Bài giảng ôn thi vào đại học - Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số
§1. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải toán
Để vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng ba nguyên tắc sau đây:
Nguyên tắc 1. (về sự phân chia đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số
là hợp của đồ thị hàm số với ().
Nguyên tắc 2. (về sự đổi dấu hàm số) Đồ thị hàm số , và đồ thị hàm số , đối xứng nhau qua .
Nguyên tắc 3. (về đồ thị hàm chẵn) Đồ thị của hàm chẵn nhận làm trục đối xứng.
Hai trường hợp hay gặp:
 Đồ thị hàm số 
Vì nên đồ thị hàm số gồm hai phần:
+) Phần 1 là phần đồ thị hàm số nằm bên phải ;
+) Phần 2 đối xứng với phần 1 qua .
Đồ thị hàm số 
Vì nên Đồ thị hàm số gồm hai phần:
+) Phần 1 là phần Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành;
+) Phần 2 đối xứng với phần Đồ thị hàm số ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Các ví dụ
Vẽ các đồ thị hàm số
 ;
 ;
 ;
 ;
 .
Giải. Trước hết, ta vẽ đồ thị của hàm số (hình 0);
Ta có . Do đó đồ thị gồm hai phần (hình 1):
Phần 1: là phần đồ thị nằm trên ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị nằm dưới qua .
Ta có là hàm chẵn, đồ thị nhận làm trục đối xứng. Lại có với mọi . Do đó đồ thị gồm hai phần (hình 2):
Phần 1: là phần đồ thị nằm bên phải ;
Phần 2: đối xứng với phần 1 qua .
Ta có . Do đó đồ thị gồm hai phần (hình 3):
Phần 1: là phần đồ thị nằm trên ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị nằm dưới qua .
Ta có . Do đó đồ thị gồm hai phần (hình 4):
Phần 1: là phần đồ thị ứng với ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị ứng với qua .
Ta có . Do đó đồ thị gồm hai phần (hình 5):
Phần 1: là phần đồ thị ứng với ;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị ứng với qua .
 Hình 0
 Hình 1
 Hình 2
 Hình 3
 Hình 4
 Hình 5
Bài tập
Vẽ đồ thị các hàm số sau đây
.
§2. Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để xét phương trình
Phương pháp giải toán
Trong phần này, ta sử dụng các kết luận sau đây về mối liên hệ giữa tập nghiệm của phương trình với tập tập các điểm chung của đường thẳng với đồ thị :
 có nghiệm có điểm chung với .
Số nghiệm của bằng số điểm chung của đường thẳng với .
Nghiệm của là hoành độ điểm chung của và .
Các ví dụ
[ĐHA02] Tìm để phương trình 
có nghiệm phân biệt.
Giải.
 Cách 1. Phương trình tương đương với 
.
Nếu đặt thì phương trình trở thành 
. 
 có ba nghiệm phân biệt đường thẳng có ba điểm chung với đồ thị hàm số .
Từ đồ thị hàm số , ta thấy điều kiện tương đương với .
Cách 2. Phương trình đã cho tương đương với
 .
Phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác , tức là
 .
[ĐHA06] Tìm để phương trình có nghiệm phân biệt.
Giải. Đặt . Phương trình đã cho tương đương với .
Trước hết ta vẽ đồ thị của hàm số . Hàm là hàm chẵn, . Do đó, đồ thị của hàm số gồm hai phần
Phần 1: là phần nằm ở bên phải ;
Phần 2: đối xứng với phần 1 qua .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm phân biệt đường thẳng có điểm chung với .
[ĐHB09] Với những giá trị nào của , phương trình sau đây có đúng nghiệm phân biệt
 .	
Giải. Cách 1. Đặt , trở thành 
.	
 có nghiệm phân biệt có nghiệm dương phân biệt đường thẳng có điểm chung với đồ thị của hàm số , .
Ta có 
 gồm hai phần:
Phần 1: là phần đồ thị hàm số ứng với .
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số ứng với , qua trục hoành.
Vậy có nghiệm phân biệt .
Cách 2. Trước hết, ta vẽ đồ thị của hàm số .
Ta thấy: .
 Đồ thị của hàm số gồm hai phần
Phần 1: là phần nằm phía trên trục hoành.
Phần 2: đối xứng với phần nằm phía dưới trục hoành, qua trục hoành.
 có nghiệm phân biệt đường thẳng có điểm chung với .
Bài tập
Cho phương trình .
1) Giải phương trình với .
2) Tìm tất cả những giá trị của để phương trình có nghiệm phân biệt và cả nghiệm này đều nhỏ hơn hoặc bằng .
3) Trong trường hợp phương trình có nghiệm phân biệt, gọi nghiệm đó là , , , , hãy tính tổng .
