Ôn tập kiến thức tọa độ trong hệ Oxy

 0⇒ + + = 
+ Tọa độ B AB (C)= ∩ , giải hệ có B(1; 3)− , suy luận 
tương tự có C(6;2) 
Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có 
tâm M là trung điểm BC, đường kính BC có phương trình: 
2 27 1 25
x y
2 2 4
   
− + + =   
   
Bài 5: (KD-2014) Cho ABC∆ nội tiếp đường tròn, D(1;-1) là chân đường phân giác của 

A , AB có phương trình 3x 2y 9 0+ − = , tiếp tuyến tại A có phương trình ∆ : x 2y 7 0+ − = . 
Hãy viết phương trình BC. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Với dữ kiện đề bài 
cho, trước hết ta xác 
định được ngay tọa độ 
A AB A(1;3)= ∆ ∩ ⇒ 
+ Đường thẳng BC đi 
qua D(1;-1) nên để lập 
phương trình BC ta cần 
tìm tọa độ một điểm 
nữa thuộc BC. 
Gọi 
E BC= ∆ ∩
( )E E 7 2x;x⇒ ∈ ∆ ⇒ − 
+ Bây giờ cần thiết lập 
∆
3x+2y-9=0
x+2y-7=0
E
A
C
B D(1;-1)
1 1
2
1
K(0;-1)
H(3;3)
I(1;2)
C
D
B
A
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 10 
1 phương trình để tìm x, vẽ hình chính xác sẽ cho ta dự đoán EAD∆ cân tại E ⇒ giải 
phương trình ED = EA sẽ tìm được x 1 E(5;1)= ⇒ . 
(chứng minh EAD∆ cân tại E như sau:  
 1 1D C DAC= + (góc ngoài ADC∆ ), mà 

 

1 1
sdABC A
2
= = , 
     
2 1 1 2DAC A D A A EAD EAD= ⇒ = + = ⇒ ∆ cân tại E) 
+ Đường thẳng BC đi qua 2 điểm E và D BC : x 2y 3 0⇒ − − = 
Bài 6 : “Cho ABC∆ có đỉnh A(1;5) . Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC∆ lần 
lượt là 5I(2;2), K ;3
2
 
 
 
. Tìm tọa độ B, C” 
Hướng dẫn tìm lời giải 
Mỗi bài hình học tọa độ phẳng trong thi ĐH đều có một “nút thắt” riêng, làm thế nào 
để tìm được “nút thắt” đó và “cởi nút thắt”. Câu trả lời là : Phải học nhiều, làm nhiều, 
chịu khó tổng hợp kiến thức và tư duy theo kinh nghiệm đã tích lũy . 
SAU ĐÂY TA SẼ ĐI TÌM “NÚT THẮT” CỦA BÀI TOÁN LẦN TRƯỚC NHÉ ! 
+ Ta lập được ngay đường tròn (C) ngoại 
tiếp ABC∆ có tâm K, bán kính AK. 
( )
2
25 25(C) : x y 3
2 4
 
⇒ − + − = 
 
+ Đường thẳng AI qua A, I 
5 1AI :3x y 8 0 D AI (C) D ;
2 2
 
⇒ + − = ⇒ = ∩ ⇒  
 
+ Ta có: BD DI CD= = (tính chất 7) 
⇒B, C nằm trên đường tròn (T) tâm D, bán 
kính DI ⇒ tọa độ B, C là giao của 2 đường 
tròn (C) và (T) 
+ Như vậy đường tròn (T) tâm D, bán kính 
DI có phương trình: 
2 25 1 10
x y
2 2 4
   
− + − =   
   
+ { } B(4;1),C(1;1)B,C (C) (T)
B(1;1),C(4;1)

