Bài tập Hình học luyện thi vào lớp 10

 tuyến SK của (O) (K là tiếp điểm , K A). Chứng minh K ,
3. Quỹ tích trung điểm I của MN
Gọi P là trung điểm CD P cố định và IP là đường trung bình của hình
thang CMND PIA vuông tại I I thuộc đường tròn đường kính
AP cố định
4. Chứng minh đường thẳng KI đi qua điểm cố định
Chứng minh MKN cân K , I , P thẳng hàng KI đi qua P cố định
5. Khi MM // EF Chứng minh MN = BE + BF
Trước hết cần chứng minh C , B , D thẳng hàng
N , D thẳng hàng
MN // EF 
EFA FAN
e. Cho AB = 3 , BC = 5 , AC = 6. Chứng minh SAB cân
Mà EFA ADB
 FAN ADB E
 AB FN
 BF = AN
 BF AN M F
A
Tương tự chứng minh BE = AM
N O O’
C 	D B
Bài 2
1. Chứng minh CAF CKF
Chứng minh AKFC nội tiếp
2. Chứng minh KAF vuông cân
Chú ý AFK ACD 450
3. Chứng minh đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF
Chứng minh AIBF nội tiếp ABI AFI 450

Bài 4
B D
M
E
Mà ABD 450
F
 B , D , I thẳng hàng A O
B
4. Chứng minh IMCF nội tiếp A N
Chứng minh ABM = CBM
Mà
BAM BCM
BAM BIF 

BCM BIF H
Do đó tứ giác IMCF nội tiếp M
5. Tính tỉ số ID K
CF
Chứng minh ADI ~ ACF

D E C
I

C
1. Chứng minh EFCH và EFBD nội tiếp
Học sinh tự chứng minh
2
 ID
 AD 2
2. Chứng minh EF
= ED.EH
CF AC 2

Bài 3
F Chứng minh EFD ~ EHF (g-g)
3. Chứng minh EMFN nội tiếp
Ta có DEB EBC ECB
( góc ngoài BEC )
K Mà EBC ECH EFH

và
ECB DBE DFE
1. Chứng minh IHM ICM M
Chứng minh tứ giác MIHC nội tiếp A

Suy ra :
DEB DFE EFN MFN

 tứ giác EMFN nội tiếp
2. Chứng minh MK BK
4. Chứng minh MN EF
Chứng minh tứ giác BHMK nội tiếp I
Ta có : ENM EFM
( EMFN nội tiếp )
3. Chứng minh MIH ~ MAB F
Mà :
EFM DBE BEC
 ENM BCE
Chứng minh IMH AMB ( ACB ) E
Và IHM ABM
4. Chứng minh ME EF B H C
 MN // BC MN EF
Bài 5
Ta có MIH MAB
và IH AB ( MIH ~ MAB ) IF
 AE
1. Chứng minh AMOI nội tiếp . Xác định tâm K của đường tròn
IM AM
IM AM
Học sinh tự chứng minh
 MAE ~ MIF ( c-g-c) 
KFM KEM
 KMFE nội tiếp
2. Chứng minh CHOD nội tiếp
 MFE MKE 900
 MF EF
Chứng minh AC.AD = AH.AO ( = AM2 ) AC AH

Mà ADC MAC

( cùng chắn cung AC ) 

CME MAC
 AHC ~ ADO AHC ADO
AO AD
 CHOD nội tiếp
Xét MEA và CEM đồng dạng EM2 = EC.EA
Từ đó suy ra : EM = EB A
3. Chứng minh CFIN nội tiếp
Ta có AM // CB ( cùng MO ) 

BCD MAI
4. Chứng minh BC.BM =MC.AB F
Chứng minh MCB ~ BCA C
Mà MAI MNI

(cùng chắn cung
MI ) 
BCD MNI
( g – g ) M O
D
H
Suy ra tứ giác CFIN nội tiếp
4. Chứng minh KE AM
MD cắt CB tại G. Ta có MDC FIC

