Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

 thức 
 P = 
2a
16
a
8
-1
4-a4a4-a4a

 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên. 
Bài 7: Cho biểu thức 
 P = 



















 1a
2
1a
1
:
aa
1
1a
a
a) Rút gọn P. 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 2 
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2 
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0. 
Bài 8: Cho biểu thức 
 P = 





















 x
2
x2x
1x
:
x4
8x
x2
x4
a) Rút gọn P. 
b) Tính x để P = -1 
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1. 
Bài 9: Cho biểu thức 
 P = 















 





xy
yx
xxy
y
yxy
x
:
yx
xy -y 
x 
a) Tìm x, y để P có nghĩa. 
b) Rút gọn P. 
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3 
Bài 10: Cho biểu thức 
 P = 
x
2007x
1x
14xx
1x
1-x
1x
1x
2
2 















a) Tìm x để P xác định. 
b) Rút gọn P. 
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. 
Bài 11: Rút gọn P. 
 P = 
2
224
22
22
22
22
b
baa4
:
baa
baa
baa
baa 















Với | a | >| b | > 0 
Bài 12: Cho biểu thức 
 P = 
2
2
x1
.
1x2x
2x
1x
2x















 





a) Rút gọn P. 
b) Chứng minh rằng nếu 0 0. 
c) Tìm GTLN của P. 
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức 
 P = 
6x5x
10x
3x4x
1x5
2x3x
2x







 Không phụ thuộc vào biến số x. 
Bài 14: Chứng minh giá trị của biểu thức 
 P = 
x
x
x



52.549
347.32
4
63 
 Không phụ thuộc vào biến số x. 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 3 
Bài 15: Cho biểu thức 
 P = 1x
1xx
xx
1xx
xx 22





 
 Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 . 
Bài 16: Cho biểu thức 
 P = 
1x
)12(x
x
x2x
1xx
xx 2






 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm GTNN của P 
c) Tìm x để biểu thức Q = 
P
x2
 nhận giá trị là số nguyên. 
Bài 17: Cho biểu thức 
 P = 
1x2
x
1x2x
1x
1x
xx
1xx
xxx2x


















a) Tìm x để P có nghĩa 
b) Rút gọn P. 
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó. 
Bài 18: Rút gọn biểu thức 
 P = 
5310
53
5310
53





Bài 19: Rút gọn biểu thức 
 a) A = 7474  
 b) B = 5210452104  
 c) C = 532154154  
Bài 20: Tính giá trị biểu thức 
 P = 123412724  xxxx 
 Với 
2
1
 ≤ x ≤ 5. 
Bài 21: Chứng minh rằng: 
 P = 
26
4813532


 là một số nguyên. 
Bài 22: Chứng minh đẳng thức: 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 4 
1
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1






Bài 23: Cho x = 3 7253 725  
 Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x 
Bài 24: Cho E = 
yx
xy1
yx
xy1





 Tính giá trị của E biết: 
 x = 222.222.84  
 y = 
45272183
2012283


Bài 25: Tính P = 
2008
2007
22008
22007220071  
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau: 
 P = 
51
1

 + 
95
1

+ ... +
20052001
1

Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức: 
 P = x3 + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng 
 x = 3 2233 223  
y = 3 212173 21217  
Bài 28: Cho biểu thức A = 



















a
aa
a
a
a
a 1
4
1
1
1
1
a) Rút gọn A. 
b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 154 
Bài 29: Cho biểu thức 
A = 
   
 










1
1
1
14
1414
2 xxx
xxxx
 a) x = ? thì A có nghĩa. 
 b) Rút gọn A. 
Bài 30: Cho biểu thức 
P = 
xxx
x
xx
x







1
1
11
11
11
11
 a) Rút gọn P. 
 b) So sánh P với 
2
2
. 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 5 
Bài 31: Cho biểu thức 
P = 
1
2
1
3
1
1




 xxxxx
 a) Rút gọn P. 
 b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1. 
Bài 32: Cho biểu thức 
P = 
a
a
a
a
aa
a








3
12
2
3
65
92
 a) Rút gọn P. 
 b) a = ? thì P < 1 
 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên. 
Bài 33: Cho biểu thức 
P = 
x
x
yxyxx
x
yxy
x





 1
1
22
2
2
 a) Rút gọn P. 
 b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. 
Bài 34: Cho biểu thức 
P = 
x
x
yxyxx
x
yxy
x





 1
1
22
2
2
 a) Rút gọn P. 
 b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. 
Bài 35: Cho biểu thức 
P = 
yxxy
yyxxyx
yxyxyx 33
33
:
11211



















 
 a) Rút gọn P. 
 b) Cho xy = 16. Tìm Min P. 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 6 
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT. 
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab. 
 Tính giá trị của biểu thức: P = 
ba
ba

 
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy 
 Tính giá trị biểu thức E = 
yx
yx

 
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0 
 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 
 2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 
 Tính giá trị biểu thức: 
 M = 222 z
xy
y
xz
x
yz
 
Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức: 
 P = 


















a
c
c
b
b
a
111 
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: 
 (x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3 
 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 . 
 Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y
2007 + z2007 
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức: 
 P = a4 + b4 + c4 
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: 
 a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 
 Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007 
Bài 8: Cho 1
b
y
a
x
 và 2
ab
xy
. Tính 3
3
3
3
b
y
a
x
 
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức 
 P = 222222222
111
cbabcaacb 




Bài 10: Cho 
bab
y
a
x


144
; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: 
 a) bx2 = ay2; 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 7 
 b) 10041004
2008
1004
2008
)(
2
bab
y
a
x

 
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì: 
xzzyzyxyx 



 1
1
1
1
1
1
 = 1 
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức: 
 A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức: 
 P = 
))(())(())((
222
acbc
c
abcb
b
caba
a





Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc 
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều. 
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì: 
accbbabcac
ba
abcb
bc
caba
cb













 222
))(())(())((
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p 
Chứng minh rằng: 
))()((
1111
cpbpapp
abc
pcpbpap 






Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh : 
3
)2(2
11 2233 




 ba
ab
a
b
b
a
Bài 18: Cho 1
c
z
b
y
a
x
 và 0
z
c
y
b
x
a
 Tính giá trị biểu thức A = 
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
 
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0




 ba
c
ac
b
cb
a
Tính giá trị của P = 
222 )()()( ca
c
ac
b
cb
a





Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) 
b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz 
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức 
 A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0. 
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd 
 Chứng minh: c = d. 
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2. 
Tính giá trị biểu thức: A = 
yx
yx


Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy. 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 8 
 Tính giá trị của phân thức A = 
226
2
yxyx
xy

Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007. 
 Tính giá trị của biểu thức: P = 
222
222
)()()( yxabzxaczybc
czbyax


Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008. 
Tính giá trị biểu thức: 
 P = 
))(())(())((
333
xzyz
z
zyxy
y
zxyx
x





Bài 27: Cho 








1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y
2007
 + z
2007
 . 
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức: 
P = 
 
 22
22
)()(
)()(
bcacba
cbacba


Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2. 
 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0. 
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn: 








15
8
3
zxzx
zyyz
zyxy
 Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z. 
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: 






1
1
333
222
zyx
zyx
 Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003) 
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = 
432
48632


b) Tính giá trị biểu thức: Q = 
yx
yx


Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) 
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: 
 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) 
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2. 
a) So sánh a và b + c. 
b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) 
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 9 
 2) Tính A = 33 2142021420  (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) 
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. 
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) 
a) Giải phương trình khi m = 2. 
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m. 
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn 
điều kiện 21x +
2
2x  10. 
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: 
 




acbcabac
c
2
0
2
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm. 
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0. 
 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. 
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai 
nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 





35
5
3
2
3
1
21
xx
xx
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình 
 (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm. 
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b 
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm: 
 (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0 
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm nếu 4
2

a
c
a
b
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa 
mãn: 21x -
2
2x = 
9
5
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai 
nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN 
b) B = x1
2 + x2
2 - đạt GTNN. 
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 
Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 
 3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 10 
 S = 
3
2
3
1
11
xx
 
Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương 
trình trên hãy tính giá trị của biểu thức: 
 A = 
2
3
1
3
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx


Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1) 
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a. 
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 
 x1
2 + x2
2 = 6. 
 3) Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 
 x1 < 1 < x2. 
Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) 
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. 
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . 
 Tìm GTNN của M = x1
2 + x2
2 
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 
2
111

ba
 CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: 
 x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0. 
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1) 
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m. 
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x1
2 + x2
2 đạt GTNN. Tìm GTNN đó. 
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình 
sau phải có nghiệm: 
 ax2 + 2bx + c = 0 (1) 
bx2 + 2cx + a = 0 (2) 
cx2 + 2ax + b = 0 (2) 
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1) 
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m. 
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x1
2 + x2
2 đạt GTNN. 
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1) 
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. 
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 
 x1
2 + x2
2  10. 
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 
 E = x1
2 + x2
2 đạt GTNN. 
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. 
 CMR: a2 + b2 là một hợp số. 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 11 
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. 
Giải phương trình: 
Bài 1: x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 . 
Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) 
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 
Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x 
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 
Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 
Bài 7: a) (x + 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2 
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 
Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0 
 b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 
 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0 
Bài 9: a) x4 = 24x + 32 
 b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 
Bài 10: 198
35
 xx 
Bài 11: 1
253
7
23
2
22



 xx
x
xx
x 
Bài 12: x2 + 
 
12
2
4
2
2

x
x 
Bài 13: 20 0
1
4
48
1
2
5
1
2
2
222



















x
x
x
x
x
x 
Bài 14: a) 4
1
7
13
3
22



 xx
x
xx
x
 b) 
1512
4
156
1510
22
2




xx
x
xx
xx
 c) 
4
1
56
55
54
53
2
2
2
2






xx
xx
xx
xx 
Bài 15: a) x2 + 
 
40
9
81
2
2

x
x
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 12 
 b) x2 + 
 
15
1
2
2

x
x 
Bài 16: a) 
9
40
2
11
22













 
x
x
x
x
 b) 0
1
4
2
5
1
2
1
2
2
222



















x
x
x
x
x
x
 c) x. 15
1
8
1
8











x
x
x
x
x 
Bài 17: x2 + 
2
1





 
x
x
 = 8( Đề thi HSG V1 2004) 
Bài 18: 23151  xxx 
Bài 19: 271 33  xx 
Bài 20: 21212  xxxx 
Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2 2772  xx 
Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 
 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 
 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 
Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) 
Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 
 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 
Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0 
 b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 
Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 
 b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 
Bài 27: 0
4
3
10
48
3 2
2







