Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS năm học 2010 - 2011 đề thi môn: Toán

 M sao cho A nằm giữa M và B . Từ M kẻ cỏt tuyến MCD 
	 với đường trũn (O) và tiếp tuyến MT với đường trũn (O’) (T là tiếp điểm)
	 Chứng minh MC.MD = MT2 .
Cõu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa món điều kiện 3x + y – 1 = 0 . 
	 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x2 + y2 .
Cõu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 +  + 22011 chia hết cho 15 .
Cõu 6: (1,5 điểm ) Phõn tớch đa thức x3 – x2 – 14x + 24 thành nhõn tử .
Cõu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trỡnh 
Cõu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khụng phải là số chớnh phương 
	 với mọi n .
Cõu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a và b . Chứng minh .
Cõu 10:(1,5 điểm ) Tỡm nghiệm tự nhiờn của phương trỡnh : 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 
Cõu 11: (1,5 điểm ) Cho hỡnh thang vuụng ABCD () , cú DC = 2AB . Kẻ DH vuụng 
	 gúc với AC (H, gọi N là trung điểm của CH . 
	 Chứng minh BN vuụng gúc với DN .
Cõu 12: (1,5 điểm). Cho tam giỏc MNP cõn tại M ( ) . Gọi D là giao điểm cỏc đường 
	 phõn giỏc trong của tam giỏc MNP . Biết DM = cm , DN = 3 cm .
	 Tớnh độ dài đoạn MN .
---------- HẾT---------
Họ và tờn thớ sinh :...Số bỏo danh : 
Giỏm thị 1 :..Ký tờn : .
Giỏm thị 2 :..Ký tờn : .
(Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh )
	SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO 	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
	LÂM ĐỒNG	NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Mụn : TOÁN – THCS
Ngày thi 18/02/2011
Cõu
Hướng dẫn chấm
Điểm
Cõu 1
(2 điểm )
 =
 = 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Cõu 2 
(2 điểm )
3m2 – 7m + 5 = 3
Võy f(x) đồng biến trờn R với mọi m
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Cõu 3 
(2 điểm) 
Chứng minh MC. MD = MA. MB 
Chứng minh MT2 = MA. MB 
Suy ra MC.MD = MT2 
0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm 
Cõu 4
(2 điểm )
3x + y – 1 = 0 y = 1 – 3x 
Võy GTNN của B là 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Cõu 5 
(1,5 điểm )
C = 1 + 2 + 22 +  + 22011 
 = (1 + 2 + 22 + 23 ) + (24 + 25 + 26 + 27 ) + + ( 22008 + 22009 +22010 + 22011)
 = (1 + 2 + 22 + 23 )+ 24 (1 + 2 + 22 + 23 )+ +22008(1 + 2 + 22 + 23 )
 = 15 ( 1 + 24 + + 22008 ) chia hết cho 15
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 
Cõu 6 
(1,5 điểm )
 x3 – x2 – 14x +24 
 = x3 + 4x2 – 5x2 – 20x + 6x + 24 
 = (x + 4) (x2 – 5x + 6 ) 
 = (x + 4) (x – 2) (x – 3) 
0,5 điểm 
0,5 điểm 0,5 điểm 
Cõu 7
(1,5 điểm ) 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Cõu 8 
(1,5 điểm )
D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 
 = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2 )
 = (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n)
(n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n) +1
(n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n +1)2
Nờn D khụng phải là số chớnh phương vỡ (n2 + 3n)2 và (n2 + 3n +1)2 là 2 số chính phương liờn tiếp 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Cõu 9 
(1,5 điểm )
Ta cú (a – b)2 
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b ( thiờ́u cõu này khụng trừ điờ̉m)
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Cõu 10
(1,5 điểm)
 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 
(2x + y) (x – y) = 8 
 hoặc 
 hoặc 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
Cõu 11 
(1,5 điểm )
Gọi M là trung điểm của DH
Chứng minh tứ giỏc ABNM là hỡnh bỡnh hành (1)
Chứng minh MN 
Suy ra M là trực tõm của (2)
Từ (1) và (2) 
0,25 điểm 
0,5 điểm 
0,25 điờ̉m 
0,25 điểm 
0,25 điểm 
Cõu 12 
(1,5 điểm ) 
Qua M kẻ tia Mx vuụng gúc với MN cắt ND tại E , kẻ MF
Chứng minh cm và EF =DF 
ME2 = EF .EN = EF .(2EF + DN ) 
 cm
0,5 điểm 
0,5 điểm 
0,5 điểm 
(Nếu học sinh giải bằng cỏch khỏc đỳng , giỏm khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng )
 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ 
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MễN: TOÁN - LỚP 9 
Thời gian làm bài 150 phỳt khụng kể thời gian giao đề
Cõu1( 3,0 điểm)
1) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn
2)Tỡm tất cả số nguyờn dương n sao cho A= 
Cõu 2( 4,0 điểm)
1) Rỳt gọn biểu thức: A=
2) Cho cỏc số thực dương a,b,c,x,y,z khỏc 0 thoả món . 
