Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc THPT

	A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU:
Toán học là một môn học có vai trò khá quan trọng trong trường THPT. Qua toán học giúp cho người học nâng cao được khả năng tư duy , khả năng suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác. Qua đó giúp người học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không người giáo viên dạy toán nào không quan tâm. Đặc biệt trong các hoạt động dạy và học môn toán đòi hỏi người dạy cũng như người học phải không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đưa ra những phương pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất. Để giúp người học nắm vững kiến thức môn học có tính hệ thống đây là vấn đề được đặt ra. Nhất là trong thực hành việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học có tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện.
 Trong chương trình toán học phổ thông tam thức bậc hai đóng vai trò khá quan trọng, nên việc hiểu và nắm vững được là một việc làm vô cùng cần thiết, nó làm tiền đề về sau cho các em khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Trong chương trình toán học lớp 9 chúng ta đã làm quen với phương trình bậc hai và hàm số bậc hai. Song việc ứng dụng và vận dụng phương trình bậc hai, hàm số bậc hai trong việc giải các loại toán khác như thế nào chưa được quan tâm nhiều. Chính vì lẽ đó trong quá trình giảng dạy cho các em đặc biệt là học sinh khá giỏi ,tôi nhận thấy đây là điều cần quan tâm. Để giúp các em hiểu sâu về tam thức bậc hai và việc vận dụng nó vào việc giải các loại toán khác; tôi mạnh dạn nêu lên vấn đề:" vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc THPT"
Với đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp các em nắm vững hơn kiến thức cơ bản của môn học và có đủ tự tin khi thực hành giải toán. Từ đó phát huy được khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt, khả năng sáng tạo cũng như tư duy độc lập đặc biệt giúp các em có một hành trang tốt chuẩn bị cho một cấp học cao hơn.
 Tuy vậy do khuôn khổ của đề tài cũng như kinh nghiệm còn hạn chế chắc rằng còn gặp những thiếu xót không mong muốn, rất mong sự đóng góp xây dựng của quí đồng nghiệp.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẬN DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
(I):GIẢI PHƯƠNG TRèNH :
A:KIẾN THỨC CƠ BẢN:
 Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải phương trỡnh ta đưa phương trỡnh đú về dạng phương trỡnh bậc hai dạng :ax 2+ bx + c = 0 bằng cỏch đặt hoặc biến đổi. Khi đưa phương trỡnh đú về dạng phương trỡnh bậc hai một ẩn ta đó cú cụng cụ giải ở lớp 9. Đú là cụng thức nghiệm và cụng thức nghiệm thu gọn của phương trỡnh bậc hai .
B :MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN :
1 : PHƯƠNG TRèNH TRÙNG PHƯƠNG 
A :KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Phương trỡnh trựng phương cú dạng : a x4 +bx2 +c =0 (a0 )
Để đưa phương trỡng trờn về dạng phương trỡng bậc hai ta đặt ẩn phụ :x2= t (t0 )
Ta được phương trỡng bậc hai :	 at2 +bt +c = 0
 B.Vớ dụ : Giải phương trỡnh :	 2x4-3x2-2=0 
Giải :
 Đặt x2 =t Điều kiện t0 ta được phương trỡnh bậc hai đối với ẩn t .
2t2 - 3t - 2 = 0
=9 +16 = 25; =5 Phương trỡnh cú hai nghiệm:
t1= ; t2=
t2=2 thoả món điều kiện t2.
với t=t2=2 ta cú x2=2 x1 = ; x2=- .
Vậy phương trỡnh cú ha inghiệm : x1 = ; x2=-
 2: PHƯƠNG TRèNG ĐỐI XỨNG BẬC CHÃN :
 A: KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Ta xột phương trỡnh bậc bốn dạng :	 a x4 + bx3 +c x2 +bx +a = 0
(a; cỏc hệ số của ẩn cỏch đều số hạng chớnh giữa ) 
vỡ x= 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh nờn chia hai vế của phương trỡnh cho x2 ta cú : 
 	 +
	a x2 + bx +c - 
	 (1)
Đặt x+ ta cú : 	x2 +
Do đú phương trỡnh ( 1) cú dạng phương trỡnh bậc hai : 
	ay2 + by +c -2a = 0 (2)
 Giải phương trỡnh bậc hai với ẩn số y ta tỡm được y từ đú suy ra x .