= ∩ ⇒ 

1
(C)
2
1
3
2
1
K( 52 ;3)
I(2;2)
C
D
B
A(1;5)
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 11 
Bài 7: Cho ABC∆ có tâm đường tròn bàng tiếp của góc A là K(2; 9)− , đỉnh 
B( 3; 4),A(2;6)− − . Tìm tọa độ đỉnh C 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Ta thấy C AC BC= ∩ , vậy ta cần đi tìm 
phương trình đường thẳng AC và BC 
* Bước 1: Tìm phương trình AC 
- Đường thẳng AC đi qua A và B’ (trong 
đó B’(7;4) là điểm đối xứng của B qua 
phân giác AK: x - 2 = 0) 
AC :⇒ 2x 5y 34 0+ − = 
(Trong quá trình học ta đã có được kinh 
nghiệm: khi gặp đường phân giác và 1 
điểm, ta sẽ lấy điểm đối xứng qua đường 
phân giác - hy vọng bạn còn nhớ) 
* Bước 2: Tìm phương trình BC 
Suy luận tương tự ta cũng có: Đường 
thẳng BC đi qua B và A’ (trong đó A’ là 
điểm đối xứng của A qua phân giác BE) 
+ Giải hệ C AC BC= ∩ . Đáp số C(5;0) 
Bài 8: ABC∆ nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = 5. Trực tâm H(-1;-1), độ dài 
BC = 8. Hãy viết phương trình BC 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Đây là 1 bài toán quen thuộc “tam giác nội tiếp 
đường tròn, cho biết trực tâm”, vậy ta sẽ nghĩ ngay 
đến việc tạo ra hình bình hành bằng cách kẻ đường 
kính AD BHCD⇒ là hình bình hành (xem lại tính 
chất 2) MI⇒ là đường trung bình của AHD∆ 
AH 2.MI⇒ = (một kết quả rất quen thuộc) 
+ Với các suy luận trên, ta sẽ tìm được tọa độ A 
trước tiên. Thật vậy, gọi A(x;y) 
Ta có: 
2 2 2 2AH 2.IM 2. CI BM 2 5 4 6
AI 5
 = = − = − =

=
, 
giải hệ này 
x 1
A( 1;5) D(5; 3) M(2; 2)
y 5
= −
⇒ ⇒ − ⇒ − ⇒ −
=
 (do I là 
trung điểm AD, M là trung điểm HD) 
+ Như vậy, sau khi có điểm A, M ta thấy đường thẳng BC đi qua M, vuông góc với AH 
BC : y 2 0⇒ + = 
K(2;-9)
B(-3;-4)
A'
C
B'
E
A(2;6)
I
C
H
B
A
D
M
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 12 
Bài 9: ABC∆ nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1). Xác định tọa độ 
C biết C có hoành độ dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Hoàn toàn với phương pháp lập luận như bài 
trên, ta cũng có được kết quả 
AH 2.MI AH 2.IM= ⇒ =
 
, nếu gọi M(x;y) thì giải 
phương trình AH 2.IM=
 
x 2, y 3 M( 2;3)⇒ = − = ⇒ − 
+ Đường thẳng BC đi qua điểm M, vuông góc với 
AH BC : y 3 0⇒ − = 
+ Đường tròn (C) tâm I, bán kính R = IA có 
phương trình : ( )2 2x 2 y 74+ + = 
+ Tọa độ B, C là giao của BC và (C), giải hệ ta sẽ 
có ( )C 2 65;3− + (chú ý Cx 0> nhé) 
Như vậy qua bài toán trên, các bạn cần ghi nhớ 1 
kết quả quan trọng sau: Nếu H, I lần lượt là trực 
tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ , M là trung điểm BC thì ta có: AH 2.IM=
 
 (đây 
là điểm nút của vấn đề). Tiếp theo mạch tư tưởng đó, ta nghiên cứu bài sau cũng có cách 
khai thác tương tự. 
Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H. Gọi 
E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CH, BH và AD. Biết 
( )17 29 17 9E ; ;F ; ,G 1;5
5 5 5 5
   
   
   
. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABE∆ 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Đây là bài toán phát triển theo mạch tư duy của 
dạng bài trên 
+ ABE∆ có F là trực tâm, vậy nếu gọi I là tâm 
đường tròn ngoại tiếp ABE∆ , M là trung điể AB 
thì ta đã chứng minh được 2.IMEF =
 
 (xem lại bài 
ở trên) 
Do tọa độ E, F đã biết, vậy để có I ta cần tìm tọa 
độ M, mà M là trung điểm AB nên ta cần tìm tọa 
độ A, B. (đây là điểm nút của bài toán này) 
+ Ta thấy ngay EF là đường trung bình của 
HCB AG FE∆ ⇒ =
 