( = MNC ) FI // MD

E
5. Chứng minh tia CF là phân giác của MCA
B
 CED có I là trung điểm CD và FI // GD F là trung điểm CG
Ta có AD // MB AB DB
 ADB DCB
Xét MDA có CG // AM và F là trung điểm CG E là trung điểm
Mà FCA ADB ( ACBD nội tiếp ) và FCM DCB ( đ đ )
AM Suy ra : FCM FCA
 tia CF là phân giác của
MCA
Suy ra : KE AM ( tính chất đường kính – dây cung )
M
6. Tính diện tích BAD theo R
Tính diện tích MAB theo R ( tính MA và tính AH )
Chứng minh ADB ~ ABM với tỉ số đồng dạng k = AB = ?
AM
E
B
A K H O G
Suy ra : S ABD = k2. S AMB = ?
Bài 7
A
C F 1. Chứng minh DAEC và DBFC nội tiếp
I ( Học sinh tự chứng minh ) E
D 2. Chứng minh CE.CF = CD2 H
N
1. Chứng minh MAOB nội tiếp
Học sinh tự chứng minh
2. Chứng minh EB2 = EC.EA

Bài 6
D C
Chứng minh CED ~ CDK O
3. Chứng minh CHDK nội tiếp M Chứng minh tương tự bài 4 K
4. Chứng minh HK // AB F Chứng minh tương tự bài 4
5. Chứng minh HK là tiếp tuyến chung B
Chứng minh EBC ~ EAB EB EA EC EB
3. Chứng minh E là trung điểm MB

 EB2 = EC. EA
Chứng minh CHK CEH
Chứng minh CKH CFK
 HK là tiếp tuyến của đường tròn (CEH)
 HK là tiếp tuyến của đường tròn (CKF)
Ta có : AD // MB ADC CME
6. Chứng minh CI đi qua trung điểm AB
Chứng minh đường thẳng CI đi qua trung điểm của HK
F
 đường thẳng CI đi qua trung điểm của AB ( do AB // HK trong ACB )
Đường thẳng CI cắt (I) tại Q , đường thẳng KO cắt CQ tại M
 NQ BC NQ // KM KMC NQC
Bài 8
Mà ta có : NQC KAC ( cùng chắn NC trong (I) )
Suy ra : KAC KMC
 tứ giác KAMC nội tiếp M thuộc đường
1. Chứng minh MIHF và OHEI nội tiếp A
( Học sinh tự chứng minh )
2. Chứng minh MA2 = MC.MDd M C E H D
( Học sinh tự chứng minh )
tròn ngoại tiếp AKC M thuộc đường tròn (O).
Bài 10
A
3. Chứng minh CIOD nội tiếp
Tương tự câu 2 bài 5
4. Chứng minh 4IF.IE = AB2
I O 1. Chứng minh MA là tiếp tuyến của (O) F
và MA2 = MB.MC
Chứng minh MAO vuông tại A
Chứng minh IF.IE = IO.IM = IA.IB =
AB 2
B
4
Chứng minh MAB ~ MCA
2. Chứng minh MHEN nội tiếp
M I H O
E
D
B C
5. Chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định
2
Chứng minh OH.OF = OI.OM = OA2 = R2 OF = R

không đổi
Học sinh tự chứng minh
3. Tính ON theo a và R
Chứng minh OE.ON = OH.OM = OA2 = R2
OH
Từ đó F là điểm cố định ( OF không đổi và đường thẳng OH cố định )
Q

 ON =

 R2 
a
=
OE

 R2 	
=
2
2

2R2
4R2 a 2
R 
M
Bài 9 A 4 N
1. Chứng minh AEDB và CDHE nội tiếp
( Học sinh tự chứng minh )
2. Chứng minh OC DE
Vẽ tiếp tuyến tại C của (O) ,
chứng minh xy // DE OC DE

E I y
F H O
4. Chứng minh ABCF là hình thang cân
MED MAD AFD (cùng chắn MD trong (I) và chắn AD trong (O)
 AF // BC ABCF là hình thang
Mà ABCF nội tiếp (O) ABCF là hình thang cân
3. Chứng minh
AH.AD + BH.BE + CH.CF =
B D N C
AB 2 AC 2 BC 2 K
2
Bài 11
1. Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp . Suy ra số đo OID
Chứng minh : AH.AD = AF.AB và BH.BE = BF.BA x
C là điểm chính giữa AB CO AB tại O
Suy ra : AH.AD + BH.BE = AB2
Ta có AOC AIC 900
 tứ giác ACIO nội tiếp
Tương tự chứng minh : AH.AD + CH.CF = AC2 và BH.BE + CH.CF = BC2
Từ đó suy ra điều phải chứng minh .
4. Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường tròn (O)
Suy ra : OID ACB 450
2. Chứng minh OI là tia phân giác của COM
Ta có AIO ACO 450
 AIO OID
 đpcm
3. Chứng minh CIO ~ CMB. Tính tỉ số IO 

