Tài liệu để đạt được điểm môn Toán trong kì thi THPT quốc gia

 hai đường 3y x và 2y x  . 
a) Tính thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox. 
b) Tính thể tích khối tròn xoay khi cho S quay quanh Oy. 
Giải: 
a) Phương trình hoành độ giao điểm: 
1 1
3 2
42
x x
x x
xx
  
      
Thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox được tính: 
     
4 4 4
2 2 2 2
1 1 1
3 2
3 2 5 4 5 4
45 9
4 ( )
13 2 2
V x x dx x x dx x x dx
x x
V x dvtt
            
  
      
 
  
b) Ta có: 
213
9
y x x y   và 2 2y x x y     
Phương trình hoành độ giao điểm 
2
31
2
69
y
y y
y

    
 Thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Oy đươc tính: 
 
6 6
22 4 2
3 3
4
4 2
1
5 3
2
1 1
2 4 4
9 81
1
4 4
81
6
2 4
3405 3
12
( )
5
V y y dy y y y dx
V y y y dx
y y
V y y
V dvtt
  
          
  
 
      
 
 
      
 


 

 72 
Bài tập: 
1) Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng khi quay quanh Ox: 
a) 
3 1y x  , trục hoành, 1x  và 2x  . 
b) lny x , 0y  và x e . 
c) tany x , 0x  và 
3
x

 . 
d) 
xy xe , 0y  và 1x  . 
e) 
24y x  ,
2 2y x  . 
f) 2y x x  , 0y  , 0x  và 1x  . 
g) 
24 1y x x  , 0y  và 15x  . 
h) 2
1
1
y
x


,
2
2
x
y  . 
2) Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng khi quay quanh Oy: 
a) 
2
2
x
y  , 2y  , 4y  và trục Oy. 
b) y x , 0y  và 2y x  . 
c) .2
xy x và 2y x 
 73 
SỐ PHỨC 
I. Lý thuyết: 
 Định nghĩa: 
Số phức là biểu thức có dạng a bi . Trong đó a, b là các số thực và i thõa mãn 
2 1i   
Kí hiệu số phức: z a bi  
 i là đơn vị ảo 
 a là phần thực 
 b là phần ảo 
 Tập hợp các số phức kí hiệu là :  2, 1; ,C a bi i a b R     
 Số thuần thực hay số thực là những số phức có dạng :  z a a R  
 Số thuần ảo hay số ảo là số phức có dạng :  z bi b R  
 Đặc biệt số phức 0z  vừa là số thực vừa là số ảo 
 Hai số phức bằng nhau: 
Cho hai số phức z a bi  và ' ' 'z a b i  . Khi đó 
'
' ' '
'
a a
z z a bi a b i
b b

      

 Số phức liên hợp: 
Cho số phức z a bi  số phức liên hợp của số phức z được kí hiệu là z và z a bi  
 Tính chất: 
2 2 2.z z z a b   
 Modun của số phức: 
Cho số phức z a bi  modun của số phức z được kí hiệu là z và 
2 2z a b  
 Biểu diễn hình học của số phức: 
 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi số phức z a bi  được biểu diễn bởi một điểm M 
có tọa độ  ,a b 
 Vậy mỗi điểm bất kì trên mặt phẳng sẽ đại diện cho một số phức tương ứng. 
 Khi đó ta nói mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức là một mặt phẳng phức. 
 Trục Ox biểu diễn các số thực nên ta gọi Ox là trục thực. 
 Trục Oy biểu diễn các số ảo nên ta gọi Oy là trục ảo. 
 74 
 Các phép toán trên tập C: 
 Cho hai số phức z a bi   ,a b R và ' ' 'z a b i   ', 'a b R 
 Tổng hai số phức:    ' ' 'z z a a b b i     
 Hiệu hai số phức:    ' ' 'z z a a b b i     
 Nhân hai số phức:  . ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i    
 Chia hai số phức: 
 
2 2 2
' ' ' '.
'
aa bb ab a b iz z z
z a bz
  
 