. Như vậy nếu gọi A(x;y) thì 
giải phương trình AG FE x 1; y 1 A(1;1)= ⇒ = = ⇒
 
+ Tiếp theo lập được phương trình đt AE đi qua A, E AE : 2x y 1 0⇒ − + + = 
+ Đường thẳng AB qua A và vuông góc với EF AB : y 1 0⇒ − = 
+ Đường thẳng BH qua F và vuông góc với AE BH : x 2y 7 0⇒ + − = 
B BH AB B(5;1)⇒ = ∩ ⇒ M(3;1)⇒ 
+ Giải phương trình 2.IMEF =
 
I(3;3)⇒ 
I
C
H
B
A
D
M
M
I
D
C
A
G
H
B
F
E
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 13 
Bài 11: Cho ABC∆ có trực tâm H, đường tròn ngoại tiếp HBC∆ có phương trình 
( )2 2x 1 y 9+ + = . Trọng tâm G của ABC∆ thuộc Oy. Tìm tọa độ các đỉnh của ABC∆ biết 
BC có phương trình x y 0− = và B có hoành độ dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Trước hết ta có tọa độ B, C là giao điểm của đường tròn ( )2 2x 1 y 9 (C)+ + = và đường 
thẳng BC : x y 0− = . 
Giải hệ phương trình 
1 17 1 17B ; ;
2 2
1 17 1 17C ;
2 2
 
− + − +
⇒   
 
 
− − − −
  
 
+ Bây giờ việc khó khăn sẽ là tìm 
tọa độ A(x;y) theo trình tự suy luận 
sau: 
- Điểm G(0;a) thuộc Oy là trọng 
tâm ABC∆ , sử dụng công thức 
trọng tâm A( 1; y)⇒ − 
- Gọi O và I lần lượt là tâm đường 
tròn ngoại tiếp ABC∆ và HBC∆ ⇒ 
I và O đối xứng nhau qua BC (*) 
(tính chất 4) , từ đây ta lập được 
phương trình OI qua I(-1;0) và 
vuông góc BC OI : x y 1 0⇒ + + = . 
- Ta có, tọa độ 
1 1M OI BC M ; O(0; 1)
2 2
 
= ∩ ⇒ − − ⇒ − 
 
- Mặt khác OA = 3 (bằng với bán kính đường tròn (C)) - do đường tròn tâm O và đường 
tròn tâm I đối xứng nhau qua BC nên bán kính bằng nhau. Giải phương trình 
( )OA 3 A 1; 1 2 2= ⇒ − + hoặc ( )A 1; 1 2 2− − 
Bài 12: ABC∆ cân tại A, gọi D là trung điểm của AB, D có tung độ dương, điểm 
11 5I ;
3 3
 
 
 
 là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ . Điểm 13 5E ;
3 3
 
 
 
 là trọng tâm ADC∆ . Điểm 
M(3; 1) DC, N( 3;0) AB− ∈ − ∈ . Tìm tọa độ A, B, C 
K
A'
M
D
I
OGH
CB
A
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 14 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Ta có I là trực tâm DGE∆ 
(tính chất 10) 
+ Do đó ta viết phương trình DC 
đi qua M và vuông góc với EI 
DC : x 3 0⇒ − = 
+ Tiếp theo ta tìm tọa độ D : do 
D DC D(3; x)∈ ⇒ , giải phương 
trình DN.DI 0 x 3 D(3;3)= ⇒ = ⇒
 