S = S – S
R2 2
=
 R ( 2 1) =
R2 ( 2 1)
Chứng minh
BM
OCI OAI MCB và COI CAM CBM
ACIO
 ACD
 OID
2 4 4
2
Bài 12
Suy ra CIO ~ CMB ( g-g ) 
 IO
 CO 2
MB CB 2
4. Tính tỉ số AM MB
( do COB vuông cân )
và tính MA và MB theo R
1. Chứng minh B , C , D thẳng hàng
Chứng minh AD BD và AD DC
2. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
( học sinh tự chứng minh )
Chứng minh G là trọng tâm của ABC 
GO 1 
OG 1

3. So sánh DH và DE
OC 3
OA 3
Gọi G là giao điểm BF và CE . Chứng minh được A , D , G thẳng hàng .
Chứng minh AOG ~ AMB 
MB OG 1
 AM 3
Từ đó suy ra H thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác AEGF
Đặt BM = x ( x > 0) .
MA OA 3 BM
Chứng minh :
HDO EDO
Suy ra AM = 3x . Ta có AM2 + BM2 = AB2 = 4R2
Vẽ OM DE tại M , vẽ ON DH tại N.G
Suy ra : OM = ON
 (3x)2 + x2 = 4R2 10x2 = 4R2 x =
R 10
 MOD NOD E
N
5 C Chứng minh HON = EOM H O
Vậy : MB =
R 10
5

và AM =
3R 10
5

K M 
HON EOM
HOD EOD
F A M
5. Khi M là điểm chính giữa BC . I
Tính diện tích tứ giác ACIO theo R G
 HOD = EOD I K
 DH = DE
M là điểm chính giữa
BC C
 AI là phân giác của CAD A
 CAD cân tại A AD = AC = R 2
 OD = AD – AO = R 2 R
1 1 R 2 2
O H D B B D
Bài 13
E
x
Ta có : S ACD =
CO.AD 
R.R 2 
1. Chứng minh EDKI nội tiếp
2 2 2
Kẻ đường cao IH của OID IH = 1 OC R
2 2
( Học sinh tự chứng minh ) I
2. Chứng minh CI.CE = CK.CD
Chứng minh CIK ~ CDE (g-g) O
Ta có : S OID =
1 IH .OD 1
R R2 ( 2 1)
. .R( 2 1) 
3. Chứng minh IC là tia phân giác xIB
2 2 2 4
xIC EIA

(đ đ )
A D K B C
CIB EAB ( EIBA nội tiếp ) F
EIA EAB

( EA EB )
 xIC CIB
1. Chứng minh H BC
 Tia IC là phân giác của
xIB
Chứng minh AHB 900 và
AHC 900
 B , H , C thẳng hàng
4. Đường thẳng FI luôn đi qua điểm cố định
Chứng minh CK.CD = CI.CE = CB.CA CK = CA.CB CD
Do D là trung điểm AB D cố định CD không đổi
2. Tứ giác BCNM là hình gì ? Tại sao ?
( Học sinh tự chứng minh )
4. Chứng minh A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn. Suy ra quỹ tích của I
 0 N
 CK không đổi K là điểm cố định .
Chứng minh
AHK AIK 90 A I
Vậy đường thẳng FI luôn đi qua điểm K cố định .
Bài 14
 AHKI nội tiếp
 I đường tròn đường kính AK M
cố định khi d quay quanh A. O
4. Xác định vị trí của d để MN lớn nhất

O’ D
N
1. Chứng minh ABCE nội tiếp
BAC BEC 900 ABEC nội tiếp B
Vẽ BD NC tại D.
Suy ra MN = BD BC .
Vậy MN lớn nhất khi khi MN = BC .
B H K C
2. Chứng minh BCA ACF K
Khi đó D C MN // BC hay d // BC
CED 900 ;
CEB 900
Bài 16
Suy ra E ,D , B thẳng hàng
BCA BEA ( chắn BA ) M
I
P 1. Chứng minh AE = AF
C
BEA ACF

