2 (dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 4 – x Û x = 3
Vậy 2 vế đều bằng nhau và bằng 2 khi x = 3 , nên x = 3 là nghiệm của phương trình 
c / Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức .
VD : Giải phương trình 
+ = 2
Giải :
Điều kiện : x + 2 > 0 Û x > 2 (­)
Ta có bất đẳng thức : 
a,b + b,a > 2 với a, b > 0 (dấu “=” xảy ra khi a = b 
Do đó phương trình tương đương : = x 
Điều kiện : x > 0 (­­) bình phương hai vế ta có :
x + 2 = x2 Û x2 – x – 2 = 0 Û 
Kết hợp điều kiện (­) và (­­) phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 2 
BÀI TẬP : Giải phương trình 
1 .–= 1 
2 . + = 4 – 2x – x2 
3 . + = 2 
4 . + + 2 = 4 – 2x 
5 . + = 1 
6 . + + = 1 
C / VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI TÌM CỰC TRỊ :
Chúng ta đã biết với a > 0 , b > 0 thì a + b > 2 (1) 	(dấu “=” xảy ra Û a = b) (BĐT Côsi) 
t Bất đẳng thức Côsi mở rộng đối với n số không âm :
Với a1, a2, . . ., an > 0 thì a1, + a2 + . . . + an > n 	(dấu “=” xảy ra Û a1 = a2 = . . . = an)
Với 2 số dương a, b từ bất đẳng thức (1) suy ra :
· Nếu ab = k (không đổi) thì Min (a + b) = 2 	(khi và chỉ khi a = b) 
· Nếu a + b = k (không đổi) thì Max (ab) = 	(khi và chỉ khi a = b)
Kết quả trên được mở rộng đối với n số không âm 
	· Nếu a1.a2 . . . an = k (không đổi) thì Min (a1, + a2 + . . . + an) = n 
(khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an) 
· Nếu a1, + a2 + . . . + an = k (không đổi) thì Max (a1.a2 . . . an) = ()n
(khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an)
Vận dụng bất đẳng thức Côsi có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 1 biểu thức .
t Biện pháp 1 : Để tìm cực trị của biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó .
VD : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A = + 
Giải : Điều kiện xác định : < x < 
A2 = (3x – 5) + (7 – 3x) + 2 
A2 < 2 + (3x – 5 + 7 – 3x) = 4 (dấu “=” xảy ra khi 3x – 5 = 7 – 3x Û x = 2)
Vậy A2 = 4 Þ Max A = 2 (khi và chỉ khi x = 2) 
t Biện pháp 2 : Nhân và chia biểu thức với cùng biểu thức khác 0 .
VD : Tìm giá trị lớn nhất A = 
Giải :
Điều kiện xác định : x > 9 
A = = < = = 
(daáu “=” xaûy ra Û = 3 Û x = 18) 
Vậy Max A = 1,3 (khi và chỉ khi x = 18)
t Biện pháp 3 : Biến đổi biểu thức đã cho thành 1 tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số .
1 . Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau :
VD : Cho x > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 
Giải :
A = 3x + = x + x + x + > 4 
A > 4 . 2 = 8 (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = Û x = 2)
Vậy Min A = 8 (khi và chỉ khi x = 2 )
2 . Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của 1 hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho . Có thể sai khác 1 hằng số .
VD : Cho 0 < x < 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = + 
Giải :
A = + + 1 
A > 2 + 1 = 7 
(dấu “=” xảy ra Û = Û x = )
Vậy Min A = 7 (khi và chỉ khi x = )
t Biện pháp 4 : Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho .
VD : Cho 3 số dương x, y, z thoả điều kiện : x + y + z = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
P = + + 
Giải : Vận dụng BĐT Côsi đối với 2 số dương : và . Ta được 
 + > 2 = x 
 Tương tự : + > y 
+ > z 
Vậy : ( + + )+ > x + y + z 
P > x + y + z – = 1 ( dấu “=” xảy ra Û x = y = z =)
Vậy Min P =1 (khi và chỉ khi x = y = z =)
BÀI TẬP :
1 . Cho x, y, z là các số dương thỏa điều kiện : x + y + z > 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = + + 
Giải :
 P2 = + + + 2 + 2 + 2 
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số dương ta được :
 + + + z > 4 = 4x 
+ + + x > 4 = 4y
 + + + y > 4 = 4z 
Do đó : P2 > 4 (x + y + z) – (x + y + z) = 3 (x + y + z)
P2 > 3 .12 = 36 (dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 4)
Vậy : Min P = 6 (khi và chỉ khi x = y = z = 4)
2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
A = (1 +) (1 +) (1 +) Cho 
Với x, y, z là các số dương thỏa điều kiện : x + y + z = a
3 . Cho a, b, c là các số dương thỏa điều kiện : a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
E = 
BÀI TẬP :
Dạng 1 : CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI 
Bài 1 : Rút gọn biểu thức : a / A = 
b / B = 
Với : 	i / x > 4
	ii / 2 < x < 4
Giải :
a / Ta có : A = = = = 
b / B = = = = 
	i / Với x > 4 thì 2x – 4 > 2 . Khi đó B = 
	ii / Với 2 < x < 4 thì < 2 . Khi đó B = 
 Bài 2 : Rút gọn biểu thức :
a / A = +	Với < x < 
b / B = (–)(++ ) 	x, y > 0 và x ¹ y 
Giải : 
a / Cách 1 : 
Tính A = + 
	= + 
	= + 
= + 
= + 1 + 1 –= 2
Þ A = 
Cách 2 : Tính A2 
A2 = 2x + + 2 + 2x – 
	= 4x + 2 = 4x + 2 = 4x + 2 = 4x = 2(1 – 2x) = 2 (vì 2x – 1 < 0)
Vì A > 0 nên A = 
b / Ta có :
C = (–)()
 = (–)() = = + 
Bài 3 : Tính tổng :
A = + + . . . + 
Từ đó suy ra rằng : 
B = + + . . . + > 86 
Giải :
Nhân các lượng liên hợp để khử căn ở mẫu ta được :
A = + + . . . + +
 = (– 1 ) +(– ) + ( –) + . . . +(– ) =– 1 
Suy ra :
B = + + . . . + > + + . . . + = 2A 
Þ B > 2 (– 1) > 2 (44 – 1 ) = 86 
Bài tập tự giải : Rút gọn biểu thức 
Bài 1 : Rút gọn biểu thức 
a / A =– 
b / B = (++) : (– 2 +) 
Kết quả :
A =	 ( x 4)
B =	(0 < x ¹ 4) 
Bài 2 : Cho M = – . Hãy rút gọn A = 1 –	( 0 < x < 1)
Hướng dẫn : 
Chú ý : x2 –= (– 1 ) = (– 1) (x + + 1 )
	x2 + = ( + 1 ) = ( +1) (x –+ 1 )
Þ A = = ( +1) (x –+ 1 )
Dạng 2 : CĂN BẬC BA – CĂN BẬC N 
Bài 1 : Chứng minh rằng nếu : 
+ = a (1) 
Thì : + = 
Giải :
Đặt = b và = c 	(b, c > 0) 
Khi đó : x2 = b3 và y2 = c3 
Thay vào (1) ta được :
+ = a 
Û + = a 
Û b + c = a Û (b + c) = a Û = a Û b + c = 
Û + = (đpcm)
Bài 2 : Chứng minh rằng nếu 
ax3 = by3 = cz3 và + + = 1 thì = + + 
Giải : 
Đặt ax3 = by3 = cz3 = t (ð)
Khi đó = = = (1)
Từ (ð) suy ra : x = ;	 y = ; 	z = 
Do đó : + + = + + = (+ + ) = (2)
So sánh (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh 
Bài 3 : Tính giá trị biểu thức :
1 . 2 . A = + 
Giải :1 . Ta có : = 
	= = = –
	2 . Áp dụng công thức (x +y) 3 = x3 + y3 + 3 xy (x + y) 
Ta có :A3 = (+ )3 = 2 + + 3 + 2 –= 4 – 3 A 
Þ A3 + 3 A – 4 = 0 Û A3 – 1 + 3A – 3 = 0Û (A – 1) (A2 + A + 1) + 3 (A – 1) = 0 Û (A – 1) (A2 + A + 4) = 0
Û Û A = 1 	(vì A2 + A + 4 ¹ 0) Vậy : + = 1 
Bài tập tự giải :
Bài 1 : Cho x =; 	y = Tính A = xy3 – x3y 
Bài 2 : Tính : ( 2 – 3 ) + +