Phương pháp và bài tập quan hệ vuông góc

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUƠNG GĨC
Để chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng ta cĩ thể theo các định lí , hệ quả sau :
.
.
 .Nếu lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 
Khi hai đường thẳng cắt nhau ta cĩ thể dùng các kết luận đã cĩ trong hình học phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo  để chứng minh chúng vuơng gĩc .
 ; 
Để chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng ta cĩ thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :
 (là mặt phẳng trung trực của AB).
.
Để chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau ta cĩ thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :
Tính gĩc giữa hai đường thẳng 
Phương pháp : Cĩ thể sử dụng một trong các cách sau: 
Cách 1: (theo phương pháp hình học) 
Lấy điểm O tùy ý (ta cĩ thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đĩ vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho 
Tính một gĩc trong các gĩc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O .
Nếu gĩc đĩ nhọn thì đĩ là gĩc cần tìm , nếu gĩc đĩ tù thì gĩc cần tính là gĩc bù với gĩc đã tính . 
Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)
Tìm lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 
Khi đĩ .
Tính gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 Phương pháp : 
 ;
; 
Để tìm ta lấy tùy ý điểm , dựng tại H , suy ra 
Xác định gĩc giữa hai mặt phẳng 
Phương pháp : 
Cách 1 : Dùng định nghĩa : 
 trong đĩ : 
Cách 2 : Dùng nhận xét : 
. 
Cách 3 : Dùng hệ quả : 
 .
Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng 
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuơng gĩc vẽ từ điểm đĩ đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :
Cách 1 : 
Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuơng gĩc với (P) .
Xác định .
Dựng , 
suy ra MH là đoạn cần tìm . 
Cách 2: Dựng 
Chú ý : 
Nếu .
Nếu 
Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: 
Khi .
Khi 
 với .
Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
Khi .
Khi 
với .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
Khi .
Khi với .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng chéo nhau
 và là đường thẳng cắt ở và cắt 
 ở đồng thời vuơng gĩc với cả và .
Đoạn được gọi là đoạn vuơng gĩc chung của hai đường 
thẳng chéo nhau và . 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn 
vuơng gĩc chung của hai đườngthẳng đĩ .
Phương pháp : 
Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) .
Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đĩ là khoảng cách cần tìm . 
Cách 3 : Dựng đoạn vuơng gĩc chung và tính độ dài đoạn đĩ . 
 Cách dựng đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng chéo nhau : 
Cách 1: Khi 
Dựng một tại H .
Trong (P) dựng tại K .
Đoạn HK là đoạn vuơng gĩc 
chung của a và b .
Cách 2: 
Dựng .
Dựng , bằng cách lấy 
dựng đoạn , lúc đĩ a’ là 
đường thẳng đi qua N và song song a .
Gọi , dựng 
là đoạn vuơng gĩc chung cần tìm .
Một số bài tập ơn tập chương
Cho hình chĩp cĩ đáy là hình thang vuơng tại và ,, các mặt phẳng và cùng vuơng gĩc với mặt phẳng .
a) Chứng minh .
b) Chứng minh .
c) Chứng minh các mặt bên của hình chĩp đều là các tam giác vuơng .
 d) Khi . Tính gĩc giữa với mặt phẳng và gĩc giữa hai mặt phẳng và . 
d) Tính các khoảng cách : .
Cho hình chĩp đều S.ABCD cĩ cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a.
a) Tính đường cao của hình chĩp .
b) Tính gĩc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy .
c) Tính d(O, (SCD)) .
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung của BD và SC .
e) Gọi (a) là mặt phẳng chứa AB và (a) vuơng gĩc với (SCD) , (a) cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác ABC’D’ là hình gì? Tính diện tích của thiết diện . 
Cho hình chữ nhật cĩ . Lấy điểm trên cạnh sao cho và là trung điểm của . Trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng tại lấy điểm sao cho .
a) Chứng minh ;
b) Chứng minh ;
c) Tính gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
d) Xác định vị trí điểm sao cho .
 	(Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM) .
(*) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là DABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vuơng gĩc với (ABC) .
a) Chứng minh (SAI) vuơng gĩc với (SBC) .
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao của DSBC. Chứng minh (MBE) vuơng gĩc với (SAC) và (NFC) vuơng gĩc với (SBC) .
c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của DSBC và DABC . Chứng minh OH vuơng gĩc với (SBC) .
d) Cho (a) qua A và song song với BC và (a) vuơng gĩc với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi (a) khi SA = 2a .
e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS khơng đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất .
Khi SA = . Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) .
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng DSAB đều cạnh a, (SAB) vuơng gĩc với (ABCD) .
a) Chứng minh DSCD cân .
b) Tính số đo gĩc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) .
c) Tính đoạn vuơng gĩc với chung giữa AB và SC .
Cho DOAB cân tại O . OA = OB = a , . Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuơng gĩc với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho .
a) Tính các cạnh của DOMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để DOMN vuơng tại O .
b) Cho DOMN vuơng tại O và x + y = . Tính x, y ( x < y ) .
c) Với kết quả câu b) . Tính gĩc .
d) Giả sử M , N lưu động sao cho . Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định.
(*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt . 
a) Chứng minh khi thì gĩc giữa DI và AC’ bằng .
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất .
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo và .
Cho hình chĩp tứ giác đều cĩ . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng . Tính khoảng cáh từ đến 	(CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) .