( DCFE nội tiếp )
A D O
Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau trong hai đường tròn bằng
nhau
 BCA ACF E

2. Chứng minh AEKF và ACKD nội tiếp
3. Chứng minh BMCN nội tiếp
Chứng minh MBD cân tại B 

BMC BDM F
AB CD AC và AD là hai đường kính của (O) và (O’)
D và N đối xứng nhau qua BC BNC BDC
Suy ra : AEK AFK 900
Do AE = AF AE AF
 AEKF nội tiếp
 ACE ADF

 ACKD nội tiếp
Suy ra BNC BMC BDM BDC 900
 BMCN nội tiếp
3. Chứng minh EKF cân
4. Xác định vị trí của D để đường tròn (BMCN) có bán kính nhỏ nhất Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC P thuộc đường trung trực của BC. Ta có BP BI ( BI không đổi ) . Vậy PB nhỏ
FEK CAB ( ABEC nội tiếp )
EFK DAB ( ABDF nội tiếp 
4. Chứng minh I , A , K thẳng hàng

FEK EFK

 EKF cân tại K
nhất khi P trùng với I . Mà IB = IA và IB = IM IM = IA
 M A D A
Bài 15
 EAF cân AI EF và EKF cân
 KI EF .
Suy ra A , I , K thẳng hàng
5. Khi EF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào ?
 AIB vuông tại I I đường tròn đường kính AB
OB.OC
R . Do đường thẳng OA cố định , A cố định
ACKD nội tiếp K đường tròn ngoại tiếp ACD cố định.
 OI =
=
OA 2
mà I đường thẳng OA và OI không đổi suy ra I cố định.
A 2. a. Chứng minh KECI nội tiếp
B
E O O’
F
DEA DBC
D
DBC AIC
( BDEC nội tiếp )
( BACI nội tiếp )
B
I K O 
DEA AIC
 KECI nội tiếp
A
C 	B D I E
C
b. Tính AK theo R
AI = AO + OI = 2R + Chứng minh :

D
R 5R F
2 2
Q
I O A
K
Bài 17
AK.AI = AE.AD = OA2 – R2
( vẽ tiếp tuyến từ A của (O) )
N K M
H
1. Chứng minh IC2 = IK.IB
Chứng minh IKC ~ ICB

 AK =
OA2 R2
AI
3R2 6R
= 5R 5 E C
2
2. Chứng minh BAI ~ AKI

c. Chứng minh BOND nội tiếp. Suy ra N là điểm cố định
BD // AC 
KAI BDK
DNA DEA ( ADNE nội tiếp ) và DEA ABC

( DBCE nội tiếp )
Mà BDK ABI
( chắn BK ) ABK KAI
 DNA DBC

 BOND nội tiếp
Và AIK chung AKI ~ BAI
3. Chứng minh I là trung điểm AC
Chứng minh AI2 = IK.IB và IC2 = IK.IB ( cmt) AI = IC
4. Tìm vị trí của A để CK AB
Chứng minh : AND ~ AOB ( g-g)
 AN.AO = AD.AB = OA2 – R2 = 3R2 AN = 3R
2
3. Tìm vị trí của BC để diện tích ABC lớn nhất

 N cố định
Giả sử CK AB tại E 
EBC ECB 900

Kẻ AH BC tại H. Ta có S ABC =
1 AH .BC = R.AH
Mà ECB BDK DAC
và
EBC BCA 
DAC BCA 900 2
Suy ra : AD BC K là trực tâm ABC BI AC Mà I là trung điểm AC ABC cân tại B ABC đều
Do đó S ABC lớn nhất AH lớn nhất AH = OA H O
 BC OA
 AO = R
3 . Vậy để CK AB thì OA = R 3
Bài 18
4. Tìm vị trí BC để bán kính đường tròn (ABC) nhỏ nhất
Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và Q là trung điểm AI
Ta có IQ = 1 AI = 5R
2 4
1. Chứng minh OI.OA = OB.OC. Suy ra O là điểm cố định
Chứng minh AOB ~ COI OI.OA = OC.OB
Bán kính đường tròn (ABC ) là IF IQ . IF nhỏ nhất IF = IQ
 F Q . Mà F trung trực của BC OF BC hay OQ BC
 OA BC . Vậy để bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC nhỏ nhất thì BC phải vuông góc với AO.
BMN 1 BOE
2

( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
Bài 19
Suy ra :
BOE BO ' E
 EBO ' OEB ( do hai tam giác cân có hai
1. Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp. Suy ra K là trực tâm của MBC
góc ở đỉnh bằng nhau )
Suy ra : OE // O’B . Mà OE AB ( t/c đường kính – dây- cung ) Nên : AB O’B AB là tiếp tuyến của (O’).
Tứ giác AMKB nội tiếp 
HKB MAB
4. Khi AB = R
3 . Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R
Mà MAB MCB
( ABCM là hình bình hành )
AB = R 3 sđ AB 1200 
EOB 600 và EB = R
Suy ra : HKB MCB
 FKHC là tứ giác nội tiếp
 EO ' B 600

 EO’B đều O’B = O’E = R
Ta lại có : CHK 900
 CFK 900
 BF MC tại F

1 3 R2 3
 K là trực tâm của MBC
2. Chứng minh AMB cân. Suy ra N thuộc một cung tròn cố định
Từ đó ta có SEOBO’ = 2S EOB = 2.
.R.R 
2 2 2
Ta có : AM // BN
 AMN MNB
Do MN là phân giác AMB
Nên : AMN BMN
Từ đó : BMN MNB
M	F C K
O
H

1. Chứng minh IA2 = IP.IM
Chứng minh IAN ~ IMA
2. Chứng minh ANBP là hình bình hành
 MBN cân tại B
A B
Ta có AMP PAB
BN
( chắn AP trong (O’) )
Suy ra : MNB 1 AMB không đổi E
2
Ta lại có E là điểm chính giữa AB cố định
Chứng minh API = BNI ( g-c-g) AP = BN APBN là hình bình hành
3. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)
2
N
nên E cố định. EB cố định O'
Chứng minh IB
= IP.IM
Từ đó ta có N nhìn đoạn EB cố định dưới
 IBP ~ IMB 
IBP IMB
một góc không đổi bằng
1 AMB
Vẽ đường kính BD của đường tròn (K) ngoại tiếp MPB
2 Ta có IMB PDB
và
PBD PBD 900
Vậy N thuộc cung chứa góc =
1 AMB dựng trên đoạn EB cố định .
 IBP PBD 900 
IBD 900
2
3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Ta có : ENB 1 EO ' B ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
2
 IB là tiếp tuyến của (K)
4. Chứng minh P chạy trên một đường cố định
Ta có APB ANB ( hình bình hành ) Mà AMB ANB 900
 APB 1800 AMB (= )
D
 APB không đổi
Do AB cố định
 P cung chưá góc 
dựng trên đoạn AB cố định .
K M
Vậy S MHN lớn nhất HM.HN lớn nhất HM và HN là đường kính Thật vậy : Vẽ đường kính HM’ của (O) và đường kính HN’ của (O’) ta chứng minh được M’AN’ thẳng hàng . Do đó Khi MH lớn nhất thì NH
cũng lớn nhất . Suy ra khi đó diện tích MHN lớn nhất.
Bài 22
1. Chứng minh AOM ~ BON và MON vuông
Từ giả thiết AM.BN = a2 AM.BN = OA.OB
 AOM ~ BON (c-g-c)
O' P O
Suy ra : MOA ONB
 MOA NOB 900
 MON 900
2. Chứng minh MN tiếp xúc với nửa đường tròn cố định tại H
Chứng minh MNO ABH

và
NMO BAH
 AHB MON 900
Bài 21
A I B
N
Suy ra H đường tròn đường kính AB cố định . Mà MN OH tại H
 MN tiếp xúc với nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định.
3. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp MON thuộc tia cố định
1. Chứng minh H BC và BCNM là hình thang vuông N
Chứng minh AH HB và AH HC
Gọi I là trung điểm MN , ta chứng minh OI AB tại O.
1
 C , B , H thẳng hàng A
Ta có OI =
(BN AM )
2
( OI là đường trung bình hình thang ABNM )
Chứng minh BM MN và CN MN I
 BCNM là hình thang vuông O'

Mà NH = NB và MH = MA ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
1
2. Chứng minh tỉ số HM
M O
không đổi
Suy ra OI =
MN hay IO = IM = IN I là tâm đường tròn (MON)
2
 MH