Chứng minh rằng 
 Cõu 3( 4,0 điểm)
1) Cho phương trỡnh: (Với m là tham số). Tỡm m để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2 thoả món 
2) Giải hệ phương trỡnh: 
Cõu 4( 7,0 điểm)
1) Cho đường trũn (O) đường kớnh BD=2R, dõy cung AC của đường trũn (O) thay đổi nhưng luụn vuụng gúc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chõn cỏc đường vuụng gúc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB.
a) CMR: khụng đổi.
b) CMR : là tứ giỏc nội tiếp.
2) Cho hỡnh vuụng ABCD và MNPQ cú bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc cỏc cạnh AB,BC,CD,DA của hỡnh vuụng. CMR: ≤ 
Cõu 5( 2,0 điểm)
 Cho a,b,c là cỏc số thực dương. CMR: 
---Hờt—
Hướng dẫn 
Cõu1.1)
Khi 3x+5 là ước 25 từ đú tỡm được 
( cỏch khac nhõn 2 vế với 9 đưavề tớch)
1.2) Với n chẵn n=2k thỡ Với n lẻ n=2k+1 
Vậy hoặc ( với mọi n thỡ A chia hết cho 7
Cõu2.1)=
2.2) 
Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM
Cõu 3.1) Để phương trỡnh cú nghiệm (*)
Mặt khỏc ta phải cú TM ĐK (*)
3.2)Giải hệ phương trỡnh
HD y =0 khụng là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta cú hệ Đặt ta cú hệ 
Hệ cú 2 nghiệm 
Cõu 4.1)
a) theo Pitago 
suy ra đpcm
b)Tứ giỏc HPBS nội tiếp 
Tứ giỏc HPAQ là hỡnh chữ nhật 
Do đú 
Tương tự 
Do đú nờn tứ giỏc PQRS nội tiếp ( đ/lớ đảo)
4.2) 
Cỏch 1 Gọi T, K, L là trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bỡnh và trung tuyến tam giỏc vuụng ta cú từ đú suy ra đpcm
Cỏch 2 Ta cú theo Pitago
 ( ỏp dụng BĐT Bunhiacoopsky
Tương Tự 
Nờn
Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hỡnh chữ nhật
Cõu 5
Cho a,b c>0 .Chứng minh rằng:
Dự đoỏn a=b=c tỏch mẫu để a+c=b+c=2b 
Tacú ỏp dụng BĐT 
Tương tự
Từ (1) (2) (3)
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
GV Nguyễn Minh Sang THCS Lõm Thao-Phỳ Thọ
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MễN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
————————————
Cõu 1 (3,0 điểm).
1. 	Cho . Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức sau:
2. 	Cho biểu thức 
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của sao cho giỏ trị của P là một số nguyờn.
Cõu 2 (1,5 điểm).
Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương thỏa món .
Cõu 3 (1,5 điểm).
Cho là cỏc số thực thỏa món điều kiện: 
Chứng minh rằng: .
Cõu 4 (3,0 điểm).
