Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu

Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương 
 11 
MỘT VÀI NÉT VỀ KĨ THUẬT NHẢY TÂNG LẦU 
Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân. 
Kĩ thuật này là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất 
lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ: 
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )⎡ ⎤+ − − + −= = −⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫n n n ndx 1 u x b u x b 1 u x b u x bdx dx dx2b 2bx a x a x a x a 
Một số học sinh và giáo viên khi chưa hiểu biết đầy đủ thì cho rằng tên 
gọi kĩ thuật "nhảy tầng lầu" chỉ là câu chữ để tạo cảm xúc khi giảng bài 
nhưng họ chưa biết điều quan trọng nhất của kĩ thuật chính là nghệ thuật 
chọn hàm u(x). Ví dụ về nguyên tắc chúng ta có thể tính +∫ 8dxx 1 bằng 
phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng 2 trang giấy, nhưng nếu giải nó 
bởi 5 biến đổi dấu bằng với khoảng 3 dòng thì lại là một đẳng cấp khác 
VD 1: 
( ) ( ) ⎛ ⎞+ − − + −= = −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 2
4 4 4
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx
2 2x 1 x 1 x 11 4
dxI =
x + 1
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 222 22
2 2
2 2
2
111 1 d x1 1 d x1 1 xxx xdx dx
1 12 2 1 1x x x 2 x 2x xx x
1 1 x 1 1 x x 2 1arctg ln c
2 2 x 2 2 2 x x 2 1
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ++ − − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎜ − ⎟ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟ + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞− − += − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
VD 2: ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
−= = ⎡ ⎤− + + − − + − +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 22
dx d x 1
x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3
2 3
dxI =
x - 1
( )
( ) ( )
( )
( )2 2
22 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt
3 3 t t 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3
⎛ ⎞+ + − + += = = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2 2
2 2
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3 t 2 2 3 t 2 2 3t 3t 3 t 3t 3 t 3t 3 3t
2 4
1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1ln 3arctg c ln arctg c
3 2 6t 3t 3 x x 13 2 3 3
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + += − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − + += − + = − +⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Tuyển tập các chuyên đề và kĩ thuật tính tích phân − Trần Phương 
 12 
VD 3: ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
+= = ⎡ ⎤+ − + + + − + +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 22
dx d x 1
x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3
3 3
dxI =
x + 1
( )
( ) ( )
( )
( )2 2
22 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt
3 3 t t 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3
⎛ ⎞− + − − −= = = −⎜ ⎟− +⎝ ⎠− + − +∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3 t 2 2 3 t 2 2 3t 3t 3 t 3t 3 t 3t 3 3t
2 4
⎛ ⎞⎛ ⎞− − += − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠ ⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2
2
1 1 t 2t 3ln 3arctg c
3 2 t 3t 3 3
⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟− +⎝ ⎠
2
2
1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c
6 x x 1 2 3 3
+ + −= + +− + 
VD 4: ( ) ( ) ( )
⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥− +⎣ ⎦− +∫ ∫ ∫ ∫ 2 33 33 3dx 1 dx dx 1 I I2 2x 1 x 1x 1 x 14 6dxI = x - 1 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg ln arctg
2 6 6x x 1 x x 12 3 3 2 3 3
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1ln arctg arctg c
12 4 3 3 3x 2x 1 x x 1
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + + −= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
− + − + + −⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟+ + + + ⎝ ⎠
VD 5: 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
+ − − − + + − + −= =+ + − +∫ ∫ ∫
4 4 4 2 2 2 2
6 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 dxdx
2 2x 1 x 1 x x 15 6
I
dx=
x +1
( ) ( )2 2 3 2
2 6 4 2 2 6 2
2
11 dx
1 dx x dx x 1 dx 1 dx 1 d x x
12 2 3x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
x
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤− ⎝ ⎠= + − = + − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛ ⎞+ + − + + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
( ) ( )
( )3 3 2
2 22
1d x1 arctg x 3arctgx arctg x 1 x x 3 1xarctgx ln c
2 3 6 4 3 x x 3 11x 3x
⎡ ⎤+ + − +⎢ ⎥+ − = − +⎢ ⎥ + ++ −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ 
VD 6: 
( )
( )
( )
( ) ( )[ ]= = = + −−∫ ∫ ∫ ∫4 2 22
cos x dx d sin x d sin x
cos x 1 sin x 1 sin x1 sin x
6 3
dxI =
cos x
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 21 1 sin x 1 sin x 1 1 1d sin x d sin x
4 1 sin x 1 sin x 4 1 sin x 1 sin x
⎡ ⎤+ + − ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎢ ⎥+ − − +⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ 
( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 1 2 sin x 1 1 sin xd sin x ln c
4 2 1 sin x1 sin x 2cos x1 sin x 1 sin x
+⎡ ⎤= + + = + +⎢ ⎥ −−− +⎣ ⎦∫