 B: vớ dụ :
Giải phương trỡnh : 	2x4 + 3x3 - x2 +3x +2 = 0
Giải :
Nhận thấy x= 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh , với x chia cả hai vế của phương trỡnh cho x2 ta được phương trỡnh tương đương :
 	2x2 + 3x -1 +
 tới đõy ta nhận thấy phương trỡnh trờn cú dạng bậc hai nếu đặt x +
 đưa phương trỡnh về dạng : 2y2 + 3y -5 = 0 giải phương trỡnh ta được :
	y1 =1 ; y2 = - 
với x + ta cú : 	x2 + 1 -x = 0 vụ nghiệm
với x + 2 + 5x + 2 = 0 giải phương trỡnh ta được hai nghiệm :
	x1 = -2 ; x2 = - 
 C : NHẬN XẫT : phương trỡnh đối xứng bậc chẵn nếu m là nghiệm thỡ cũng là nghiệm của phương trỡnh .
Nếu phương trỡnh cú dạng :	 a x5 +bx4 cx3 +cx2 +bx +a = 0
được gọi là phương trỡnh đối xứng bậc lẻ , phương trỡnh này bao giờ cũng nhận -1 làm nghiệm . Do đú cú thể hạ bậc để đưa phương trỡnh về phương trỡnh đối xứng bậc chẵn mà ta vưà trỡnh bày cỏch giải ở trờn . 
3 : PHƯƠNG TRèNH HỒI QUY : 
 A: PHƯƠNG TRèNH Cể DẠNG :	 a x4+ bx3+cx2+dx +k = 0 (a
vỡ x= 0 khụng phải là nghiệm nờn ta chia cả hai vế cho x2 ta được phương trỡnh tương đương :
	a(x2 + + b(x +
trong đú : đặt x + 
hay x2 + vậy phương trỡnh đó cho được đưa vể dạng phương trỡnh bậc hai đối với ẩn t :
	at2 + bt + c +2
 B: vớ dụ : 
Giải phương trỡnh : 	2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0
Giải :
x = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh nờn chia cả hai vế cho x2 ta được phương trỡnh tương đương : 
	2(x2 +
 Đặt x +- 10 
khi đú phương trỡnh trờn cú dạng phương trỡnh bậc hai đối với ẩn t
	2t2 - 21t +54 = 0
Giải phương trỡnh bậc hai trờn ta được hai nghiệm : 
	t1 = 6 và t2 = 4,5 
với t1 = 6 ta cú hay x2 - 6x + 5 = 0
giải phương trỡnh trờn ta được :
	x1 = 1 ; x2 =5 
với t2 = 4,5 ta cú : x + hay x2 - 4,5x + 5 = 0
Giải phương trỡnh ta được x3 = 2 ; x4 =2,5 
vậy phương trỡnh đó cho cú cỏc nghiệm là :
	x1 = 1 ; x2 = 5 ; x3 = 2 ; x4 =2,5
C : NHẬN XẫT :
Phương trỡnh hồi quy trong đú ; k cú ẩn phụ dạng 
t =x + 
 4 : PHƯƠNG TRèNH DẠNG : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m
	hoặc :	( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx2 
 A: vớ dụ1: Giải phương trỡnh : 
	( x + 1 )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3
Giải :
 ( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) = 3 
	( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3
	(x2 + 5x +4 )(x2 +5x+6) = 3
Đặt : x2 +5x + 4 = t ta được phương trỡnh bậc hai với ẩn t :
	t(t + 2) = 3 
	t2 +2t-3 = 0
Giải phương trỡnh bậc hai đối với ẩn t ta được : t1 =1 ;t2 = -3
với t1 = 1 ta cú : x2 +5x+4 = 1x2+5x +3 =0 
Giải phương trỡnh ta được :
	x1;2 = 
t2 = -3 ta cú : x2+5x+4= -3 x2+ 5x + 7 = 0 ; phương trỡnh này vụ nghiệm 
(vỡ = 25 - 28 < 0 )
vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm : x1;2 = 
B.Vớ dụ 2 : giải phương trỡnh :
 	4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 (1)
Giải :
	(1) 4(x2+17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2 
	4(x +17 +)(x + 16 + ) = 3 (vỡ x)
Đặt x+16 + = y
Ta được phương trỡnh bậc hai ẩn y : 4y2 + 4y - 3 = 0
Phương trỡnh cú hai nghiệm vỡ = 4 + 12 = 16 
Giải phương trỡnh ta được :
	y1 = ; y2 = 
với y1 = ta cú : 	2x2 + 31x +120 = 0 
giải phương trỡnh ta được x1 = - 8 ;x2 = -
với y2 = - ta cú : 2x2 + 35x + 120 = 0 giải phương trỡnh ta được :
	x3;4 = 
vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm : 
	x1 = - 8 ; x2 = ;	 x3;4 = 
 C: NHẬN XẫT :
Đối với tphương trỡnh dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 trong đú a + d = b +c ta nhúm 
từ đú ta đặt ẩn phụ để đưa phương trỡnh đó cho về dạng phương trỡnh bậc hai một ẩn .
Đối với phương trỡnh dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 trong đú :ad = bc ta nhúm 
ẩn phụ cú thể đặt là : y= x + hoặc y = (x + a)(x + d).
Đối với phương trỡnh dạng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đú d = 
m = (d - a)(d - b)(d - c) ta đặt ẩn phụ y = x + d một nghiệm của phương trỡnh là y y = 0
 5: PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ :
 A) CƠ SỞ LÍ THUYẾT :
Trong quỏ trỡnh giải phương trỡnh vụ tỉ đụi khi ta gặp những phương trỡnh nếu ta dựng phương phỏp bỡnh phương hai vế để phỏ căn thức bậc hai thỡ dẫn đến phương trỡnh bậc cao mà việc giải phương trỡnh đú khụng đơn giản . Song nếu khộo lộo đặt ẩn phụ ta cú thể qui phương trỡnh đú về phương trỡnh bậc hai sau đõy ta sẽ xột một vài vớ dụ:
 B) VÍ DỤ : 
 Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh :
 2x2 - 8x - 3 = 12 (2)
Giải :
 (2) - 2 = 0
Đặt = t (t ta quy phương trỡnh bậc hai với ẩn t :
 2t2 - 3t - 2 = 0
Giải phương trỡnh này ta được hai nghiệm t1 = 2 ; t2 = -
với t2 = - loại ( vỡ t
với t1 = 2 ta giải phương trỡnh : = 2 hai vế khụng õm phương trỡnh 
 tương đương với x2 - 4x - 5 = 4
 x2 - 4x - 9 = 0
giải phương trỡnh trờn ta được hai nghiệm : x1;2 = 2
 vớ dụ 2 :
 Giải phương trỡnh :
 (4x - 1) = 2x2 + 2x + 1
Giải :
 Nếu bỡnh phương hai vế để phỏ căn thức ta quy về phương trỡnh bậc bốn đầy đủ việc giải gặp khú khăn hơn , nếu đặt t = ( tx2 = t2 - 1 phương trỡnh trờn trở thành (4x - 1)t = 2(t2 - 1) + 2x + 1
ta quy về phương trỡnh bậc hai đối với ẩn t :
 2t2 -(4x - 1)t + 2x - 1 = 0
 = (4x - 1)2 - 8(2x - 1) = (4x - 3)2
 t1;2 = 
 t1 = 2x - 1 ; t2 = < 0 (loại)
với t = 2x - 1 thay t = ta được phương triỡnh: 4x2- 4x + 1 = x2+ 1 (t
 3x2 - 4x = 0
Giải phương trỡnh ta được x1 = ; x2 = 0 (loại)
vậy x = là nghiệm của phương trỡnh đó cho.