Cho ba đường trũn và (kớ hiệu chỉ đường trũn cú tõm là điểm X). Giả sử tiếp xỳc ngoài với nhau tại điểm I và lần lượt tiếp xỳc trong với tại . Tiếp tuyến của đường trũn tại điểm I cắt đường trũn lần lượt tại cỏc điểm . Đường thẳng cắt lại đường trũn tại điểm , đường thẳng cắt lại đường trũn tại điểm .
1. 	Chứng minh rằng tứ giỏc nội tiếp và đường thẳng vuụng gúc với đường thẳng .
2. 	Kẻ đường kớnh của đường trũn sao cho vuụng gúc với (điểm nằm trờn cung khụng chứa điểm ). Chứng minh rằng nếu khụng song song thỡ cỏc đường thẳng và đồng quy.
Cõu 5 (1,0 điểm)
Tất cả cỏc điểm trờn mặt phẳng đều được tụ màu, mỗi điểm được tụ bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tớm. Chứng minh rằng khi đú luụn tồn tại ớt nhất một tam giỏc cõn, cú 3 đỉnh thuộc cỏc điểm của mặt phẳng trờn mà 3 đỉnh của tam giỏc đú cựng màu hoặc đụi một khỏc màu.
—Hết— 
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh:.......; Số bỏo danh.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN: TOÁN
———————————
I. LƯU í CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tớnh đến 0,5 và khụng làm trũn.
- Với bài hỡnh học nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh phần nào thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú.
II. ĐÁP ÁN:
Cõu
í
Nội dung trỡnh bày
Điểm
1
1
1,5 điểm
Nhận xột. Nếu thỡ .
Thật vậy, ta cú 
0,5
suy ra .
Vậy, nhận xột được chứng minh. Ta cú .
0,5
Theo nhận xột trờn ta cú:
0,5
2
1,5 điểm
Điều kiện: . Khi đú ta cú
Rỳt gọn biểu thức ta được 
0,5
Ta cú , ta coi đõy là phương trỡnh bậc hai của . Nếu vụ lớ, suy ra nờn để tồn tại thỡ phương trỡnh trờn cú 
0,5
Do P nguyờn nờn bằng 0 hoặc 1
+) Nếu khụng thỏa món.
+) Nếu khụng thỏa món
Vậy khụng cú giỏ trị nào của x thỏa món.
0,5
2
1,5 điểm
Nếu phương trỡnh vụ nghiệm. Do đú 
0,5
Với thay vào phương trỡnh ban đầu ta được:
 suy ra phương trỡnh cú nghiệm .
0,5
Với thay vào phương trỡnh ban đầu ta được:
 phương trỡnh này vụ nghiệm do .
Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm .
0,5
3
1,5 điểm
Ta cú: 
0,5
0,5
Suy ra 
0,5
4
1
2,0 điểm
+) Ta cú đồng dạng với 
0,5
suy ra hay tứ giỏc nội tiếp.
0,5
+) Ta cú và tam giỏc cõn tại nờn 
0,5
Do đú ta được 
0,5
2
1,0 điểm
Gọi là giao điểm của và .
Ta cú thẳng hàng và song song với (1). Mặt khỏc tam giỏc cõn tại , tam giỏc cõn tại và kết hợp với (1) ta được suy ra thẳng hàng. Tương tự ta cú thẳng hàng.
0,5
Do là đường kớnh của đường trũn suy ra 
 là trực tõm của tam giỏc suy ra đi qua hay ba đường thẳng đồng quy.
0,5
5
1,0 điểm
Xột ngũ giỏc đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kỡ của ngũ giỏc luụn tạo thành một tam giỏc cõn.
Do đú khi tụ 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và tớm sẽ xảy ra hai khả năng sau:
+) Nếu tụ 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đó cho thỡ tồn tại 3 đỉnh cú màu khỏc nhau và tạo thành một tam giỏc cõn.
0,5
+) Nếu tụ 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thỡ cú ớt nhất 3 đỉnh cựng màu và tạo thành một tam giỏc cõn.
Vậy, trong mọi trường hợp luụn tồn tại ớt nhất một tam giỏc cõn, cú 3 đỉnh được tụ bởi cựng một màu hoặc đụi một khỏc màu.