 Căn bậc hai của số phức: 
 Định nghĩa: Cho số phức w, mỗi số phức z thỏa mãn 2z w được gọi là một căn bậc 
hai của w. 
 Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai. 
 Phương pháp tổng quát: 
Muốn tìm căn bậc hai của số phức w a bi  
 Bƣớc 1: Gọi z x yi  là căn bậc hai của w. 
 Bƣớc 2: Suy ra  
22z w x yi a bi     
2 2 2x y xyi a bi     
2 2
(*)
2
x y a
xy b
  
 

 Giải hệ (*) suy ra x, y 
 Mỗi cặp nghiệm (x, y) của hệ cho ta một số phức là căn bậc 2 của w. 
 Giải phương trình bậc hai trong tập số phức : 
Trong tập số phức mọi phương trình bậc hai
2 0az bz c   (*) a,b,c C luôn có nghiệm. 
Cách giải phương trình (*) tương đối giống giải phương trình bậc hai trong tập R. 
 Xét 
2 4b ac   (hoặc 
2' 'b ac   ) 
 Nếu 0  thì (*) có nghiệm kép : 1 2
2
b
z z
a
   
 Nếu 0  thì (*) có hai nghiệm phân biệt: 1
2
b
z
a
 
 2
2
b
z
a
 
 
Với  là một căn bậc hai của  
 75 
II. Các dạng toán: 
1. Xác định phần thực, phần ảo, biểu diễn trên mặt phẳng phức, tìm số đối, số phức 
liên hợp, modun số phức, thực hiện các phép tính cộng trừ nhân chia số phức: 
2. Tìm số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài: 
 Phƣơng pháp chung: 
 Bƣớc 1: Gọi số phức cần tìm z x yi  
 Bƣớc 2: Dựa vào đề bài để tìm x, y. Thường thì ta sẽ dùng công thức hai số phức 
bằng nhau để đưa về giải hệ hai ẩn x, y. 
Ví dụ 1: Tìm số phức z biết:  1 1i z z   
Giải: 
Gọi số phức cần tìm là z x yi z x yi     
Thay vào:           1 1 1 1 1i z z i x yi x yi x y x y i x yi                
Ta dùng công thức hai số phức bằng nhau 
1 2
1
x y x x
x y y y
    
  
     
Vậy số phức cần tìm 2z i  
Ví dụ 2: Tìm số phức z biết 2z  và 2z thuần ảo. 
Giải: 
Gọi số phức cần tìm là 
2 2z x yi z x y     và  
22 2 2 2z x yi x y xyi     
Theo đề bài: 
2 22 2
2 2
2 22 2
2 12
1
100
x y x yx y
x y
x yx yx y
         
              
Vậy số phức cần tìm 1 ; 1 ; 1 ; 1z i z i z i z i          
3. Tìm tập hợp các số phức z trong mặt phẳng phức: 
 Phƣơng pháp: 
 Bƣớc 1: Gọi z x yi  
 Bƣớc 2: Dựa vào đề bài ta suy ra được hệ thức liên hệ theo x, y. Hệ thức này chính 
là tập hợp các điểm cần tìm. 
Ví dụ : Tìm tập hợp các số phức z trong mặt phẳng phức biết: 
a/ 2z  b/   1z z i  là số thực 
 76 
Giải : 
 a/ Gọi z x yi  
 Theo đề bài: 
2 2 2 22 2 4z x y x y       
 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức cần tìm là đường tròn: 
2 2 4x y  
 b/ Gọi z x yi z x yi     
 Theo đề bài:   1z z i  là số thực 
   1x yi x yi i     là số thực 
  2 2 1x y x y x y i       là số thực 
 1 0x y    
Vậy tập hợp xác điểm biểu diễn số phức cần tìm là đường thẳng: 1 0x y   
4. Tìm căn bậc hai của số phức - Giải phƣơng trình trong tập số phức: 
a. Tìm căn bậc hai của số phức z: 
Phƣơng pháp: 
 Bƣớc 1: Gọi w x yi  là căn bậc hai của z a bi  . 
 Bƣớc 2: Suy ra  
22w z x yi a bi     
2 2 2x y xyi a bi     
2 2
(*)
2
x y a
xy b
  
