Bài 4: Đường trung bình của tam giác - Của hình thang - Phùng Thế Ngoại

Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại  Mobile: 0944 260 811 
BÀI 4: ĐƯỜNG TRèNH BèNH CỦA TAM GIÁC – CỦA HèNH THANG 
1. Đường trung bình của tam giác 
ã Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai 
thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. 
ã Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. 
ã Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. 
2. Đường trung bình của hình thang 
ã Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy 
thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. 
ã Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình 
thang. 
ã Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. 
3. Bài tập 
Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho 
1 
. 
2 
AD DC = Gọi M là trung điểm của BC, I là 
giao điểm của BD và AM. Chứng minh rằng AI = IM.
Giải 
Gọi E là trung điểm của DC. 
Xét BCD D có: 
ME // BD hay ID // ME 
EC ED 
MB MC 
= ỹ 
ị ý 
= ỵ 
Xét AME có: D 
ID // ME 
AD DE 
IA IM 
= ỹ 
ị = ý 
ỵ 
(đpcm) 
Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. 
Chứng minh rằng ba điểm E, I, F thẳng hàng. 
Giải 
Xét ACD có: D 
IE // CD 
AE DE 
AI CI 
= ỹ 
ị ý 
= ỵ 
(1) 
Xét hình thang ABCD có: 
EF // CD 
AE ED 
BF FC 
= ỹ 
ị ý 
= ỵ 
(2) 
Từ (1) và (2) 3 ị điểm E, I, F thẳng hàng. 
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng: 
a. IE // CD, IF // AB. b. . 
2 
AB CD 
EF 
+ 
Ê 
I 
M  C 
E 
A 
B 
D 
I 
F E 
A  B 
D  C
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại  Mobile: 0944 260 811 
Giải 
a. Xét ACD có: D 
1 
EI // CD và EI = 
2 
AE ED 
CD 
AI IC 
= ỹ 
ị ý 
= ỵ 
Xét ABC có: D 
1 
IF // AB và 
2 
AI IC 
IF AB 
BF CF 
= ỹ 
ị = ý 
= ỵ 
b. Xét có: IEF D 
2 2 2 
CD AB AB CD 
EF IE IF EF EF 
+ 
Ê + Û Ê + Û Ê (đpcm) 
Bài 4: Cho tam giác ABC các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung 
điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE // IK, DE = IK. 
Giải 
Xét ABC có: D 
1 
DE // BC và 
2 
AE BE 
DE BC 
AD CD 
= ỹ 
ị = ý 
= ỵ 
(1) 
Xét GBC có: D 
1 
IK // BC và 
2 
BI IG 
IK BC 
CK KG 
= ỹ 
ị = ý 
= ỵ 
(2) 
Từ (1) và (2) IK // DE và IK = DE ị (đpcm) 
Bài 5: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và 
AC. Chứng minh rằng: 
1 
. 
2 
AE EC = 
Giải 
Gọi F là trung điểm của CE. 
Xét BCE có: D 
MF // BE hay DE // MF 
MB MC 
CF EF 
= ỹ 
ị ý 
= ỵ 
Xét có: AMF D 
DE // MF 
AD MD 
AE EF 
= ỹ 
ị = ý 
ỵ 
1 
2 
AE EF FC AE EC ị = = ị = (đpcm) 
Bài 6: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE và 
CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh rằng: MI = IK = KN. 
Giải 
I 
F 
E 
A  B 
D 
C 
K I 
G 
E  D 
A 
B 
C 
F 
E 
D 
M 
A 
B 
C
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại  Mobile: 0944 260 811 
Xét ABC có: D 
DE là đường trung bình của ABC 
AE BE 
AD CD 
= ỹ 
ị D ý 
= ỵ 
1 
DE // BC và 
2 
DE BC ị = 
Hình thang BCDE có: 
MN là đường trung bình của hình thang 
BM ME 
CN ND 
= ỹ 
ị ý 
= ỵ 
MN // DE // BC ị
Xét BDE có: D 
IM là đường trung bình của BDE 
2 4 IM // DE 
BM ME DE BC 
IM 
= ỹ 
ị D ị = = ý 
ỵ 
Xét CDE có: D 
NK là đường trung bình của CDE 
2 4 NK // DE 
CN ND DE BC 
NK 
= ỹ 
ị D ị = = ý 
ỵ 
Xét BCD có: D 
IN là đường trung bình của BCD 
2 
IB ID BC 
IN 
CN ND 
= ỹ 
ị D ị = ý 
= ỵ 
Ta có: 
2 4 4 
BC BC BC 
IK IN NK = - = - = 
4 
BC 
EI IK NK ị = = = (đpcm) 
Bài 7: Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm hai 
đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy. 
Giải 
GT 
Hình thang ABCD 
AB // CD, AB > CD 
AM = CM, BN = DN 
KL : 
2 
AB CD 
CMR MN 
- 
= 
Gọi P là trung điểm của BC. 