+ Ta sẽ viết tiếp phương trình 
AB (qua N, D) 
AB : x 2y 3 0⇒ − + = 
+ Đường thẳng AF qua I và 
vuông góc với DE 
: x y 2 0AF⇒ − − = 
+ Giải hệ 
A AB A(7;5) B( 1;1)AF= ∩ ⇒ ⇒ − 
(do D là trung điểm AB) 
+ Đường thẳng BC qua B và 
vuông góc với IA 
BC : x y 0⇒ + = 
+ Giải hệ 
C BC C(3; 3)CD= ∩ ⇒ − 
(Lưu ý là đường thẳng CD đi 
qua M và D - bạn tự viết nhé) 
Bài 13: Cho ABC∆ vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. G là trọng tâm ABM∆ , 
điểm D(7;-2) là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA GD= . Tìm tọa độ điểm A, lập 
phương trình AB, biết hoành độ của A nhỏ hơn 4 và AG có phương trình 3x - y - 13 = 0 
Hướng dẫn tìm lời giải 
Bước 1: Tìm tọa độ A 
+ Ta tính được ngay khoảng cách d(D;AG) 10= 
+ A AG A(a;3a 13)∈ ⇒ − 
+ Ta có gọi N là trung điểm AB, do BMA∆ vuông 
cân tại M nên NM là đường trung trực của AB 
GA GB⇒ = , mà GA GD(gt) GA GB GD= ⇒ = = ⇒ 
G là tâm đường tròn ngoại tiếp 
  0ABD AGD 2.ABD 90∆ ⇒ = = (liên hệ giữa góc ở 
tâm và góc nội tiếp trong đường tròn tâm G ngoại 
G
M(3;-1)
N(-3;0)
K
F
HE
I
CB
D
A
N
3x-y-13=0
D(7;-2)
G
C
M
B
A
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 15 
tiếp ABD∆ ) AGD∆ vuông cân tại G 2 2AD 2.DG 2.10 20⇒ = = = (giải thích chút xíu: 
AGD∆ vuông tại G d(D;AG) DG 10⇒ = = ). 
Giải phương trình 2 a 5 4AD 20
a 3 A(3; 4)
= >
= ⇒ 
= ⇒ −
Bước 2: Lập phương trình đường thẳng AB 
Đường thẳng AB không dễ gì lập được nên trong TH này ta sẽ dựa vào góc giữa 2 đường 
thẳng để giải quyết. 
+ Gọi VTPT của đường thẳng AB là ABn (a;b)=

, đường thẳng AG có VTPT là 
AGn (3; 1)= −

+ Ta có  ( )AB AG 2 23a bc NAG c n ;n a b . 10os os
−
= =
+
 
+ Mặt khác ( )22 2 21 1NG NM NA, AG NA NG 3.NG NG NG. 10
3 3
= = = + = + = 

2 2
3a bNA 3 3
c NAG
AG 10 10a b . 10
os
−
⇒ = = ⇒ =
+
2 b 06ab 8b 0
3a 4b
=
⇒ + = ⇔ 
= −
- Với b = 0, chọn a = 1 AB : x 3 0⇒ − = 
- Với 3a = -4b, chọn a = 4, b = - 3 AB : 4x 3y 24 0⇒ − − = 
* Nhận thấy nếu AB có phương trình 4x 3y 24 0− − = thì d(A;AB) 10 G< ⇒ nằm ngoài 
ABC∆ (loại) 
Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB, AD tiếp xúc với đường tròn (C) có phương 
trình : 2 2x y 4x 6y 9 0+ + − + = , đường thẳng AC cắt (C) tại 16 23M ;
5 5
 
− 
 
 và N, với 
N Oy∈ . Biết ANDS 10∆ = . Tìm tọa độ A, B, C, D biết A có hoành độ âm, D có hoành độ 
dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Công việc chuẩn bị: theo đề bài ta thì 
đường tròn (C) có tâm 
I( 2;3),R 2, N(0;3) Oy− = ∈ 
+ Lập được ngay phương trình AC (đi qua N 
và M) : x 2y 6 0+ − = 
+ ( )A AC A 6 2a;a∈ ⇒ − , chứng minh được 
APIQ là hình vuông (P, Q là tiếp điểm của 
AD, AB với (C)) 
2 2 2 2AI AQ QI 2 2 2 2⇒ = + = + = . 
N
E
M
P
I(-2;3)Q
B C
DA
2
2
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 16 
Giải phương trình này 
A
a 5 A( 4;5)
13 4 13
a A ; , x 0
5 5 5
= ⇒ −
⇒   = ⇒ >   
+ Gọi VTPT của AD là n (m;n) AD : m(x 4) n(y 5) 0 mx ny 4m 5n 0= ⇒ + + − = ⇔ + + − =