 AB
HN
không đổi
Vậy I tia OI cố định
Tính giá trị lớn nhất đó theo ay.
NH AC N D
3. Chứng minh A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn . Suy ra I di x E
chuyển trên một đường cố định. I
IK là đường trung bình của hình thang BCNM IK MN
H
Suy ra tứ giác AIKH nội tiếp . H K
Ta có AIK 900 mà K và A cố định I đường tròn đường kính AK. M
4. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích MNH lớn nhất
A B
Ta có S MNH =
1 HM .HN.sin MHN =
2
1 HM .HN .sin BAC
2
A O B O
Trên tia AH lấy D sao cho HD = HB . Gọi E là điểm đối xứng với A qua điểm chính giữa K của AB . Ta có DHB vuông cân ADB 450 và
 EKB vuông cân AEB 450 . Từ đó suy ra tứ giác ADEB nội tiếp .
Suy ra M và N thuộc đường tròn tâm A bán kính r = AB.AC
2. Chứng minh DN đi qua điểm cố định M D
Gọi I là giao điểm của DN và BC . Ta có
Ta lại có ABE vuông ( hs tự chứng minh ) AE là đường kính của
AIN MDN
( AI // MD )
đường tròn (ADEB) AD AE AD lớn nhất khi AD = AE 
D E H K
Mà AD = AH + HD = AH + HB .
Mà AMN MDN
 AIN AMN
1
( chắn MN )
O
H
A
Vậy chu vi ABH = AH + HB + AB = AD + AB lớn nhất khi AD lớn nhất ( do AB không đổi ) H K H là điểm chính giữa AB
Ta có : AON 
MON
2

B K I C
 1 
 N
 đường thẳng d // AB.
Và
AMN MON
2
 AON AMN AIN
Bài 23
1. Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh ABD ACD AED 900 A
Suy ra tứ giác A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O) đường kính AD.
 A, M , O , I , N cùng thuộc một đường tròn đường kính OA
 OI BC I là trung điểm BC I là điểm cố định
Vậy đường thẳng DN luôn đi qua điểm I cố định
3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OHI luôn đi qua 2 điểm cố định Chứng minh tứ giác HOIK nội tiếp đường tròn (OHI) đi qua I cố định Ta chứng minh thêm điểm K cố định :
Ta có AK.AI = AH.AO = AM2 = AB.AC ( hs tự chứng minh )
2. Chứng minh BAE = OAC và BE = CD
Tứ giác BEDC là hình thang nội tiếp (O) G O
 AK = AB.AC AI

( không đổi , do I là điểm cố định )
 BEDC là hình thang cân BE = CD H
 K là điểm cố định .
 BE CD
 BAE OAC M
Vậy đường tròn ngoại tiếp HIO đi qua 2 điểm cố định là I và K.
3. Chứng minh G là trọng tâm của ABC B C
Chứng minh AH = 2 OM E D

Bài 25 A
45
1. Chứng minh A , B’ , C’ , O’cùng thuộc
Chứng minh OM // AH 
 AG
 AH 2 
GM 1

một đường tròn I
GM OM
Vậy G là trọng tâm của ABC
AM 3

Chứng minh 5 điểm B , C , B’ , C’ , O O
cùng thuộc đường tròn (K) đường kính BC B'
 AC’C vuông tại C’ có CAC ' 450
C' O'
Bài 24
1. Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố định
 B' CC ' 450
 B' C ' nhỏ của (K) có số đo 900
0

B a K
C
Chứng minh AM2 = AN2 = AB.AC ( không đổi )
 số đo B' C ' lớn là 270
 C' OB ' 1350 
C' O ' B ' 1350
 C' O ' B ' C' AB ' 1800
 tứ giác AC’O’B’ nội tiếp đường tròn có tâm là I .
2. Tính B’C’ theo a
Trong (K) có C' KB ' 900 ( sđ B' C ' 900 ) B’KC’ vuông cân
 OE = 2 OK Ta có S OEF =

1 OC.EF R.R
2

3( 3 1) R2

3( 3 1)
 C’B’ = KC’ 2 a 2

Chứng minh OHK ~ OFE với tỉ số đồng dạng k =
OK 1
3. Tính bán kính đường tròn (I) theo a
Ta có B' IC ' 900 ( B' AC ' 450 ) B’IC’ vuông cân