x
x
x
x 
Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab 
 b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 13 x 
 ( Đề thi HSG 1998) 
Bài 29: 3
53
14
5 



x
x
x 
Bài 30: x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) 
Bài 31: 05
2
4
2
4



x
x
x
 ( Đề thi HSG V2 2003) 
Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 
 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 
Bài 33: (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) 
Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 32 x 
 b) 3 83 x = 2x2 - 6x + 4 
 c) 2
32
4
2 


x
x 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 13 
Bài 35: 0321 333  xxx 
Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m 
 a) Giải phương trình khi m = 5. 
 b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 
Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương 
trình có nghiệm. 
Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0 
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0. 
Bài 40: x2 + 9x + 20 = 2 103 x 
Bài 41: x2 + 3x + 1 = (x + 3) 12x 
Bài 42: x2 + 2006x =2006 
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC 
Bài 1) Với a, b > 0 thì ab
ba


2
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: 
 ))(( 2222 yxba (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm:   dbcacdab  
Bài 4) CM bất đẳng thức: 
   222222 dbcadcba  
Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: 
2
222 cba
ba
c
ac
b
cb
a 






Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì: 
2
1
2
1
...
2
1
1
1



 nnn
Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b  2. 
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) 
 a2 + b2 + c2 = 2 (2) 
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn 



0;
3
4
khi biễu diễn trên trục số. 
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. 
CMR: 2a2 + 3b2  5. 
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1. 
CM: a2 + 4b2  
5
1
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003). 
Bài 11) Chứng minh: 
3
1
2222
22222



 (Đề thi HSG 2001). 
Bài 12) Chứng minh: 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 14 
 a)  ))(( 2222 yxba (ax + by)2 
 b) 2420  xx 
Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm: 
2
3





 ba
c
ac
b
cb
a
Bài 14) Cho 
100
1
...
3
1
2
1
1 S . 
CMR: S không là số tự nhiên. 
Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR: 
yxyx 

411
. Dấu bằng xảy ra khi nào? 
 b) Tam giác ABC có chu vi 
2
cba
P

 . 
Cm: 










 cbacpbpap
111
2
111
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? 
Bài 16) a) CM x > 1 ta có: 2
1

x
x
 b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: 
11
22




a
b
b
a
P 
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
 CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 9
111







cba
. 
Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: 
 ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 
Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. 
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005). 
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b  10. 
Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. 
CMR: 8
3
8 22  ba . 
Dấu bằng xảy ra khi nào? 
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT: 3
211



baba
Bài 24) CMR nếu: 
 a) 51  a thì 105413  aa 
 b) a + b 2;01;0  bab thì 2211  ba 
Bài 25) Cho biểu thức 
1
4
1
1
1
3
23453434 





xxxxxxxxxxx
P 
CMR: 
9
32
0  P với 1x . 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 15 
Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và 
kb
ka
b
a
Cmr
b
a


 :.1 
 b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: 
ba
c
ac
b
cb
a





< 2. 
Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. 
 Chứng minh rằng: 9
1
1
1
1 












ba
 (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) 
Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0: 
 






x
y
y
x
x
y
y
x
34
2
2
2
2
DẠNG 6: CỰC TRỊ 
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. 
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y. 
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P = 
2 2
1 1
1 1
x y
  
   
  
Bài 3) Cho P = 
 2
2
2 1
1
x x
x
 

. Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x. 
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y  0, x + y = 10 
Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. 
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 
Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 
2
2
1
1
x x
x x
 
 
Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2 x 
Bài 9) Tìm GTLN của P = 
x y z
y z x
  với x, y, z > 0. 
Bài 10) Tìm GTLN của P = 2 2( 1990) ( 1991)x x   
Bài 11) Cho M = 3 4 1 15 8 1a a a a       
a) Tìm điều kiện của a để M được xác định. 
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng. 
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 
1 1 1
2
1 1 1x y z
  
  
. Tìm GTNN của P = x.y.z. 
Bài 13) Tìm GTNN của P = 
2 1
1 x x


Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 
 P = x + 2y. 
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. 
 Tìm GTNN của E = x2 + 2y2. 
MATHVN.COM | www.MATHVN.com 
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 16 
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức 
 P = 
2 2
1
x y
 + 
2
xy
 + 4xy 
Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = 
2
2
1
1
x x
x
 

 với x bất kỳ. 
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức 
 A = 
2 2
1 2
x y xy


Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 
22
1 1
x y
x y
  
    
   
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 
1
4xy
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 
1 1
1 1
x y
  
   
  
Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4. 
 Tìm GTNN của biểu thức P = 
2 2