Mà 
D
m 0 AD : y 5 0 D(d;5)
d(I;AD) 2 ... 2mn 0
n 0 AD : x 4 0 x 4 0
= ⇒ − = ⇒
= ⇒ ⇒ = ⇔ 
= ⇒ + = ⇒ = − <
+ Lại có AND
d 6 D(6;5)1S 10 .AD.d(N;AD) 10 ...
d 14 02∆
= ⇒
= ⇒ = ⇒ ⇒ 
= − <
+ Như vậy tiếp theo sẽ lập được phương trình DC đi qua A và D DC : x 6 0⇒ − = 
C AC CD⇒ = ∩ , giải hệ C(6;0)⇒ 
+ Chỉ còn tọa độ điểm B cuối cùng: bây giờ gọi E AC BD= ∩ ⇒ E là trung điểm của AC 
và BD 5E 1; B( 4;0)
2
 
⇒ ⇒ − 
 
Bài 15: Cho hình thang ABCD có đáy AD // BC, AD 3.BC= . Phương trình đường thẳng 
AD là x y 0− = . Điểm E(0;2) là trung điểm của AB, điểm P(1;-2) nằm trên đường thẳng 
CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang, biết hình thang có diện tích bằng 9 và điểm A, 
D có hoành độ dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Đường thẳng EF đi qua E và 
// AD : x y 2 0EF⇒ − + = 
+ Ta có 
BK 2.EH 2.d(E;AD) ... 2. 2= = = =
+ Mặt khác 
ABCD
BC AD 9S 9 .BK 9 .BK 9
2 2 2
EF EF
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
+ Điểm F F(x;2 x)EF∈ ⇒ + , giải phương trình 
9 17F ;
4 49 9
x
4 9 12 2 F ;
4 4
EF
  
 
 = ⇒ = ± ⇒
  
− −  
 
* TH1: 9 17F ;
4 4
 
 
 
, ta lập được đường thẳng CD đi qua 2 điểm F, P CD : 5x y 7 0⇒ − + + = 
D CD AD⇒ = ∩ , giải HPT 7 7 11 27D ; C ;
4 4 4 4
   
⇒ ⇒   
   
 (do F là trung điểm CD) 
* TH2: Các bạn tự làm tương tự nhé. 
Bài 16: Cho hình vuông ABCD có tâm I(1;-1) và điểm M thuộc CD sao cho MC 2.MD= . 
Đường thẳng AM có phương trình 2x y 5 0− − = . Tìm tọa độ đỉnh A. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
P(1;-2)
x-y=0
FE(0;2)
C
DKHA
B
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 17 
+ Trước hết ta tính được ngay 
2IH d(I;AM) ...
5
= = = 
+ Do A AM A(x;2x 5)∈ ⇒ − , vấn đề bây giờ là phải 
thiết lập 1 phương trình để tìm x !!! 
+ Ta thấy AIH∆ vuông tại H, nếu tính được AI 
(hoặc AH) thì sẽ có được phương trình ẩn x. Thật 
vậy, em hãy quan sát suy luận sau đây: 
- Em sẽ chứng minh được 
   ( )   0 1 21 2 1 2
1 2
tan A tan AA A 45 tan A A 1 1
1 tan A .tan A
 (*)
+
+ = ⇒ + = ⇔ =
−
- Mà 2
DM 1
tan A
AD 3
= = , thay vào (*) 1 1tan A 2⇒ = 
- Lại có: AIH∆ vuông tại H  2 21
IH 4
tan A AH AI AH IH 2
AH 5
⇒ = ⇒ = ⇒ = + = 
- Bây giờ giải phương trình AI = 2 
13 13 1
x A ;
5 5 5
x 1 A(1; 3)
  
= ⇒  ⇒  
 = ⇒ −
Bây giờ chúng ta cùng xem lại đề thi khối A-2012 có cách khai thác làm tương tự 
(trong khi đó đáp án của BGD rất khó hiểu) 
Bài 17: (KA-2012) Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC. N thuộc CD sao cho 
.CN 2 ND= . Điểm 11 1M ; ,AN : 2x y 3 0
2 2
 
− − = 
 
. Tìm tọa độ của A. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Do ( )A AN A x;2x 3∈ ⇒ − 
+ Tính được ngay khoảng cách 
3 5AH d(M;AN)
2
= = 
+ Bây giờ ta cần tính đoạn AM để thiết lập 
phương trình tìm x như sau: 
- Ta có 
     ( )0 01 2 3 2 1 3A A A 90 A 90 A A+ + = ⇒ = − + 
  ( )  ( )02 1 3 1 3cot A cot 90 A A tan A A ⇒ = − + = +  

 
 