 

 Giải hệ (*) suy ra x, y 
 Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của số phức: 3 4i 
Giải: 
 Gọi w x yi  là căn bậc hai của số phức 3 4i 
 Ta suy ra:  
22 2 23 4 3 4 2 3 4w i x yi i x y xyi i           
22 2 4 2
2 2 2
4
33 3 4 0
3
2 1
2 12 4
2
xx y x x
xx y x
yxy y y
yx x
x

             
        
        
 Vậy các căn bậc hai của số phức 3 4i là 2 i và 2 i  
 77 
b. Giải phƣơng trình trong tập số phức: 
 Phƣơng trình bậc nhất: . 0a z b  
Chuyển z về 1 vế chia qua tìm z 
Ví dụ: Giải phương trình  2 1 1 2 3z i i z i     
Giải: 
Ta có:      2 1 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 1 4z i i z i z i z i i i z i                 
  
2
1 4 1 21 4 7 6 7 6
1 2 1 2 5 5 5
i ii i
z i
i
    
     
 
Vậy 
7 6
5 5
z i  
 Phƣơng trình bậc hai: 2. . 0a z b z c   
 Xét 
2 4b ac   (hoặc 
2' 'b ac   ) 
 Nếu 0  thì (*) có nghiệm kép 1 2
2
b
z z
a
   
 Nếu 0  thì (*) có hai nghiệm phân biệt: 
1
2
b
z
a
 
 2
2
b
z
a
 
 
Với  là một căn bậc hai của  
 Ví dụ 1: Giải phương trình 
2 1 0z z   trong tập số phức 
Giải: 
Ta có: 
21 4 3     
Chọn một căn bậc 2 của  là 3i 
Vậy phương trình có hai nghiệm: 
1 3
2
i
z
 
 ; 
1 3
2
i
z
 
 
Ví dụ 2: Giải phương trình 
2 . 2 4 0z i z i    
Giải: 
Ta có:  2 4 2 4 15 8i i i      
Gọi w x yi  là căn bậc hai của  
2 2 215 8 2 15 8w i x y xyi i        
 78 
2 2 4 115
4 4
4 12 8
x yx y
w i w i
x yxy
      
               
 Chọn một căn bậc hai của  là 4 i 
Suy ra phương trình có hai nghiệm 
4 4
2 ; 2
2 2
i i i i
z i z
     
      
 Phƣơng trình bậc ba: 3 2. . . 0a z b z c z d    
Nhẩm nghiệm dùng hoocne để phân tích đưa về giải phương trình bậc 2 
  20 2. . 0 . . 0
oz z
z z a z B z C
a z B z C

      
  
Ví dụ: Giải phương trình trong tập số phức:    3 1 . 2 . 2 0z i z i z i      
Giải: 
Nhẩm được nghiệm z i ta phân tích thành: 
  2 22 0 2 0(*)
z i
pt z i z z
z z

      
  
Giải (*) ta có: 7   . Chọn một căn bậc hai của  là 7i 
Suy ra (*) có hai nghiệm : 
1 7 1 7
;
2 2
i i
z z
   
  
Vậy phương trình có ba nghiệm 
1 7 1 7
; ;
2 2
i i
z i z z
   
   
c. Các bài toán liên quan đến tính chất của i: 
Sử dụng: 
2 1i   
3i i  
4 1i  
Ví dụ 1: Rút gọn 
2014 2015 2016A i i i   
Giải: 
Ta có:      
1007 1007 1008
2014 2015 2016 2 2 2. 1 1A i i i i i i i i i            
Ví dụ 2: Chứng minh    
2
1 2
n n
i i  
*n N  
Giải: 
Ta có:      
2 2 21 1 1 2 2
n nn n
i i i i i            
 79 
III. Bài tập: 
1) Xác định phần thực, phần ảo, modun, số phức liên hợp, số phức đối của các số phức sau: 
a) 2 3z i  b) 2z i  c) 3 2z i  
d)  1 3 . 3 2z i i i    e)  
2
2 3z i  f) 
1 2
1 2
i
z
i



g) 
1 2
1 2
i
z
i



 h) 
 