0,5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
 LONG AN MễN THI : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NGÀY THI : 11/4/2012
 THỜI GIAN : 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) 
Bài 1: ( 4 điểm)
	1/ Khụng sử dụng mỏy tớnh, hóy thực hiện phộp tớnh:
A = 
2/ Cho biểu thức B = 
a/ Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn B.
b/ Tỡm giỏ trị lớn nhất của B và giỏ trị x tương ứng.
Bài 2: (5 điểm)
	1/ Tỡm hệ số a > 0 sao cho cỏc đường thẳng y = ax – 1 ; y = 1 ; y = 5 và trục tung tạo thành hỡnh thang cú diện tớch bằng 8 (đơn vị diện tớch).
	2/ Cho cỏc số x, y, z khỏc 0 thỏa món đồng thời và . Tớnh giỏ trị của biểu thức P = (x + 2y + z)2012.
Bài 3: (5 điểm)
Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O), cỏc đường cao AD, BE, CF (DBC, EAC, F AB) cắt nhau tại H và cắt đường trũn (O) theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng:
a/ BH.BE + CH.CF = BC2.
	b/ AH.AD + BH.BE + CH.CF = .
	c/ .
Bài 4: (3 điểm)
Cho đoạn thẳng CD = 6 cm, I là một điểm nằm giữa C và D ( IC > ID). Trờn tia Ix vuụng gúc với CD lấy hai điểm M và N sao cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD tại K (, DN cắt MC tại L . Tỡm vị trớ của điểm I trờn CD sao cho CN.NK cú giỏ trị lớn nhất.
Bài 5: (3 điểm)
Tỡm cỏc cặp số (x; y) nguyờn dương thỏa món: xy + 2x = 27 – 3y.
----------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------
Họ và tờn thớ sinh :.
Số bỏo danh :
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
 LONG AN MễN THI : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NGÀY THI : 11/4/2012
 THỜI GIAN : 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) 
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Cõu
Nội dung
Điểm
1
(4đ)
1
A = 
= 1
0,5
0,25
0,75
0,25
0,25
2
 a/ ĐKXĐ 
B = 
b) Với 
 Mà
Dấu “ = “ xóy ra khi (tmđk)
Vậy giỏ trị lớn nhất của B là khi x = 0. 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(5đ)
1
0,5
+) Kớ hiệu hỡnh thang ABCD cần tỡm như hỡnh vẽ.
+) Tớnh được C(; D(
 BC = ; AD = 
+) 
a = 2 ( Thỏa ĐK a > 0) 
+) Vậy phương trỡnh đường thẳng là y = 2x – 1.
0,5
0,5
0,25
0,25
2
+) Ta cú 
+) Do đú 
Thay vào ta được x = y = ; z =
Khi đú P = 
0,25
0.25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
3
(5đ)
a
+) Tứ giỏc DCEH cú 
Tứ giỏc DCEH nội tiếp ( cựng chắn cung HD)
*BDE và BHC cú và chung.
BDE đồng dạng BHC (g.g)
 (*)
*Chứng minh tương tự đẳng thức (*)ta được : CH.CF = CD.CB (**)
Cộng (*) và (**) theo vế ta được:
BH.BE + CH.CF = BC.BD + CD.CB
 = (BD + CD).BC
 = BC.BC = BC2 (1)
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
b
+) Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:
BH.BE + AH.AD = AB2 (2) và AH.AD + CH.CF = AC2 (3)
+) Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được:
2(AH.AD + BH.BE + CH.CF) = AB2 + AC2 + BC2
 AH.AD + BH.BE + CH.CF = .
0,5
0.75
0.25
c
+) Ta cú: ( cựng chắn cung MC)
 ( cựng phụ )
Nờn BC là phõn giỏc 
*MBH cú BC là đường cao đồng thời là đường phõn giỏc nờn là tam giỏc cõn tại B
BC đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh MH.
D là trung điểm của MH.
DM = DH.