Cho .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị với .
2) Tìm để phương trình có nghiệm phân biệt.
Cho hàm số .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị .
2) Tìm để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Cho hàm số .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị .
2) Biện luận số nghiệm của phương trình .
Cho hàm số .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị .
2) Tìm để phương trình có nghiệm phân biệt.
Cho hàm số .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị .
2) Biện luận số nghiệm của phương trình .
Cho hàm số .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị .
2) Tìm để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn .
 [ĐHA02] Cho phương trình .
1) Giải phương trình khi .
2) Tìm để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn .
§3. Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số
Tóm tắt lý thuyết
Cho và . Để tìm giao điểm của và , ta làm như sau:
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm. Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình
 .	
Phương trình được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của và .
Bước 2: Tìm giao điểm. Nếu là một hoành độ giao điểm thì () là một giao điểm của và . 
Chú ý. Để giải các bài toán loại này, ta rất hay sử dụng định lý Vi-ét đảo: 
Nếu , là các nghiệm của phương trình bậc hai () thì .
Nhận xét.
Hai đồ thị hàm số có giao điểm phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm.
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Các ví dụ
Cho và hàm số . Hãy xác định các giao điểm của hai đồ thị và .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :
 .
Vậy hai đồ thị đã cho có ba giao điểm: , , . 
Cho và . Tìm điều kiện của để có giao điểm với .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :
 	 ().
 có giao điểm với có nghiệm .
Cho và . Biện luận số giao điểm của và .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của và 
	 .
Số giao điểm của và bằng số nghiệm của phương trình . Do đó
: vô nghiệm có nghiệm duy nhất () và có một giao điểm.
: trở thành . Trong trường hợp này, cũng có nghiệm duy nhất () và có một giao điểm.
: có hai nghiệm phân biệt. Ta thấy không phải là nghiệm của có ba nghiệm phân biệt và có ba giao điểm.
Kết luận:
: và có một giao điểm.
: và có ba giao điểm.
[ĐHD03] Cho . Tìm để đường thẳng có giao điểm với .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của với :
	 	 ( ).	
	 	.	
 có giao điểm với khi và chỉ khi có nghiệm phân biệt, tức là:
 .
[ĐHA04] Cho hàm số . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , sao cho .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :
(phép biến đổi là tương đương vì không phải nghiệm phương trình của)
 cắt tại điểm khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt, tức là:
 .	
Hoành độ , của các điểm , là nghiệm của nên theo định lí Vi-ét:
.
Mặt khác vì , cùng thuộc đường thẳng nên .
Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có
.
Do đó 
 (thỏa mãn ).
Vậy .
[ĐHA10] Cho hàm số . Tìm để cắt trục hoành tại điểm phân biệt có hoành độ là , , sao cho .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị của hàm số với trục hoành ():
	 	 .
 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có ba nghiệm phân biệt 
 có hai nghiệm phân biệt khác .
Không mất tổng quát, giả sử , là các nghiệm của . Theo định lý Vi-ét, ta có:
	.
Do đó: 
 	, .
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt có hoành độ , , sao cho khi và chỉ khi , .
Bài tập
Tìm các giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây:
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và .
Biện luận theo số giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và ;
 và .
Tìm để
Đường thẳng đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt;
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt;
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt;
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt;
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt;
Các đồ thị hàm số và cắt nhau tại ba điểm phân biệt;
Các đồ thị hàm số và cắt nhau tại ba điểm phân biệt;
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt;
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt;
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt;
[ĐHD06] Đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc cắt tại điểm phân biệt;
[ĐHD09] Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt.
Tìm để
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ trái dấu;
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ trái dấu;
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của ;
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương;
[ĐHA03] cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương;
[ĐHD09] Đường thẳng cắt tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn .
Tìm để
[ĐHB09] Đường thẳng cắt tại hai điểm , sao cho ;
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , sao cho đoạn thẳng ngắn nhất;
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , sao cho đoạn thẳng ngắn nhất;
Đường thẳng cắt tại hai điểm , sao cho đoạn thẳng ngắn nhất;
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , . Khi đó, hãy tính độ dài đoạn thẳng theo .
[ĐHD08] Cho . Chứng minh mọi đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc , với đều cắt tại ba điểm phân biệt , , đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng 
[ĐHD03] Cho . Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm , phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng thuộc trục tung.
[ĐHB10] Cho . Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt , sao cho tam giác có diện tích bằng ( là gốc tọa độ).
[ĐHA11] Cho . Chứng minh với mọi , đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt và . Gọi , là hệ số góc các tiếp tuyến với tại và . Tìm để đạt giá trị lớn nhất.
[ĐHD11] Cho . Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt , sao cho khoảng cách từ và đến trục hoành bằng nhau.