6: Giải và biện luận phương trỡnh :
A)KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Đối với phương trỡnh bậc cao với những tham số đõy khụng phải là những phương trỡnh đặc biệt nờn việc giải đụi khi rất khú khăn, nếu phương trỡnh đó cho cú tham số là bậc hai ta cú thể đưa phương trỡnh về dạng phương trỡnh bậc hai đối với ẩn là tham số:
 b) Vớ dụ:
Giải và biện luận phương trỡnh :
 x4 - 10x3 - 2(a - 11)x2 +(5a + 6)x + 2a + a2 = 0
Giải :
Phương trỡnh trờn cú thể viết dưới dạng:
 a2 - 2(x2 - 5x - 1)a + (x4 - 10x3+ 22x2 - 12x ) = 0
 = (x2 - 5x - 1)2 - (x4 - 10x3+ 22x2 - 12x ) = (x - 1)2
 a1 = x2 - 4x - 2 ; a2 = x2 - 6x
- Với a = x2 - 4x - 2 x2 - 4x - 2 - a = 0
 ta cú : = 4+ 2+ a = 6 + a 
*Nếu a phương trỡnh cú hai nghiệm x1;2 = 2
* Nếu < 0 a <-6 phương trỡnh vụ nghiệm 
-với a= x2+ 6x x2- 6x - a = 0, ta cú = 9 + a
*Nếu a phương trỡnh cú hai nghiệm x3;4= 3 
*Nếu< 0 a < -9 phương trỡnh vụ nghiệm
Túm lại:
* Nếu a < -9 phương trỡnh vụ nghiệm.
* Nếu-9 a < -6 phương trỡnh cú hai nghiệm x3;4= 3 
* Nếu a phương trỡnh cú bốn nghiệm x12 = 2; x3;4= 3 
C: NHẬN XẫT :
 Với những phương trỡnh cú dạng như trờn ta cần lưu ý tham số của chỳng nếu tham số là bậc hai ta đưa phương trỡnh đó cho về phương trỡnh bậc hai với ẩn là tham số:
II: BẤT ĐẲNG THỨC:
A:KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Do tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c (a 0) x R.
- Điều kiện để f(x) 
- Xột hàm số bậc hai :y = ax2+ bx + c (a 0) x 
*Nếu x = - thỡ :
max y = max min y = min 
*Nếu x = - thỡ:
max y= max min y = min
B: MỘT SỐ VÍ DỤ:
1: Dựng điều kiện cú nghiệm của phương trỡnh bậc hai:
 Vớ dụ 1:
 Cho cỏc số a, b, c thoả món điều kiện :
a + b + c = -2 (1) ; a2+ b2+ c2= 2 (2)
Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn khi biểu diễn trờn trục số.
Giải
Bỡnh phương hai vế của (1) ta được: a2+ b2+ c2 + (ab +bc + ca) = 4
do (2) nờn ab +bc + ca = = 1 bc = 1 - a(b + c ) = 1 - a(a - 2) = a2+ 2a + 1
 Ta lại cú : b + c = -(a + 2) do đú b,c là nghiệm của phương trỡnh .