*Ta cú (*)
BHC và ABC cú chung đỏy BC nờn ta cú (**)
Từ (*) và (**) suy ra : (1)
Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:
 (2) và (3)
Cụng (1) (2) và (3) theo vế ta được :
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3đ)
+) IND vuụng tại I cú IN = ID (gt)
IND vuụng cõn tại I
* Chứng minh tương tự ta được IMC vuụng cõn tại I 
LCD cú 
 LCD vuụng cõn tại L
DLMC
Mà MI CD (gt)
DL và MI là hai đường cao của CDM cắt nhau tại N
N là trực tõm CDM
CNMD hay CKMD
 CNI và MNK cú:
 (đđ)
CNI đồng dạngMNK (g-g)
CN.NK = MN.NI
Ta cú: MN.NI = (MI – NI).NI = ( CI – ID).ID = (CD – ID – ID).ID
 Đặt ID = x; x > 0 ta được:
MN.NI = (6 – 2x).x = 6.x – 2x2 = 
Dấu “ = “ xảy ra khi x = (TMĐK x > 0)
Vậy CN. NK cú giỏ trị lớn nhất là khi ID = cm. 
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5
(3đ)
Ta cú: xy + 2x = 27 – 3y
 hoặchoặchoặc 
do x > 0, y > 0.
(loại)hoặc(loại)hoặc(loại)hoặc(tđk)
Vậy cặp số nguyờn dương cần tỡm là (x; y) = (8;1)
0,5
0,25
1,0
1,0
0,25
(Nếu HS trỡnh bày bài giải bằng cỏch khỏc đỳng thỡ chấm theo thang điểm tương đương)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
 LONG AN MễN THI : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NGÀY THI : 11/4/2012
 THỜI GIAN : 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) 
Bài 1: ( 4 điểm)
	1/ Khụng sử dụng mỏy tớnh, hóy thực hiện phộp tớnh:
A = 
2/ Cho biểu thức B = 
a/ Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn B.
b/ Tỡm giỏ trị lớn nhất của B và giỏ trị x tương ứng.
Bài 2: (5 điểm)
	1/ Tỡm hệ số a > 0 sao cho cỏc đường thẳng y = ax – 1 ; y = 1 ; y = 5 và trục tung tạo thành hỡnh thang cú diện tớch bằng 8 (đơn vị diện tớch).
	2/ Cho cỏc số x, y, z khỏc 0 thỏa món đồng thời và . Tớnh giỏ trị của biểu thức P = (x + 2y + z)2012.
Bài 3: (5 điểm)
Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O), cỏc đường cao AD, BE, CF (DBC, EAC, F AB) cắt nhau tại H và cắt đường trũn (O) theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng:
a/ BH.BE + CH.CF = BC2.
	b/ AH.AD + BH.BE + CH.CF = .
	c/ .
Bài 4: (3 điểm)
Cho đoạn thẳng CD = 6 cm, I là một điểm nằm giữa C và D ( IC > ID). Trờn tia Ix vuụng gúc với CD lấy hai điểm M và N sao cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD tại K (, DN cắt MC tại L . Tỡm vị trớ của điểm I trờn CD sao cho CN.NK cú giỏ trị lớn nhất.
Bài 5: (3 điểm)
Tỡm cỏc cặp số (x; y) nguyờn dương thỏa món: xy + 2x = 27 – 3y.
----------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------
Họ và tờn thớ sinh :.
Số bỏo danh :
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
 LONG AN MễN THI : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NGÀY THI : 11/4/2012
 THỜI GIAN : 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) 
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Cõu
Nội dung
Điểm
1
(4đ)
1
A = 
= 1
0,5
0,25
0,75
0,25
0,25
2
 a/ ĐKXĐ 
B = 
b) Với 
 Mà
Dấu “ = “ xóy ra khi (tmđk)
Vậy giỏ trị lớn nhất của B là khi x = 0. 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(5đ)
1
0,5
+) Kớ hiệu hỡnh thang ABCD cần tỡm như hỡnh vẽ.
+) Tớnh được C(; D(
 BC = ; AD = 
+) 
a = 2 ( Thỏa ĐK a > 0) 
+) Vậy phương trỡnh đường thẳng là y = 2x – 1.
