Ôn tập Toán lớp 9

đoạn đường bằng và một đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và 20 km/h. Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi.
Bài 16: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h, xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi được quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 17: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định. Khi từ B về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 Km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 18: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngược chiều nhau. Sau 1h40’ thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9Km/h và vận tốc dòng nước là 3 Km/h. 
Bài 19: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km. Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h. Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h. Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km?
Bài 20: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h. Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe máy tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngưòi gặp nhau tại C cách B 10 Km. Tính quãng đường AB
Bài 21: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h. Tính quãng đường AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 22: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau đó ngược từ B về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi.
Bài 23: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 Km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.
Bài 24: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h. Trên đường đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài quãng đường sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc.
Bài 25: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 26: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 Km và ngược dòng 63 Km. Một lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngược dòng 84 Km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng (thực) của ca nô.
Bài 27: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tầu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4 Km/h.
Bài 28: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 29: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 Km trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường.
Bài 30: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài 31: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 Km, người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ.Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đường đã đi lúc đầu. 
2. NĂNG XUẤT
Bài 32: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? 
Bài 33: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch. 
Bài 34: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định 
Bài 35: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trứoc khi làm việc đội xe đó được bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau. 
Bài 36: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu?
Bài 37: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 38: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc. Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong.
3. THỂ TÍCH (Làm chung – làm riêng một công việc)
Bài 39: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể?
Bài 40: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 41: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm được 10 m3. Sau khi bơm được thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m3 . Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước 48 phút. Tính thể tích bể chứa.
Bài 42: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ được bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Bài 43: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? 
Bài 44: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nếu chảy cùng một thời gian như nhau thì lượng nước của vòi II bằng 2/3 lượng nước của vòi I chảy được. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể.
Bài 45: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong?
Bài 46: Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẰNG ĐỒ THỊ
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA PARAPOL y = ax2 
VÀ ĐƯỜNG THẲNG y = mx + n
Kiến thức.
Giải phương trình bậc hai bằng đồ thị.
Để giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( tức là ax2 = -bx – c) bằng đồ thị, ta vẽ parapol y = ax2 và đường thẳng y = -bx – c trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định hoành độ các giao điểm của chúng (nếu có).
- Nếu đường thẳng cắt parapol tại hai điểm thì phương trình có hai nghiệm (ứng với ∆ 0)
- Nếu đường thẳng không giao với parapol thì phương trình vô nghiệm (ứng với ∆ < 0).
- Nếu đường thẳng tiếp xúc với parapol thì phương trình có nghiệm kép (ứng với ∆ = 0).
 2. Vị trí tương đối giữa parapol y = ax2 và đường thẳng y = mx + n
	 - Đường thẳng cắt parapol tại hai điểm phân biệt 
	 - Đường thẳng không giao với parapol 
	 - Đường thẳng tiếp xúc với parapol 
B. Bài tập.
Bài 1: Cho parapol y = ax2 tiếp xúc với đường thẳng y = x – 1.
a) Xác định hệ số a.
b) Tìm tọa độ tiếp điểm của đường thẳng và parapol.
Bài 2: Cho parapol 
a) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x – 2 (d1) tiếp xúc với parapol. Tìm tọa độ của tiếp điểm.
b) Cho biết điều kiện để hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ vuông góc với nhau là aa’ =-1. Xác định tiếp tuyến d2 của parapol sao cho d1d2.
c) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2.
Bài 3: 
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hoành độ lần lượt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB.
Bài 4: Cho hàm số . Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 5: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): và đường thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).	
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 6 : Cho parapol y = x2. Xác định hệ số n để đường thẳng y = 2x + n tiếp xúc với parapol. Tìm tọa độ của tiếp điểm.
Bài 7: Cho parapol và đường thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số m và n để đường thẳng đi qua điểm A(-1 ; 0) và tiếp xúc với parapol. Tìm tọa độ của tiếp điểm.
Bài 8: Cho parapol . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1 ; -2) và tiếp xúc với parapol. Tìm tọa độ của tiếp điểm.
Bài 9: Cho parapol y = x2 và đường thẳng y = x + n.
a) Với giá trị nào của n thì đường thẳng cắt parapol tại hai điểm phân biệt.
b) Xác định tọa độ giao điểm của parapol và đường thẳng nếu n = 2.
Bài 10 : Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị là parapol (P), đường thẳng d có phương trình y = 2x + 4. Chứng minh d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính diện tích của ∆ OAB.
Bài 11 : Cho parapol (P). Đường thẳng d đi qua điểm I(0 ; 2) có hệ số góc k.
Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của A và B trên Ox. Chứng minh ∆ IHK vuông tại I.
Bài 12: Cho parapol y = x2 (P) và đường thẳng d: y = mx – m + 1. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện :
	b) x1 = 9x2 
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho biểu thức 
a) Rút gọn P. 	b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - ).	c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: Xét biểu thức 
a) Rút gọn A.	b) Biết a > 1, hãy so sánh A với .	
c) Tìm a để A = 2.	d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 3: Cho biểu thức 
a) Rút gọn C.	b) Tính giá trị của C với .	c) Tính giá trị của x để 
Bài 4: Cho biểu thức 
a) Rút gọn M.	b) Tính giá trị M nếu 	c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức 
a) Rút gọn P.	b) Chứng minh rằng nếu 0 0.	c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức 
a) Rút gọn Q.	b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 7: Xét biểu thức 
a) Rút gọn H.	b) Chứng minh H ≥ 0.	c) So sánh H với .
Bài 8: Xét biểu thức 
a) Rút gọn A.	b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.	
c) Tính các giá trị của A nếu .
Bài 9: Xét biểu thức 
a) Rút gọn M.	b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức 
a) Rút gọn P.	b) Tìm các giá trị của x sao cho 	c) So sánh P với .
Bài 11. Cho 
a) Rút gọn A. 	b) Tính giá trị của A với a = 9	c) Với giá trị nào của a thì | A | = A
Bài 12. Cho biểu thức : .
a) Rút gọn B.	b) Tính giá trị của B nếu 	c) So sánh B với -1
Bài 13. Cho 
a) Rút gọn A.	b) Tìm b biết | A | = -A.
c) Tính giá trị của A khi .
Bài 14. Cho biểu thức 
a) Rút gọn A.	b) Tìm giá trị của A nếu .	
c) Tìm giá trị của a để .
Bài 15. Cho biểu thức .
a) Rút gọn biểu thức A.	b) Tìm giá trị của A để A = - 4
Bài 16. Cho biểu thức 
a) Rút gọn B.	b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54; a = 24
c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0. 
Bài 17. Cho biểu thức: với m ≥ 0 ; n ≥ 1
a) Rút gọn A.	b) Tìm giá trị của A với .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 18. Cho với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
a) Rút gọn P.	b) Tìm x sao cho P < 0
Bài 19. Xét biểu thức .
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.	b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?
Bài 20. Cho A = 
Rút gọn A	b) Tính giá trị của A khi a = 	 c) Tìm a để A < 0
Bài 21. Cho P = 
Rút gọn P	b) Tính giá trị của x để P = -1
Bài 22. Cho P = 
Rút gọn P	b) Tính giá trị của P tại x = 
c) Tìm x thỏa mãn 
Bài 23. Cho B = 
Rút gọn B	b) Tìm x để B = 2	c) Tìm x để B > 0
Bài 24. Cho A = 
a) Rút gọn A 	b) Tìm x Z để A Z
Bài 25. Cho A = 
Rút gọn A	b) Chứng minh rằng 0 < A < 2
Bài 26. Cho K = 
Tìm x để K xác định	b) Rút gọn K	c) Tìm x nguyên để K nhận giá trị nguyên
Bài 27. Cho P = 
Rút gọn P	b) Tính P tại x = 	c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 28. Cho P = 
Rút gọn P	b) Tính P tại x = 
Bài 29. Cho M = 
Rút gọn M	b) Chứng minh rằng 1 > 3M
Bài 30. Cho A = 
Rút gọn A	b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài 31. Cho M = 
Rút gọn M	b) Tìm x sao cho M > 0
Bài 32. Cho M = 
Rút gọn M	b) Chứng minh rằng M > 0
Bài 33. Cho P = 
Rút gọn P	b) Tìm x để P = 3
Bài 34. Cho M = 
Rút gọn M	b) Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên
c) Chứng minh rằng M < 1 với mọi x
Bài 35. Cho P = 
Rút gọn P	b) Chứng minh rằng P 0
Bài 36. Cho P = 
Rút gọn P	b) Tìm x để P = 1
Bài 37. Cho P = 
Rút gọn P	b) Tìm a để 
GIẢI BÀI TOÁN BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP 
PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠG TRÌNH
Dạng 1: Chuyển động: (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy)
Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
Bài 2: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau.
Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng.
Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng (toán vòi nước)
Bài tập 1: Hai vòi nước cùng chảy đầy một bẻ không có nước trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 h .