Xét có: BCDD 
NP là đường trung bình của BCD NP // CD và 
2 
BP CP CD 
NP 
BN DN 
= ỹ 
ị D ị = ý 
= ỵ 
Xét ABC có: D 
MP là đường trung bình của ABC MP // AB // CD và 
2 
AM CM AB 
MP 
BP CP 
= ỹ 
ị D ị = ý 
= ỵ 
K I 
N M 
E  D 
A 
B  C 
P 
N M 
D  C 
A 
B
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại  Mobile: 0944 260 811 
NP // CD 
3 điểm M, N, P thẳng hàng 
2 2 2 MP // CD 
AB CD AB CD 
MN MP NP 
ỹ - 
ị ị = - = - = ý 
ỵ 
(đpcm) 
Bài 8: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các 
góc ngoài tại đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau 
ở N. 
a. Chứng minh rằng MN // CD. 
b. Tính độ dài đoạn MN thoe a, b, c, d. 
Giải 
Gọi E DM AB = ầ 
F CN AB = ầ 
MD là phân giác ngoài tại D 
ả ã 
1 D ADE ị = 
AB // CD 
à ả 
1 E D ị = (so le trong) 
ã à cân tại A và AM là đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến ADE E ADE AD AEị = ị D ị = 
MD ME ị = . NC là phân giác ngoài tại C à ã 1 C BCF ị = , à à 1 F C = (so le trong) à ã F BCF ị = 
cân tại B BC = BF và BN là đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến BCF CN NF ị D ị ị = 
Hình thang CDEF có: MD = ME, CN = CF là đường trung bình của hình thang MN // CD MN ị ị 
b. 
2 2 2 2 
CD EF CD AE AB BE CD AD AB BC a b c d 
MN 
+ + + + + + + + + + 
= = = = 
Bài 9: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 3cm, CD = 7cm, AD = 10cm. Gọi M là trung điểm của cạnh 
BC. Chứng minh rằng: AM DM ^ . 
Giải 
Gọi I là trung điểm của AD 
10 
5 
2 2 
AD 
IA ID cm ị = = = = 
là đường trung bình của hình thang ABCD IM ị 
3 7 
5 
2 2 
AB CD 
IM cm 
+ + 
ị = = = 
Xét IAM có: IA = IM = 5cm D 
ã ã IAM cân tại I IAM IMA ị D ị = 
Xét có: IM = ID = 5cm IMDD 
ã ã IMD cân tại I IMD IDM ị D ị = 
ã ã ã ã ã AMD IMA IMD IAM IDM = + = + 
ã ã ã ã ã 0 0 0 Xét AMD có: 180 2 180 90 AMD IAM IDM AMD AMD AM DM D + + = Û = ị = ị ^ (đpcm) 
1 1 
F 
E 
N M 
A  B 
D  C 
C 
M I 
A 
D 
B
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại  Mobile: 0944 260 811 
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho 
AD = AE. Qua D và A kẻ các đường thẳng vuông góc với BE, cắt BC theo thứ tự ở I và K. Chứng minh 
rằng IK = KC. 
Giải 
Cách 1: 
Gọi N ID CA = ầ , H ID BE = ầ 
ã ã 0 180 ADN ADH + = (hai góc kề bù) (1) 
Tứ giác ADHE có: ã ã ã ã 0 360 EAD ADH DHE AEH + + + = 
ã ã ã ã 0 0 180 hay 180 ADH AEH ADH AEB ị + = + = (2) 
Từ (1) và (2) ã ã ADN AEB ị = 
Xét ABE và AND có: D D 
ã ã 
ã ã 
( ) 
AEB ADN 
AE AD ABE AND g c g 
BAE NAD 
ỹ = 
ù 
= ị D = D - - ý 
ù 
= ỵ 
mà AB AN AB AC AN AC ị = = ị = 
Xét CIN D có: AN = AC, AK // IN IK KC ị = (đpcm) 
Cách 2: 
Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BE tại H và cắt BA tại M. 
Tam giác BHM vuông tại H: ã à 0 90 MBH M + = hay ã à 0 90 ABE M + = (1) 
Tam giác ACM vuông tại A: ã à 0 90 ACM M + = (2) 
Từ (1) và (2) ã ã ABE ACM ị = 
Xét và ACM ABED D có: 
ã ã 
ã ã 
( ) 
0 90 
ABE ACM 
AB AC ABE ACM g c g 
BAE CAM 
ỹ = 
ù 
= ị D = D - - ý 
ù 
= = ỵ 
mà AE AM AE AD AM AD ị = = ị = 
Hình thang CMDI có: 
AM = AD, CM // AK // DI IK KC ị = (đpcm) 
N 
H 
K I 
E 
A 
C B 
D 
H 
M 
K I 
E 
A 
B 
C 
D