0,5
0,5
0,25
0,25
2
+) Ta cú 
+) Do đú 
Thay vào ta được x = y = ; z =
Khi đú P = 
0,25
0.25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
3
(5đ)
a
+) Tứ giỏc DCEH cú 
Tứ giỏc DCEH nội tiếp ( cựng chắn cung HD)
*BDE và BHC cú và chung.
BDE đồng dạng BHC (g.g)
 (*)
*Chứng minh tương tự đẳng thức (*)ta được : CH.CF = CD.CB (**)
Cộng (*) và (**) theo vế ta được:
BH.BE + CH.CF = BC.BD + CD.CB
 = (BD + CD).BC
 = BC.BC = BC2 (1)
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
b
+) Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:
BH.BE + AH.AD = AB2 (2) và AH.AD + CH.CF = AC2 (3)
+) Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được:
2(AH.AD + BH.BE + CH.CF) = AB2 + AC2 + BC2
 AH.AD + BH.BE + CH.CF = .
0,5
0.75
0.25
c
+) Ta cú: ( cựng chắn cung MC)
 ( cựng phụ )
Nờn BC là phõn giỏc 
*MBH cú BC là đường cao đồng thời là đường phõn giỏc nờn là tam giỏc cõn tại B
BC đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh MH.
D là trung điểm của MH.
DM = DH.
*Ta cú (*)
BHC và ABC cú chung đỏy BC nờn ta cú (**)
Từ (*) và (**) suy ra : (1)
Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:
 (2) và (3)
Cụng (1) (2) và (3) theo vế ta được :
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3đ)
+) IND vuụng tại I cú IN = ID (gt)
IND vuụng cõn tại I
* Chứng minh tương tự ta được IMC vuụng cõn tại I 
LCD cú 
 LCD vuụng cõn tại L
DLMC
Mà MI CD (gt)
DL và MI là hai đường cao của CDM cắt nhau tại N
N là trực tõm CDM
CNMD hay CKMD
 CNI và MNK cú:
 (đđ)
CNI đồng dạngMNK (g-g)
CN.NK = MN.NI
Ta cú: MN.NI = (MI – NI).NI = ( CI – ID).ID = (CD – ID – ID).ID
 Đặt ID = x; x > 0 ta được:
MN.NI = (6 – 2x).x = 6.x – 2x2 = 
Dấu “ = “ xảy ra khi x = (TMĐK x > 0)
Vậy CN. NK cú giỏ trị lớn nhất là khi ID = cm. 
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5
(3đ)
Ta cú: xy + 2x = 27 – 3y
 hoặchoặchoặc 
do x > 0, y > 0.
(loại)hoặc(loại)hoặc(loại)hoặc(tđk)
Vậy cặp số nguyờn dương cần tỡm là (x; y) = (8;1)
0,5
0,25
1,0
1,0
0,25
(Nếu HS trỡnh bày bài giải bằng cỏch khỏc đỳng thỡ chấm theo thang điểm tương đương)
 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
Mụn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (4,0 điểm). 
	a) Cho cỏc số nguyờn a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = 
và .
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A = (với n > 1). Chứng minh A khụng phải là số chớnh phương.
Cõu 2 (4,5 điểm). 
	a) Giải phương trỡnh: 
 b) Giải hệ phương trỡnh: 
Cõu 3 (4,5 điểm). 
	a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và .
Chứng minh rằng: 
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa món .
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
Cõu 4 (4,5 điểm).
	Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O), H là trực tõm của tam giỏc. Gọi M là một điểm trờn cung BC khụng chứa điểm A. (M khụng trựng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua cỏc đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
b) Khi , xỏc định vị trớ của điểm M để đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
Cõu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn tõm O, một điểm I chuyển động trờn cung BC khụng chứa điểm A (I khụng trựng với B và C). Đường thẳng vuụng gúc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuụng gúc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luụn đi qua một điểm cố định.
- - - Hết - - -
Họ và tờn thớ sinh:................................................................................ Số bỏo danh: .....................................
 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Mụn: TOÁN - Bảng A
--------------------------------------------
Cõu:
Nội dung
1.