 
2
2
2 3 .
i
z
i i



 i) 
2 2 2 2
2 2 2 2
i i
z
i i
 
 
 
2) Biểu diễn các số phức ở câu 1) trên mặt phẳng phức. 
3) Cho số phức 
1 3
2 2
z i  . Tính  
3
21 , , , ,z z z z
z
4) Tìm phần thực và phần ảo và modun của số phức z biết: 
a) 
1 1 2z i   b) 
3
1 3
1
i
z
i
 
    
c) 
 
2
2 31
2
i zi
i
z z

   d)  
31 5
2
1
i
z i
i

  

5) Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: 
a) 4z  b) 5z   c) 9z i 
d) 2z i  e) 3 4z i  f) 8 6z i  
6) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z biết: 
a) z i là số thuần ảo b)2 3z  là số thuần thực c)   2 z z i  là số thuần ảo 
d) 1z i  e) 2z là số thuần thực f)   2z z i  là số thuần thực 
g) 1z  h) 3 4z z i   i)
z i
z i


 là số thuần thực 
j) 1
3
z i
z i



 k) 3 4 2z i   l)  1z i i z   
m)
1
2z
z
  n) 3 3 10z z    o) 2 2z z   
7) Giải phương trình trong tập C: 
a) . 2 0i z i   b)  2 3 1i z  c)  2 4 2 0z z i    
 80 
d)  2 2 0i z   e) 
2 3 1
1 2
i i
z
i i
 

 
 f)      1 1 1 1 2 2z i z i i       
8) Giải phương trình trong tập C: 
a) 
2 2 0z z   b) 
23 4 2 0z z   
c) 
2 3 5z z   d)  2 2 1 0z i z i     
e)    2 1 3 2 1 0z i z i     f)  22 2 3 1 0z i z i     
9) Giải phương trình trong tập C: 
a) 
3 1 0z   b) 
3 8 0z   
c)    3 22 1 2 1 1 0z i z i z      d) 3 22 2 4 0iz iz z    
10) Tìm số phức z biết: 
a) 
 
3
2
1 2
i
z
i



 b)  . 3 1 4z z z z i    
c)  2 3 1 9z i z i    d) 
5 3
1
i
z
z

  
e) 
2 0z z  f) 
2 0z z  
11) Tìm số phức z biết: 
a) 
2z z b) 2 10z i   và . 25z z  
c) 2z  và 2z thuần ảo d) 2 2z z i   vàc 
2
2
z i
z


 thuần ảo 
e) 5z  và 
7
1
z i
z


 thuần thực f)  
2
2 4z z  và 2 2z i z z i    
i) 2 2z i   và số phức   z i z i  có phần ảo bằng 1 
12) Tính : 
a) 
2015A i b) 
2014 2015 2016B i i i   
c) 
20 34 23 105C i i i i    d) 
1 2 3n n n nD i i i i      
13) Chứng minh rằng: 
a) 
4 1ni  , 
4 1ni i  , 
4 2 1ni    , 
4 3ni i   b)    
2
1 2
n n
i i  
c)      
4 4 2 11 1 1 .2
n n n ni i      d)      
2 2
1 1 1
n n n
i i    
 81 
14) Cho số phức z thỏa mãn 
 1 3
1
i
z
i



. Tính z iz 
15) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức  ' 1 3 2z i z   . Biết 1 2z   
16) Tìm số phức z biết  1 2i z là số thực và 2 4 1 2 2z z   
17) Tìm số phức z thỏa mãn 1 5z   và  17 5 0z z zz   
18) Cho số phức z thỏa mãn  2 4 2z i i iz    . Tìm phần ảo của số phức 3w z i  
19) Cho số phức z thỏa mãn  2 3 5z i z i    . Tìm phần thực và phần ảo của z 
20) Cho số phức z thỏa mãn 
 5
2
1
z i
i
z