 01 3
2 2
1 3
1 1DN BM
tan A tan A 3 2AD ABcot A 1 A 45DN BM 1 11 tan A .tan A 1 . 1 .
AD AB 3 2
+++
⇒ = = = = ⇒ =
−
− −
- Xét AHM∆ vuông tại H 0
HM 5AM 3
sin 45 2
⇒ = = 
I(1;-1)
H
2x-y-5=0
1
2
MD C
BA
2x-y-3=0
H
D N
C
M( 112 ;
1
2 )
BA
3
2
1
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 18 
- Giải phương trình 5AM 3 x ? A?
2
= ⇒ = ⇒ 
Bài 18: (KA-2013) Cho hình chữ nhật ABCD có M đối xứng với B qua C. Điểm N(5; 4)− 
là hình chiếu vuông góc của B trên DM. Điểm C nằm trên đường thẳng 
2x y 5 0,A( 4;8)+ + = − . Tìm tọa độ của B và C. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Điểm C d C(x; 2x 5)∈ ⇒ − − 
+ Gọi I là tâm hình chữ nhật 
ABCD ⇒ I là trung điểm AC 
x 4 2x 3I ;
2 2
− − + 
⇒  
 
+ Ta dễ dàng chứng minh 
được IN IA= , giải phương 
trình này ( )x 1 C 1; 7⇒ = ⇒ − 
+ Đến đây ta sẽ lập được 
phương trình AC (đi qua 2 
điểm A và C), điểm B là 
điểm đối xứng của N qua AC 
B( 4; 7)⇒ − − 
Cách khác: 
+ Điểm C d C(x; 2x 5)∈ ⇒ − − , 
vẽ hình chính xác, dự đoán 
được ngay rằng: 
AN NC AN.NC 0⊥ ⇒ =
 
, giải 
phương trình này sẽ x C⇒ ⇒ 
(Ta chứng minh AN NC⊥ 
như sau: Chứng minh ADMC 
là hình bình hành 
AC NB⇒ ⊥ . Trong ANM∆ 
có C là trung điểm BM, EC // 
NM ⇒ E là trung điểm BN 
 0ABC ANC ANC 90⇒ ∆ = ∆ ⇒ =
) 
+ Để tìm tọa độ B ta giải hệ 
B BN
BC CN
∈

=
 (trong đó BN là đường thẳng qua N và vuông góc với AC) 
Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD, A(5; 7),C d : x y 4 0− ∈ − + = . Đường thẳng đi qua D và 
trung điểm M của AB có phương trình : 3x 4y 23 0∆ − − = . Tìm tọa độ B, C biết Bx 0> 
Hướng dẫn tìm lời giải 
I
D
N(5;-4)
M
C
B
A(-4;8)
d:2x+y+5=0
E 
I
D
N(5;-4)
M
C
B
A(-4;8)
d:2x+y+5=0
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 19 
+ C d C(x;x 4)∈ ⇒ + 
+ Do M là trung 
điểm AB 
d(C; ) 2.d(A; )⇒ ∆ = ∆ , 
giải phương trình này 
x 1 C(1;5)
x 79 0
= ⇒
⇒ 
= − <
+ Ta có 2m 23M M m;
4
− 
∈ ∆ ⇒  
 
, mà M là trung điểm AB 3m 9B 2m 5;
2
− 
⇒ − 
 
+ Gọi I là tâm hình chữ nhật I(3; 1)⇒ − là trung điểm AC, I còn là trung điểm BD ⇒ từ 
đây ta sẽ biểu diễn được tọa độ của D thông qua ẩn m. Lại có D thuộc ∆ nên giải phương 
trình 33 21D B ;
5 5
 
∈ ∆ ⇒  
 
Bài 20: Cho đường tròn ( )2 2(C) : x 4 y 4− + = . Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ 
được 2 tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (C) (A, B là 2 tiếp điểm). Biết AB đi qua 
E(4;1) 
Hướng dẫn tìm lời giải 
Bài tập này sẽ cung cấp cho các bạn 1 phương pháp lập phương trình đường thẳng dựa 
theo ý tưởng quỹ tích. 
+ Do M Oy M(0;m)∈ ⇒ 
+ Đường tròn (C’) ngoại 
tiếp tứ giác MAIB có tâm 
aF 2;
2
 