Giải 
Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ )
Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ )
1 giờ vòi đầu chảy được ( bể ) ;	
1 giờ vòi sau chảy được ( bể ) 
1 giờ hai vòi chảy được + ( bể ) (1)
Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = h
Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy được 1: = ( bể ) ( 2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình + = 
Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là y – x = 4
Vậy ta có hệ phương trình 
 + = 
 y – x = 4
Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn 
Hệ (b) bị loại vì x < 0 
Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h 
 Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h 
Bài tập 2: Hai người thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi người nửa việc thì tổng số giờ làm việc là 12h 30ph . Nếu hai người cùng làm thì hai người chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Như vậy , làm việc riêng rẽ cả công việc mỗi người mất bao nhiêu thời gian ?
Giải 
Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 ) 
Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 ) 
Ta có pt : x + y = 12 ( 1 )
 thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => 1 giờ người thứ nhất làm được công việc 
Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => 1 giờ người thứ hai làm được công việc 
1 giờ cả hai người làm được công việc nên ta có pt : + = (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ pt :
Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một người làm trong 10 giờ còn người kia làm trong 5 giờ 
Bài tập 3: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đường vào bản trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?
Giải 
Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đường là x( giờ ) ( x ≥ 4 ) 
Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đường là x + 6 ( giờ )
Trong 1 giờ tổ 1 sửa được ( con đường )
Trong 1 giờ tổ 2 sửa được (con đường )
Trong 1 giờ cả hai tổ sửa được (con đường )
Vậy ta có pt: + = x1= 6; x2 = -4
X2 = - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đường hết 6 ngày 
 một mình tổ 2 sửa xong con đường hết 12 ngày 
Bài tập 4: Hai đội công nhân làm một đoạn đường . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đường thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày xong cả đoạn đường .Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đường này ?
Giải 
Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày ) 
Mỗi ngày đội 1 làm được ( đoạn đường )
Mỗi ngày đội 2 làm được ( đoạn đường )
Mỗi ngày cả hai đội làm được ( đoạn đường )
Vậy ta có pt : + = 
 Hay x2 -42x – 1080 = 0 
 = 212 + 1080 = 1521 => = 39
 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mãn đk của ẩn 
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày .
Bài 5: Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian . Đội 1 phải trồng 40 ha , đội 2 phải trồng 90 ha . Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch .Đội 2 hoàn thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch . Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian đội 2 đã làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng được của hai đội bằng nhau . Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải 
Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0
Thời gian đội 1 đã làm là x – 2 ( ngày ) 
Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày ) 
Mỗi ngày đội 1 trồng được (ha)
Mỗi ngày đội 2 trồng được (ha)
Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng được (x + 2) (ha)
Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng được (x - 2) (ha)
Theo đầu bài diện tích rừng trồng dược của hai đội trong trường này là bằng nhau nên ta có pt:
 (x + 2) = (x - 2)
 Hay 5x2 – 52x + 20 = 0
 = 262 – 5.20 = 576 , = 24	x1 = = 10 ; x2 = 
x2 < 2 , không thoả mãn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày .
Bài 6:(197/24 – 500 BT chọn lọc )
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được 25% công việc . Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
Giải:
Gọi x, y lần lượt là số giờ người thứ nhất người thứ hai một mình làm xong công việc đó (x>0, y >0) 
Ta có hệ pt 
Bài 7 : ( 198/24 – 500 BT chọn lọc ) 
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 6 giờ đầy bể . Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được bể . Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ?
Giải :
Gọi x , y lần lượt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 ) 
Ta có hệ pt 
x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn . Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi thứ hai chảy một mình mất 15 giờ .
Bài tập 8 ( 199/24 - 500 BT chọn lọc )
Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ , còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi , nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút . Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên ?
Giải:
Gọi x , y lần lượt là thời gian người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm xong công việc với năng suất dự định ban đầu .
Một giờ người thứ nhất làm được (công việc )
Một giờ người thứ hai làm được (công việc )
Một giờ cả hai người làm được (công việc )
Nên ta có pt : + = (1)
trong 8 giờ hai người làm được 8. = (công việc )
Công việc còn lại là 1 - = ( công việc )
Năng suất của người thứ hai khi làm một mình là 2.= (Công việc )
Mà thời gian người thứ hai hoàn thành công việc còn lại là (giờ) nên ta có pt 
 : = hay = (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt : Þ 
Vậy theo dự định người thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và người thứ hai hết 20 giờ .
Bài tập 9: ( 400 bai tập toán 9 )
Hai người A và B làm xong công việc trông 72 giờ, còn người A và C làm xong công việc trong đó trong 63 giờ và người B và C làm xong công việc ấy trong