 

 . Tính modun của số phức 
21w z z   
21) Cho số phức z thỏa mãn  2 3 1 1 9z i z i    . Tính modun của z 
22) Cho số phức z thỏa mãn   3 1 5 8 1z z i z i     . Tính modun của z 
 82 
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
A. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 
I. Tọa độ điểm- Tọa độ véc-tơ: 
 Các công thức Véctơ: Cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b  
 
 
1 1 2 2 3 3
1 2 3
2 2 2
1 2 3
; ;
. . ; . ; .
a b a b a b a b
k a k a k a k a
a a a a
     
 
   
 Hai véctơ bằng nhau: 
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b


  
 
 Hai véctơ cùng phương: ,a b cùng phương 
31 2
1 2 3
aa a
b b b
   
 Tích vô hướng của hai véctơ: 1 1 2 2 3 3. . . .ab a b a b a b   
 Hai véctơ vuông góc: 1 1 2 2 3 3. 0 . . . 0a b ab a b a b a b       
 Góc giữa hai véctơ:   1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
cos ,
a b a b a b
a b
a a a b b b
 

   
 Tọa độ điểm: ( ; ; )M M MM OM x y z  
 Cho ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )A A A B B B C C CA x y z B x y z C x y z   
 Tọa độ véctơ AB:  ; ;B A B A B AAB x x y y z z    
 Tọa độ trung điểm I của AB: ; ;
2 2 2
A B A B A Bx x y y z zI
   
  
 
 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
; ;
3 3 3
A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG
      
  
 
 A, B, C thẳng hàng AB và AC cùng phương. 
 83 
II. Tích có hƣớng của hai véctơ: 
1. Định nghĩa: Cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b  
Tích có hướng của hai véctơ a và b là một véctơ, kí hiệu: ,a b   và được cho bởi 
công thức:  
3 32 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a aa a a a
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
 
        
 
2. Tính chất của tích có hƣớng: 
 ; ;a b b a        
 ,a b a    và ,a b b
    
 ,a b cùng phương ; 0a b    
 Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng: , ,a b c đồng phẳng ; . 0a b c    
 Hệ quả: + Để ba điểm A, B, C thẳng hàng ; 0AB AC    
+ Để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng , . 0AB AC AD    
B. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
I. Phƣơng trình mặt phẳng: 
1. Véctơ pháp tuyến là véctơ có giá vuông góc mới mặt phẳng. Kí hiệu: n 
2. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng: 
Mặt phẳng đi qua điểm ( ; ; )o o oM x y z và nhận ( ; ; )n a b c làm véc tơ pháp tuyến thì 
có phương trình tổng quát: 
 a( ) ( ) ( ) 0o o ox x b y y c z z      
Thông thường phương trình mặt phẳng được cho dưới dạng: 0Ax By Cz D    
Khi đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là: ( ; ; )n A B C 
Chú ý: Một mặt phẳng sẽ có vô số véctơ pháp tuyến và các véctơ đó cùng phương. 
 84 
3. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng: 
 Cho hai mặt phẳng ( ) :Ax By Cz 0P D    và ( ) : ' ' ' ' 0Q A x B y C z D    . 
 (P) cắt (Q)
' ' '
A B C
A B C
   
 (P) song song (Q)
' ' ' '
A B C D
A B C D
    
 (P) trùng (Q)
' ' ' '
A B C D
A B C D
    
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 
Khoảng cách từ điểm ( ; ; )A A AA x y z đến mp(P) : 0Ax By Cz D    được cho bởi công 
thức: 
  
2 2 2
. . .
;( )
A A AA x B y C z D
d A P
A B C
  

 
5. Góc giữa hai mặt phẳng: 
Cho hai mặt phẳng: ( ) : 0P Ax By Cz D    và ( ) : ' ' ' 0Q A x B y C z D    
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì: 
2 2 2 2 2 2
. ' . ' . '
cos cos( , )
. ' ' '
P Q
A A B B CC
n n
A B C A B C