Với thỡ là tớch 3 số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1
	Vậy 
	với , n > 1 thỡ > 
	và < 
	Vậy << khụng là số chớnh phương đpcm
2.
	 điều kiện 
Đặt 
 (b>0)
Ta cú: 
Trường hợp1: a = 3b
Ta cú: (1)
	 < 0 phương trỡnh (1) vụ nghiệm
Trường hợp 2: b = 3a
Ta cú: 
Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm 
Từ (3) thay vào (2) (4)
Từ (1) (5)
Từ (4) và (5) 
Chứng minh tương tự : y = z
Từ đú 
Thay vào (1) 
	 hệ cú 2 nghiệm 
3.
Áp dụng bất đẳng thức (với x,y > 0)
Ta cú: ; 
Suy ra: 	 (1)
Tương tự: (2)
	 (3)
Từ (1),(2),(3) 
Dấu "=" xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức CụSy cho và 2009 số 1 ta cú:
 2009
	(1)
Tương tự: 	(2)
 	(3)
Từ (1), (2), (3) 
Giỏ trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1
4.
Gọi giao điểm của BH với AC là E
 AH với BC là F, CH với AB là I
	 HECF là tứ giỏc nội tiếp.
	 (1)
Mà ( gúc nội tiếp cựng chắn một cung)
Ta cú: (Do M, N đối xứng AB) (2)
Từ (1), (2) AHBN là tứ giỏc nội tiếp
	 (*)
Mà (Do M, N đối xứng qua AB (**)
Từ (*), (**) 
Chứng minh tương tự: 
Mà 
	 ( vỡ )
	 N, H, P thẳng hàng
Gọi J là điểm chớnh giữa của cung lớn BC
 đều
Trờn đoạn JM lấy K sao cho MK = MB
JM lớn nhất JM là đường kớnh (O) lỳc đú M là điểm chớnh giữa của cung nhỏ BC.
Vậy nhỏ nhất M là điểm chớnh giữa cung nhỏ BC
5.
+ Khi .
	 F trựng với B, E trựng với C lỳc đú EF là đường kớnh.
	 EF đi qua điểm O cố định.
+ Khi 900.
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. 
	 (cựng bự )
	 (Do I và K đối xứng qua EF)
	 nội tiếp
	 (cựng chắn ) (1)
	 (Do K và I đối xứng qua EF) (2)
	 ( cựng phụ ) (3)
Từ (1), (2), (3) 
	 AKBI là tứ giỏc nội tiếp
	Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng.
+ Khi > 900 < 900 chứng minh tương tự.
Vậy đường thẳng EF luụn đi qua điểm O cố định.
- - - Hết - - -
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012-2013
Mụn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Bài 1. (4,0 điểm) 
Cho biểu thức: 
 1. Rỳt gọn biểu thức P.
 2. Tỡm cỏc giỏ trị x, y nguyờn thỏa món P = 2.
Bài 2. (4,0 điểm) 
 1. Cho hai số thực a, b khụng õm thỏa món. Chứng minh rằng phương trỡnh sau luụn cú nghiệm: .
 2. Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn x, y của phương trỡnh .
Bài 3. (4,5 điểm) 
 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyờn tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.
 2. Giải phương trỡnh: 
Bài 4. (6,0 điểm) 
 Cho gúc xOy cú số đo bằng 60o. Đường trũn cú tõm K nằm trong gúc xOy tiếp xỳc với tia Ox tại M và tiếp xỳc với tia Oy tại N. Trờn tia Ox lấy điểm P thỏa món OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường trũn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khỏc O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F.
 1. Chứng minh tam giỏc MPE đồng dạng với tam giỏc KPQ.
 2. Chứng minh tứ giỏc PQEF nội tiếp được trong đường trũn.
 3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giỏc DEF là một tam giỏc đều.
Bài 5. (2,0 điểm) 
	Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món:. Chứng minh rằng:
------HẾT------
Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay.
Họ và tờn thớ sinh: ................................................. Số bỏo danh: ............................
Chữ ký của giỏm thị 1: ...