 X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0
Để tồn tại X thỡ: 
 (a + 2)2- 4(a2 + 2a + 1) 
 a(3a + 4) 
Tương tự : ; 
 Vớ dụ 2: Cho ba số thoả món : a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) 
Chứng minh rằng : -1 a + b + c 4
Giải:
 Ta cú: a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) 
 	( a2+ b2+ c2) - 3(a + b + c) 4 (1)
 Ta lại cú: (a + b + c)2 ( a2+ b2+ c2) (theo bất đẳng thức Bunhiacỗpki) (2)
 Kết hợp (1) và (2) ta cú:
 (a + b + c)2 - 3(a + b + c) - 4 0 (3)
Ta thấy bất đẳng thức trờn vế trỏi cú dạng tam thức bậc hai với biến a + b + c
Tam thức trờn nhận -1 và 4 làm nghiệm 
kết hợp với (3) ta được : -1 a + b + c 4 (đ.p.c.m)
 Vớ dụ 3:
Cho (x, y, z) là nghiệm của hệ:
chứng minh rằng 
Giải :
 Nhõn (5) với 2 rồii cộng với (1) ta được :
 (x+y+z)2= 16 x+y+z =4
 Nếu x + y + z = 4 z = 4 - x - y thay vào (5) ta được :
 xy + y(4 - x - y) + (4 - x - y) = 4
 x2 - (4 - y)x - y(4- y) + 4 = 0 (*)
Do x là nghiệm của hệ nờn x là nghiệm của (*) . vậy (*) cú nghiệm khi 
 (4 - y)2 + 4
 - 3y2 + 8y 
0
 Nếu x + y + z = -4 tương tự ta được :- 
 Vậy ta cú : 
 Vỡ x, y,z cú vai trũ như nhau nờn ta được : 
2: Dựng tớnh chất của hàm số bậc hai : y=ax2 +bx + c (a với 
 vớ dụ 1 :
Cho a,b,c thoả món điều kiện a+b+c = 3 chứng minh rằng a2+b2+c2 (1)
Giải :
Nhận thấy bất phương trỡnh trờn cú ba biến a,b,c nhưng a + b + c = 3 nờn ta đưa bất đẳng thức trờn về cũn hai biến bằng cỏch thay c=3 - a - b vào (1) ta được :
a2+ b2+ c2 a2+ b2+ (3 - a - b)2 (2) 
vậy ta đi chứng minh bất đẳng thức (2) với biến a,b đều cú bậc là hai nờn ta cú thể quy (2) về tam thức bậc 2 với ẩn nào đú, chẳng hạn đối với ẩn a :
 (2) f(a) =2a2 - 2 (3 - b) + b2 +(3 - b)2 - 5 (3)
muốn chứng minh (3) ta chỉ cần chứng minh f(a) với a 
Do hệ số của a bằng 2 > 0 nờn a thỡ :
max f(a) = max với a 
ta cú : 
f(0) = b2 +(3 - b)2 - 5 =2(b - 1)(b - 2)
khi a = 0 thỡ b + c = 3 c = 3 - b
do 0 (b - 1)(b - 2) f(0) 
f(2) = 8 - 4(3 - b) +b2 +(3 - b )2 - 5 = 2b(b - 1 )
khi a = 2 thỡ b +c = 1 0
b(b - 1) f(2) 
Như vậy f(0) ; f(2) max
maxf(a) f(a) với a .
 Vớ dụ 2:
Tỡm m sao cho mọi 2 < x < 3 đều là nghiệm của hệ bất phương trỡnh :
Giải:
Do mọi 2 < x < 3 cũng đều là nghiệm của hệ bất phương trỡnh trờn nờn :
 mọi 2 < x < 3 
 hay :
 (*) 
 trong đú : f1(x) = 4x2 - 4x+5 - m 
 f2(x) = x2+ 4x+ m 
Nhưng cỏc hoành độ đỉnh của cỏc parabol
 x1 = ; x2 = -2 
hay (*) 
vậy :-12 m 13
3: Dựng định lớ về dấu của tam thức bậc hai 
 Vớ dụ :
Chứng minh bất đẳng thức :
 x2+2y2-2xy +12x- 4y+3 > 0
Giải :
Ta nhận thấy cú dạng tam thức bậc hai đối với ẩn x :
 f(x) = x2 - 2(y - 1)x+(2y2 - 4y+3)
ta cú : =(y - 1)2 - (2y2 - 4y+3) = -y2 +2y - 2 = -(y - 1)2 - 1 0
C: NHẬN XẫT :
Khi thực hiện bằng cỏch nào đú ta phải quy về số bậc hai đối với ẩn nào đú . qua đú ta sử dụng, tớnh chất và điều kiện về dấu của tam thức bậc hai :
Tam thức bậc hai: f(x) = ax2+bx+c (a 
*Nếu < 0 thỡ f(x) cựng dấu với a với mọi giỏ trị của x
*Nếu = 0 thỡ f(x) cựng dấu với a với mọi giỏ trị của x trừ x = -
*Nếu > 0 thỡ : f(x) trỏi dấu với a với mọi giỏ trị của x nằm trong khoảng hai nghiệm .