 
 
   
II. Bài tập: 
1) Viết phương trình mặt phẳng: 
a) Qua gốc tọa độ và nhận (1;2;3)n  làm véctơ pháp tuyến. 
b) Qua điểm (1; 1;2)A  và nhận ( 1;0;2)n   làm véctơ pháp tuyến. 
2) Cho (1;1;1), (1;2;1), (2;1; 1)A B C  . Viết phương trình mặt phẳng: 
a) Đi qua A và vuông góc với BC. 
b) Đi qua ba điểm A, B, C. 
3) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (1;0;0), (0; 2;0), (0;0; 1)A B C  
4) Cho ( 1;2;1), (1;1;0)A B 
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (1;1;2)M và song song với mp: 2 0x y z   . 
 85 
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(Q), khoảng cách từ điểm M đến mp(P). 
d) Tính góc giữa hai mp(P) và mp(Q). 
5) Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: 
a) ( ) : 2 1 0P x y z    và ( ): 2 0Q x y z    
b) ( ) : 2 3 2 0P x y z    và ( ): 4 2 6 1 0Q x y z     
c) ( ) : 1
2 1 1
x y z
P   

 và ( ) : 2 2 2 0Q x y z    
6) Xác định m, n để hai mặt phẳng song song với nhau: 
( ) : ( 3) 3 ( 1) 6 0
( ) : ( 1) 2 (2 1) 2 0
P m x y m z
Q n x y n z
     
     
7) Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và đi qua điểm (3; 2;2) 
8) Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và đi qua điểm (3; 2;2) 
10 ) Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oz và đi qua điểm (3; 2;2) 
11 ) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm (2; 1;4), (3;2; 1)A B  và vuông góc với 
mặt phẳng ( ) : 2 0x y z    . 
C. ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
I. Phƣơng trình đƣờng thẳng: 
1. Véctơ chỉ phƣơng là véctơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng, Kí hiệu: u . 
2. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng: 
Đường thẳng (d) đi qua điểm ( ; ; )o o oM x y z và nhận ( ; ; )u a b c làm véctơ chỉ phương 
có phương trình tham số: 
 ( ) :
o
o
o
x x at
d y y bt
z z ct
 

 
  
 ( )t R 
3. Phƣơng trình chính tắc: 
Đường thẳng (d) đi qua điểm ( ; ; )o o oM x y z và nhận ( ; ; )u a b c làm véctơ chỉ phương 
có phương trình chính tắc: ( ) :
o o ox x y y z zd
a b c
  
  ( 0)abc  
 86 
4. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: 
Cho ( ) : 0mp P Ax By Cz D    có ( ; : )n A B C 
Và đường thẳng ( ) :
o
o
o
x x at
d y y bt
z z ct
 

 
  
 có ( ; ; )u a b c và ( ; ; )o o oM x y z 
 (d) cắt (P) . 0 . . . 0nu Aa Bb C c      
 (d) song song (P)
. . . 0
0( ) o o o
Aa Bb C cn u
Ax By Cz DM P
   
  
    
 (d) nằm trong (P)
. . . 0
0( ) o o o
Aa Bb C c Dn u
Ax By Cz DM P
    
  
    
 Phƣơng pháp xét vị trí tƣơng đối: 
 Bƣớc 1: Xác định ,n u và một điểm M bất kì thuộc đường thẳng. 
 Bƣớc 2: Tính .n u : 
 Nếu . 0nu  thì đường thẳng cắt mặt phẳng. 
 Nếu . 0nu  thì ta xem tọa độ M có thõa mãn phương trình mặt phẳng ko? 
 Nếu có suy ra (d) nằm trong mặt phẳng (P). 
 Nếu không suy ra (d) song song mặt phẳng (P). 
 Tọa độ giao điểm của đƣờng thẳng (d) và mp(P) là nghiệm của hệ: 
0
o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
 

 

 
    
