Toán học - Đường thẳng đẳng giác

ĐƯỜNG THẲNG ĐẲNG GIÁC
A. ĐƯỜNG THẲNG ĐẲNG GIÁC
1. Định nghĩa: Đường thẳng đi qua đỉnh của một góc và tạo với đường phân giác của góc đó những góc bằng nhau gọi là các đường thẳng đẳng giác.
2. Các định lý
2.1. Trên hai đường thẳng đẳng giác lấy hai điểm bất kỳ thì tích cách khoảng cách từ các điểm đó đến một cạnh bằng tích các khoảng cách từ điểm đó đến cạnh kia.
Chứng minh
(Chú ý: mệnh đề đảo cũng đúng)
2.2. Nếu lấy hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng đẳng giác thì bốn hình chiếu của hai điểm này xuống các cạnh của góc nằm trên một đường tròn.
Dễ thấy do AL.AK = AL1.AK1
2.3. Nếu lấy hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng đẳng giác thì đường thẳng nối hai hình chiếu của một điểm vuông góc với đường nối điểm kia với điểm của góc (đường nối điểm còn lại).
Tứ giác ALDL1 nội tiếp 
Lại có 
, lại có 
B. CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐẲNG GIÁC TRONG TAM GIÁC
1. Định nghĩa: Các đường thẳng đẳng giác đối với các góc của một tam giác gọi là các đường thẳng đẳng giác trong tam giác.
2. Các định lý
2.1. Bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác hướng về một đỉnh đẳng giác với đường cao của tam giác vẽ từ đỉnh đó.
2.2. Trong một tam giác tích các khoảng cách từ trực tâm và tâm vòng tròn ngoại tiếp đến mỗi cạnh là bằng nhau.
2.3. (Định lý Staine). Trong một tam giác tỉ số giữa tích các khoảng cách từ một đỉnh của tam giác đến chân các đường đẳng giác và tích các khoảng cách từ đỉnh kia đến chân các đường đẳng giác bằng tỉ số bình phương hai cạnh kề.
(Sử dụng tam giác đồng dạng)
2.4. Trong một tam giác, nếu các đường thẳng vẽ từ ba đỉnh của tam giác cắt các cạnh đối diện tại ba điểm thẳng hàng thì các đường thẳng đẳng giác với chúng cắt các cạnh của tam giác tại ba điểm khác cũng thẳng hàng.
Chứng minh
Áp dụng định lý 2.3 có: 
Vì A1, B1, C1 thẳng hàng nên theo Melenaus có 
 hay A2, B2, C2 thẳng hàng.
2.5. Nếu ba đường thẳng vẽ từ ba đỉnh của một tam giác đồng qui thì ba đường đẳng giác với chúng cũng đồng qui.
Chứng minh
Áp dụng định lý 2.3 ta có 
Do AA1, BB1, CC1 đồng qui nên theo Xeva có đpcm.
C. Điểm đẳng giác trong tam giác
1. Định nghĩa: Các điểm gọi là đẳng giác trong một tam giác nếu nối các điểm đó với mỗi đỉnh ta được các đường đẳng giác.
2. Tính chất.
a) Tích các khoảng cách từ mỗi điểm đẳng giác đến mỗi cạnh của tam giác bằng nhau.
b) Hình chiếu của các điểm đẳng giác trên các cạnh cùng nằm trên một vòng tròn (tâm E).
D. Điểm đẳng cự trong tam giác
1. Định nghĩa: Hai điểm nằm trên một cạnh của tam giác và cách đề trung điểm của cạnh đó gọi là hai điểm đẳng cự.
Hai đường thẳng vẽ từ một đỉnh của tam giác đến hai điểm đẳng cự thuộc cạnh đối diện gọi là hai đường thẳng đẳng cự.
2. Định lý:
2.1. Nếu một đường thẳng cắt các cạnh của tam giác ABC tại các điểm A1, B1, C1 thì các điểm A2, B2, C2 đẳng cự với chúng thẳng hàng.
Chứng minh:
Tương tự: .
Mà nên theo Melenaus đpcm
2.2. Trong một tam giác, nếu ba đường xuất phát từ ba đỉnh đồng qui thì ba đường đẳng cự tương ứng cũng đồng qui. (Dùng Xeva)