 
 
 là trung điểm MI, 
bán kính 
2MI 16 aR '
2 2
+
= =
( )
2
2
2
a(C ') : x 2 y
2
16 a
4
 
⇒ − + − 
 
+
=
+ Ta có tọa độ A, B là giao của (C) và (C’) là nghiệm hệ phương trình : 
( )
( )
2 2
2 2
2
x 4 y 4
4x ay 12 0a 16 a
x 2 y
2 4

− + =

⇒ − + + = + 
− + − =  
 
+ Từ đây suy ra AB có phương trình 4x ay 12 0− + + = , mà E thuộc AB m 4 M(0;4)⇒ = ⇒ 
x-y+4=0
M
3x-4y-23=0
I
A(5;-7) D
CB
E(4;1)
F
B
I(4;0)
A
M
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 20 
Bài 21: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia DA lấy điểm P sao cho  0ABP 60= . 
Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm BP, CP, KD. Tìm tọa độ D biết tọa độ M(1;2), N(1;1) 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Đây là loại bài toán mà hình không có phương trình các 
cạnh nên ta sử dụng phương pháp tính ra độ dài cạnh hình 
vuông. Nếu gọi cạnh hình vuông là x, ta có: 
- Đoạn MN có độ dài bằng 1. 
- Gọi E là trung điểm CK 
  01 1ME / /PB;ME PK PB;MEN PBA 60
2 4
⇒ = = = = 
- PAB∆ vuông tại A,  0 xPBA 60 PB 2x ME
2
= ⇒ = ⇒ = , mà 
DC xNE MEN
2 2
= = ⇒ ∆ đều MN ME NE 1 x 2⇒ = = = ⇒ = 
+ Như vậy ta đã tính được cạnh hình vuông bằng 2, ta sẽ 
đi suy luận để tìm tọa độ D 
- Gọi D(a;b), mà đề bài cho 2 điểm M, N biết tọa độ rồi, vì 
vậy hướng suy nghĩ tiếp theo là đi tính DN và DM như 
sau: 
- Ta có DKDN
2
= , để ý rằng DPK∆ có  0 PBDPK 30 ,PK 2
2
= = = , vậy cần tính PD để áp 
dụng định lý hàm số cos trong DPK∆ thì sẽ tính được DK. 
Ở đây 2 2PD AP AD PD AB AD 2 3 2= − = − − = − , quay trở lại để áp dụng định lý hàm số 
cos trong DPK∆ DK DN 2 3⇒ ⇒ = − (1) 
- Ta có 
2 2PC PD DCDM 5 2 3
2 2
+
= = = − (2) 
+ Cuối cùng, giải hệ phương trình gồm (1) và (2) 
1 3D ;
2 2
3 3D ;
2 2
  
   
  
⇒ 
 
  
 
Bài 22: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có AB AD CD,B(1;2)= < , đường 
thẳng BD có phương trình y 2= . Biết đường thẳng d : 7x y 25 0− − = cắt đoạn thẳng AD, 
CD lần lượt tại M và N sao cho BM BC⊥ và tia BN là tia phân giác của MBC . Tìm tọa 
độ điểm D, biết D có hoành độ dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Ta có d(B;d) ... 2 2= = 
+ Ta có BMN BNC∆ = ∆ (do BN chung, 
 MBN CBN;BM BC= = (do BAM BHC)∆ = ∆ 
BI BH 2 2⇒ = = (2 đường cao tương ứng của 2 tam 
giác bằng nhau) 
EN(1;1)
M(1;2)
K
P
D C
BA
H
N
I
M y-2=0
d:7x-y-25=0
D
A
C
B(1;2)
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 21 
BD BH. 2 4⇒ = = (do BDH∆ vuông cân tại H) 
+ Do D BD D(b;2)∈ ⇒ , giải phương trình d 3 0BD 4
d 5 D(5;2)
= − <
= ⇒ 
= ⇒
Bài 23: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B có 3 9BC 2.AD, H ;
5 5
 