 f(x) cựng dấu với a với mọi giỏ trị của x nằm ngoài khoảng hai nghiệm .
III: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ .
A:KIẾN THỨC CƠ BẢN .
 Để tỡm cực trị của một biểu thức ta cú thể vận dụng cỏc tớnh chất và điều kiện cú nghiệm của tam thức bậc hai .Như vậy ta cú thể biến đổi biểu thức để đưa về dạng tam thức bậc hai .
B: MỘT SỐ VÍ DỤ:
1) Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới.
 vỡ dụ 1:
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau:
 A= x + 
Giải:
 Điều kiện: x 1
 Đặt = y ta cú : y2 = 1 - x x = 1 - y2
Vậy : A = 1 - y2 + y
 = -(y2 - y + ) + 
 = -(y - )2 + 
 maxA = y = 1- x = x = 
2: Đổi biến để đưa về bất phương trỡnh bậc hai đối với biến mới :
 vớ dụ 1 :
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất , giỏ trị lớn nhất của A = x2 + y2 
 biết : x2 (x2 + 2y2 - 3) + (y2 - 2)2 = 1 (1)
Giải :
 Từ (1) ( x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) + 3 = - x2 0
vậy : A2 - 4A + 3 0 (A - 1)(A - 3) 0
 1 A 3
 minA = 1 x = 0 khi đú y = 1
 maxA = 3 x = 0 khi đú y = 
 Vớ dụ 2:
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A = (x0)
Giải:
 A = = 
 = 1- vỡ x0
Biểu thức trờn cú dạng tam thức bậc hai nếu ta đặt = y 
ta cú : A = 1 - 2y + 2000y2 = 2000(y - )2 + 
 Vậy: A 
 minA = hay x = 2000
3: Đưa về phương trỡnh bậc hai và sử dụng điều kiện 
Vớ dụ 1:
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức :
 M = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y + 2
Giải :
 Giả sử A là một giỏ trị của biểu thức vỡ vậy phương trỡnh :
2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y + 2 = A cú nghiệm đối với x, y .Đưa về phương trỡnh bậc hai đối với ẩn x ta cú :
 2x2 + 2(y - 1)x + (y2 + 2y + 2 - A) = 0 cú nghiệm khi 
 (y - 1)2 - 2(y2 + 2y + 2 - A) 
 bất phương trỡnh : y2 + 6y + 3 - 2A cú nghiệm y:
 = 9 - (3 - 2A) 2A + 6 
A 
 Dấu " = " xảy ra khi y = -3 
 x = = 2
Vậy minM = -3 khi x = 2 ; y = -3
 Vớ dụ 2:
 Cho A = 
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của biểu thức A và cỏc giỏ trị tương ứng của x
Giải:
Vỡ x2 + 1 > 0 với mọi x :Do đú A = 
 (x2 + 1)A = 2x2 + 2x + 2
 (A - 2)x2 - 2x + (A -2) = 0 (1)
khi A = 2 thỡ x = 0 .
khi A 2 để (1) cú nghiệm , điều kiện cần và đủ là tức là :
 1 - (A - 2)2 
 (A - 2)2 
 1 A 
 Vậy minA = 1 khi x=- 1 và maxA = 3 khi x = 1.