2
S 1 1
OE 2
1 1
Suy ra :
OHK
 
 S OHK = 
SOEF 
.R2
3( 3 1)
Mà B’C’ = a 2 IB’ = a

Bài 26
SOFE
 2 4
4 4
Bài 27
1. Chứng minh AMB đều và tính MA theo R A
OA = R , OM = 2R AOM 600 E
1. Chứng minh BEDC nội tiếp
( Học sinh tự chứng minh )
 AOB 1200
 AMB 600 H
2. Chứng minh MN // DE và B , C M , N cùng thuộc đường tròn
Mà AMB cân tại A
 AMB là tam giác đều M O
A
Ta có KN AC và KM AB
Tính được AM = R 3 K

D
 KN // HD và KM // HE
Gọi p là chu vi MEF , ta có :
= ME + EC + CF + MF

 E O
AN AK AM H N
I
B C
3. Chứng minh EK OF
Ta có EAK 600 . Ta chứng minh :

EOF 600

 EAOK nội tiếp
Mà AED ACB
M
O'
 AMN ACB K
Mà EAO 900 
EKO 900
 EK OE
 tứ giác MBNC nội tiếp
4. Khi sđ BC = 900 . Tính EF và diện tích OHK theo R
A
3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua điểm cố
định
Khi sđ BC 900
 COBF là hình vuông E
Chứng minh AO ED ( học sinh tự chứng minh ) OA MN
 BF = R MF = MB – FB C H
= R 3 R R( 3 1)
M O
Hay đường thẳng qua A vuông góc với MN đi qua O cố định .
4. Chứng minh đường thẳng kẻ từ H , vuông góc với M đi qua điểm cố định
 MFE vuông tại F có
EMF 600 l
K
Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua BC .
 EF = MF. 3 = R 3( 3 1)
F
 Ta có EOK vuông tại K có EOF 600
B
Ta chứng minh AOO’H là hình bình hành . HO’ MN Suy ra điều phải chứng minh
5. Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O)

Do đó : S ADE =
1 DE.AK 1
R. AH

lớn nhất AH lớn nhất
Để O’ (O) thì OO’ = R OI =
R ( I là trung điểm OO’)
2
2 2 3
 H M A là điểm chính giữa BC
R 3
Suy ra : BI =
2

 BC = R 3

Bài 29
Bài 28

1. Chứng minh A , B , Q , K cùng thuộc một đường tròn
QPD QBD ( chắn BD trong (O’) )
1. Chứng minh AD.AB = AE.AC
Chứng minh AED ~ ABC ( g-g )

QPD PAQ

( chắn

PQ trong (O) )
 QAK QPK
2. Chứng minh I là trung điểm DE
Ta có BA CA và AH BC
O
Suy ra tứ giác ABKQ nội tiếp
2. Chứng minh BPK cân
 HCA HAB
BPK BAP ABP
( góc ngoài )
Mà EDA HCA ( BDEC nội tiếp ) H
B M C
Mà BAP AQP
và
ABP PQB
 BPK AQB
 EDA HAB
 DIA cân tại I I D
Mà
AQB BKP
( ABKQ nội tiếp )
Tương tự chứng minh AIE cân tại I K E
 ID = IA = IE I là trung điểm ED
3. Chứng minh IKMH nội tiếp A
Chứng minh MA DE tại K HMKI nội tiếp
4. Tính DE theo R và tỉ số AH AK
Ta có OI DE ( I là trung điểm DE ) và AM DE ( cmt) OI // MA Ta có OM BC và AH BC IA // OM OIAM là hình bình hành
 BPK BKP x
 PBK cân tại B A
B
P y
K O I O'
Suy ra : AI = OM . Mà BC = R

3 OM =
R IA =
2
2
R DE = R
M
Q
D
Chứng minh AKE ~ AHB AH
 AB
AK AE
3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp PQK tiếp xúc với PB và KB
Mà AB BC R 3 

3 . Vậy
 AH 3
Chứng minh BPK PQK
( hs tự chứng minh )
AE DE R AK
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp PQK . vẽ đường kính PM của (I)
5. Tìm vị trí điểm A để diện tích ADE lớn nhất
Ta có PMK PQK
 PMK BPK
Ta có : AH 
3 AK = AH