 Phƣơng pháp: 
 Thay tọa độ x, y, z vào phương trình mặt phẳng giải tìm t 
 Có t thay vào tìm x, y, z. 
 87 
5. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng: 
Cho hai đường thẳng: (d) có véc tơ chỉ phương u và điểm M thuộc (d) 
 (d‟) có véc tơ chỉ phương 'u và điểm M‟ thuộc (d‟). 
 (d) cắt (d‟) , ' . ' 0u u MM    
 (d) song song (d‟)
, ' 0
' .
u u
MM k u
    
 
 (d) trùng (d‟)
, ' 0
' .
u u
MM k u
    
 
 (d) chéo (d‟) , ' . ' 0u u MM    
 Phƣơng pháp xét vị trí tƣơng đối: 
 Bƣớc 1: Xác định , 'u u và hai điểm M, M‟ bất kì thuộc hai đường thẳng. 
 Bƣớc 2: Tính , 'u u   và 'MM 
 Nếu , ' 0u u    ta tính tích vô hướng , ' . 'u u MM
 
  
 Nếu , ' . ' 0u u MM    suy ra hai đường thẳng cắt nhau. 
 Nếu , ' . ' 0u u MM    suy ra hai đường thẳng chéo nhau. 
 Nếu , ' 0u u    ta xét 'MM và u có cùng phương không: 
 Nếu 'MM và u cùng phương suy ra hai đường thẳng trùng nhau. 
 Nếu 'MM và u không cùng phương suy ra hai đường thẳng song song. 
 88 
6. Khoảng cách và góc: 
a. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng: 
Cho đường thẳng ( ) có véc tơ chỉ phương u và một điểm M bất kì thuộc ( ) . 
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( ) xác định bởi công thức: 
  
,
;
MA u
d A
u
 
 
  
b. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau: 
Cho đường thẳng ( ) có vectơ chỉ phương u và một điểm M thuộc ( ) và đường 
thẳng ( ') có véctơ chỉ phương u và một điểm M‟ thuộc ( ') . 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( ) và ( ') được xác định bởi công 
thức: 
, ' . '
( ; ')
, '
u u MM
d
u u
 
 
  
 
 
c. Góc giữa hai đƣờng thẳng: 
Cho đường thẳng ( ) có vectơ chỉ phương u và đường thẳng ( ') có véctơ chỉ 
phương u . 
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng ( ) , ( ') thì 0 90o  
Khi đó:  cos cos , 'u u  
d. Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: 
Cho đường thẳng ( ) có vectơ chỉ phương u và mp ( ) có véctơ pháp tuyến n 
Gọi  là góc giữa ( ) và mp ( ) thì 0 90o  
Khi đó:  sin cos ,n u  
 89 
II. Bài tập: 
1) Viết phương trình tham số của các đường thẳng trong các trường hợp sau: 
a) Đi qua ( 1;1;3)A  và có véc tơ chỉ phương (0;2; 2)u   . 
b) Đi qua hai điểm O và A. 
c) Đi qua hai điểm (1;2;3), (3;1;2)M N . 
2) Chỉ ra một véc tơ chỉ phương và một điểm thuộc các đường thẳng sau: 
a) Ox, Oy, Oz. b) 
2
( ) : 5
4
x t
y t
z t
 

  
  
 c) 
1 2 2
( ) :
3 4 1
x y z
d
  
 

3) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0;1;2)M và song song với Ox. 
4) Cho điểm (1;3; 2)A  và đường thẳng 
1 2 3
( ) :
3 1 5
x y z
d
  
 

 a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng (d‟) đi qua A và song song (d). 
 b/ Tìm điểm M thuộc (d) biết M có hoành độ bằng 0. 
 c/ Tìm điểm N thuộc (d‟) biết N có tung độ băng 5. 
5) Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và mp(P) : 
a) 
2 1 4
( ) :
1 5 1
x y z
d
  
 
 
 và ( ) : 0mp P x y z   
b) 
1
( ) : 2 2
1 3
x t
d y t
z t
 

 
   
 và ( ) : 2 4 2 5 0mp P x y z    
6) Xét vị trí tương đối của