=  
 
 là hình 
chiếu vuông góc của B lên CD. Xác định tọa độ các điểm B, D của hình thang, biết 
A( 3;1)− , trung điểm BC là điểm M nằm trên đường thẳng x 2y 1 0+ − = 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ M d M(1 2x;x)∈ ⇒ − 
+ Do ADMB là hình chữ nhật ⇒ tứ 
giác ADMB nội tiếp đường tròn 
đường kính DB, mà  0DHB 90= ⇒ H 
thuộc đường tròn đường kính DB 
⇒5 điểm A, D, H, M, B nằm trên 
đường tròn đường kính DB ⇒ tứ 
giác AHMB nội tiếp  0AHM 90⇒ = 
(do  0ABM 90= ) 
Đến đây ta giải phương trình 
HA.HM 0 M(1;0)= ⇒
 
+ Mà AM // DC (do ADMC là hình 
bình hành) ⇒ đường thẳng DC đi 
qua H và song song với AM DC : 5x 20y 39 0⇒ + − = 
+ Ta có 1O 1;
2
 
− 
 
 là trung điểm AM, giải tiếp hệ 
9 12 1 7D ; B ;
D DC 5 5 5 5
OD OA 3 9 13 4D ; B ;
5 5 5 5
    
− ⇒ − −   ∈    ⇒
=     ⇒ − −    
   
Bài 24: Cho hình vuông ABCD có A(3;4) . Gọi M, N là các trung điểm AD và DC. E là 
giao điểm BN và CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp BME∆ , biết BN có 
phương trình x 3y 1 0− + = và điểm B có tọa độ nguyên. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Trước hết, quan sát hình vẽ ta thấy đối với bài tập dạng này, ta sẽ chứng minh được 
MC BN BEM⊥ ⇒ ∆ vuông tại E (bạn tự chứng minh điều này nhé vì chúng ta làm vài lần 
rồi) ⇒ đường tròn ngoại tiếp BEM∆ có tâm I là trung điểm MB, bán kính R = IB. 
Như vậy điểm quyết định là phải tìm được tọa độ B và I (ở đây đề bài cho B có tọa 
độ nguyên nên chắc chắn sẽ phải suy nghĩ đến việc tìm tọa độ B rồi) 
+ B BN : x 3y 1 0 B(3b 1;b)∈ − + = ⇒ − , ⇒ ta cần thiết lập 1 phương trình để tìm ra b = ? 
Bây giờ dừng tại đây và tiếp tục quan sát hình xem bạn suy luận được gì nhé ! 
M
O
d:x+2y-1=0
D
CB
H( 35 ;
9
5 )
A(-3;1)
CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 22 
+ Nếu gọi P là trung điểm BC, Q AP BN= ∩ ⇒ sẽ chứng minh được AP là đường thẳng 
qua A và BN AP : 3x y 13 0⊥ ⇒ + − = 
+ Tọa độ Q AP BN= ∩ , giải hệ có 19 8Q ;
5 5
 
 
 
32AQ
5
⇒ = 
+ Mà AQ = BE (do AQB BEC∆ = ∆ ) 32BE
5
⇒ = , lại có BE 2.BQ= , giải phương trình 
BE 2.BQ= 
6b Z
B(5;2)5
b 2

= ∉⇒ ⇒

=
 (Đã tìm được B rồi nhé - gần xong rồi) 
+ Bây giờ tìm I nhé: Gọi I là trung điểm MB ⇒ I là trung điểm AP (do ABPM là hình 
chữ nhật) I AP⇒ ∈ I(x;13 3x)⇒ − 
Để tìm x, bạn chỉ cần giải phương trình IA = BI 7x
2
⇒ = 
Như vậy bài toán này có đáp số là 
2 27 5 10
x y
2 2 4
   
− + − =   
   
x - 3y + 1 = 0
E
Q
I
M
D N
C
P
BA(3;4)
Bài 25: Cho hình chữ nhật ABCD có AD AB 2= , AB có phương trình 2x y 4 0+ + = , 
H(0;1) là trung điểm BC, M là trung điểm AD. I là giao điểm AC và BM. Viết phương 
trình đường tròn đi qua 3 điểm B, I, C. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Với dạng bài tập này, theo kinh nghiệm ta sẽ 
chứng minh BIC∆ vuông tại I (đây là quyết định 
thành công). Thật vậy: 
Ta có 1
1 1AD AB. 2AM 22 2tan B
AB AB AB 2
= = = = , 
1
AB AB AB 2
tan C
BC AD 2AB 2
= = = = 
12
1
I