Cho hình lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác vuơng tại , . Gọilà trung điểm của đoạn thẳng , là giao điểm của và . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 	(KHỐI D NĂM 2009) .
Cho hình lăng trụ tam giác cĩ , gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 600 ; là tam giác vuơng tại và . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách ttừ đến mặt phẳng và diện tích của tam giác ABC . 
 	(KHỐI B NĂM 2009).
Cho hình chóp cĩ đáy là hình thang vuơng tại và ,, ; góc giữa hai mặt phẳng và bằng 600. Gọi là trung điểm của cạnh . Biết hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng , tính khoảng cách từ đến mặt phẳng và diện tích của hình thang . 	(KHỐI A NĂM 2009).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuơng góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuợc đoạn AC, . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo a.
 	(KHỐI D NĂM 2010) .
Cho hình lăng trụ tam giác đều cĩ , gĩc giữa hai mặt phẳng và bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng và . Tìm điểm cách đều bốn điểm tính khoảng cách từ đến các điểm đĩ theo .
 Cho hình chĩp cĩ đáy là hình vuơng cạnh . Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và ; là giao điểm của và . Biết vuơng gĩc với mặt phẳng và . Tính diện tích của và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . 	
Cho hình lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác vuơng , . Gọilà trung điểm của đoạn thẳng . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và . (KHỐI D NĂM 2008) 
Trong mặt phẳng cho nửa đường trịn đường kính và điểm thuộc nửa đường trịn đĩ sao cho . Trên đường thẳng vuơng gĩc với tại lấy điểm sao cho . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên .Chứng minh tam giác vuơng và tính diện và khoảng cách từ đến .
 Bài 1 : Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a . SA = a và SA vuơng gĩc (ABCD) .
1) Chứng minh (SBC) vuơng gĩc (SAB) và (SCD) vuơng gĩc (SAD) 
2) Tính gĩc giữa (SCD) và (ABCD)
Bài 2 : Hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại C , mặt bên SAC là tam giác đều và vuơng gĩc (ABC) .
1) Xác định chân đường cao H kẻ từ S của hình chĩp .
2) Chứng minh (SBC) vuơng gĩc (SAC) .
3) Gọi I là trung điểm SC , chứng minh (ABI) vuơng gĩc (SBC)
Bài 3 : Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy là a . Gọi I là trung điểm BC .1) Chứng minh (SBC) vuơng gĩc (SAI) .
2) Biết gĩc giữa (SBC) và (ABC)là a. Tính chiều cao SH cua hình chĩp .
Bài 4 : Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . 1) Tính độ dài đường cao hình chĩp . 1) M là trung điểm SC . Chứng minh (MBD) vuơng gĩc (SAC) .
2) Tính gĩc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chĩp .
Bài 5 : Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và. Cĩ SA = SB = SD = a.1) Chứng minh (SAC) vuơng gĩc (ABCD) và SB vuơng gĩc BC .2) Tính tang của gĩc giữa (SBD) và (ABCD) .
Bài 6 : Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D , 
AB = 2a , AD = CD =a , cạnh SA vuơng gĩc với đáy và SA = a .
1) Chứng minh (SAD) vuơng gĩc (SCD) và (SAC) vuơng gĩc (SBC) .
2) Gọi a là gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . Tính tan.a
Bài 7: Tứ diện ABCD, AD ^ (BCD) Gọi E là chân đường cao DE của tam giác BCD
a/Chứng minh (ADE) ^ (ABC)
b/Kẻ đường cao BF của tam giác ABC, đường cao BK của (BCD) 
Chứng minh (BFK) ^ (ABC)
Bài 8: Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a,SA=SB=SC=SD=a
Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a/Chứng minh (SIJ) ^ (SBC) b/ Tính khoảng cách giữa AD và SB
Bài9: Tứ diện S.ABC cĩ ABC là tam giác vuơng cân đỉnh B ; AC=2a. Cạnh SA vuơng gĩc với (ABC) và SA=a
a/Chứng minh (SAB) ^ (SBC) b/Tính khảng cách từ A đến (SBC)
c/Gọi O là trung điểm AC .Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
B10/ Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, 
SA ^ (ABCD), SA = h. Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. TÝnh kho¶ng c¸ch:
 a) Tõ B ®Õn (SCD) b) Tõ O ®Õn (SCD)
B11) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng v¹nh a, 
mỈt bªn (SAB) ^ ®¸y vµ SA = SB = b. TÝnh kho¶ng c¸ch:
 a) Tõ S ®Õn (ABCD) b) Tõ AD ®Õn (SBC).
 c) Tõ trung ®iĨm I cđa CD ®Õn (SHC), H lµ trung ®iĨm cđa AB.
B12) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA ^ (ABCD), SA = a. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng:
 a) SA vµ BD. b) SC vµ BD. c) AC vµ SD.
B13) Cho hai tam gi¸c c©n kh«ng ®ång ph¼ng ABC vµ ABD cã ®¸y chung AB.
 a) CM: AB ^ CD. b) X¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung cđa AB vµ CD.
Bài14: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a,cạnh SA ^ (ABCD) ; SA=2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài15: Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a,SA^ (ABCD) và SA=a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :
a/ SC và BD b/ AC và SD
Bài 16:Cho tứ diện OABC, trong đĩ OA ,OB,OC đơi một vuơng gĩc và OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm BC.Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung của các cặp đường thẳng :
a/ OA và BC b/AI và OC