Các bài giảng ôn thi trung học phổ thông quốc gia năm 2016

) suy ra 
2 8
4
 
K . 
Ví dụ 5. Tính tích phân sau: 
a) [ĐHD07] 3 2
1
ln 
e
I x xdx . 
b) [ĐHD04]  
2
2
3
ln J x x dx . 
c) 3
1
ln 
e
K xdx ; 
d) 2
1
ln 
e
H x xdx . 
Giải 
a) Ta có 
4 2 4 4
2 4 4 2 4 3
1 1 1 11
1 ln 1 1 1 1ln ln 2ln ln
4 4 4 4 4 4 2
          
ee e e ex x e eI xdx x d x x x dx x xdx
x
. (1) 
Lại có 
4
3 4 4 4 4
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1ln ln ln ln
4 4 4 4 4
        
e e e e
e ex xdx xdx x x x d x x dx
x
4 4 4 4 4 4
3
1 1
1 1 3 1
4 4 4 16 4 16 16
 
      
eee e x e e ex dx . (2) 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
155 
 Từ (1) và (2) suy ra 
4 4 43 1 5 1
4 32 32
e e eI     . 
b) Ta có 
     
2 2 222 2 2
23
3 3 3
2 1ln ln ln 2 ln 2 3ln 6          
  
xJ x x dx x x x xd x x x dx
x x
. 
 2 2
3 3
2 1 12 1ln 2 3ln3 ln 2 3ln3
1 1
xx dx dx
x x
 
       
   
 
2 2
3
3
1ln 2 3ln3 2 ln 2 3ln3 2 1 ln 1
1
dx x
x
                     
 
ln 2 3ln3 2 ln 2 3ln 3 2        . 
c) Ta có 
2
3 3 2 2 3
1 1
1 1 1 1
3lnln ln 3 ln 3 ln 3 ln            
e e e e
e exK x x xd x e x dx e xdx e x x xd x
x
1
1 1 1
2 ln3 3 2 6 ln 2 6 ln 6 ln
e e e
ex
e e x dx e xdx e x x xd x
x
             
 
1
12 6 6 4 6 1 6 2
e
e e x dx e e e
x
          . 
d) Ta có 
3 3 3
3 3 3 2
1 1 1 11
1 ln 1 1 1 1ln ln
3 3 3 3 3 3 3
          
ee e e ex x e eK xdx x d x x dx x dx
x
3 3 3 3 3 3
2
1 1
1 1 2 1
3 3 3 9 3 9 9
 
      
eee e x e e ex dx . 
Ví dụ 6. Tính tích phân sau: 
 156
a) [ĐHB09] 
 
3
2
1
3 ln
1



xI dx
x
; 
b) [ĐHD08] 
2
3
1
ln
 
xJ dx
x
; 
c)  
2
2
1
ln 1
 
x
K dx
x
. 
Giải 
a) Ta có 
       
3 3 3
2 2 2 2
1 1 1
3 ln 3 ln
1 1 1 1
   
     
x xI dx dx dx
x x x x
. 
Ta thấy 
 
33
2
11
3 3 3
1 41
  

dx
xx
, (1) 
   
3 33 3 3 3
2
1 11 1 1 1
ln 1 ln 1 lnln ln
1 1 1 1 11
      
       
x x x dxdx xd d x
x x x x x xx
 
3 33 3
1 1 1 1
ln ln 3 ln 3ln ln
1 1 4 1 4 1
        
   
x dx x x
x x x x x
ln 3 3 1 3ln 3ln ln ln 2
4 4 2 4
       
 
. (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra 3 3ln 3 ln 2
4 4
I    
b) Ta có 
2 22 2 2
2 2 2 3 2
1 1 11 1
1 1 1 ln 1 1 ln 2 1 ln 2 1 3 2 ln 2ln ln
2 2 2 8 2 8 164
x dxJ xd d x
x x x x x

               . 
c) Ta có 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
157 
     
 
22 2 2
1 1 11
ln 1 ln 11 ln 3ln 1 ln 2
2 1
 
        
  
x d x dxK x d
x x x x x
. 
2ln 3 ln 3 2 1 3ln 3ln 2 ln ln 2 ln ln 3ln 2
12 1 2 3 2 2
            
x
x
. 
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau . 
a)  
1
2
0
ln 1 I x x dx ; 
b)  
3
2
0
ln 5 J x x dx . 
Giải 
a) Ta có 
           
1 112 2 2 2 2 2
0
0 0
1 1 1ln 1 1 1 ln 1 1 ln 1
2 2 2
         I x d x x x x d x . 
   
1 2 12 2
2 0
0
1 1 1 1ln 2 1 ln 2 1 ln 2
2 1 2 2

       

x d x x
x
b)  
3
2
0
ln 5 J x x dx . Đặt 2 5t x  , ta có 
 2
2
dtdt xdx xdx   ; 
 Khi x nhận giá trị là 0 và 3 , t nhận những giá trị tương ứng là 5 và 14 . 
Do đó, 
1414 14 14
55 5 5
1 1 1 14ln14 5ln 5 1 14 ln14 5ln 5 9ln ln ln
2 2 2 2 2 2
  
       I tdt t t td t dt . 
Ví dụ 8. Tính tích phân sau: 
 158
a) 
2
2
0
cos3

  xI e xdx ; 
b) 2 2
0
sin

  xJ e xdx . 
Giải 
a) Ta có 
2 2 2
2 2 2 22
0
0 0 0
1 1 2sin 3 sin 3 sin 3 sin 3
3 3 3 3
  
 
       x x x x
eI e d x e x xde e xdx 
2 222 2 2
00 0
2 2 2cos3 cos3 cos3
3 9 3 9 9
 
 
       x x x
e ee d x e x xde 
2
2
0
2 4 2 4cos3
3 9 9 3 9 9

 
        x
e ee xdx I . 
Suy ra 3 2
13
eI
 
  . 
b) Ta có 
 2 2 2
0 0 0
1 1 11 cos 2 cos 2
2 2 2
  
     x x xJ e x dx e dx e xdx 
2
2 2 2
0 0 0
1 1 1 1cos 2 cos 2
4 2 4 2
   
    x x x
ee e xdx e xdx . (1) 
Lại có 
2 2 2 2
00 0 0
1 1 1cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
2 2 2
  
    x x x xe xdx xde e x e d x 
2 2
2 2
0 0
1 1 1sin 2 sin 2
2 2 2
   
    x x
e ee xdx xde 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
159 
2 2
2 2 2
0 0 0
1 1 1 1sin 2 sin 2 cos 2
2 2 2 2
    
     x x x
e exe e d x xe dx . 
 Suy ra 
2
2
0
1cos 2
4
  
 x
ee xdx . (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra 
2 1
8
 

eI . 
C. BÀI TẬP 
Tính các tích phân sau 
1. 
1
.ln
e
x xdx ; ĐS: 
21
4
e . 
2. 
 
1
2
1
ln
1
e
x dx
x
; ĐS: 1ln
1 2
e e
e

 

. 
3.  
3
0
sin .ln cosx x dx

 ; ĐS: 
ln 2 1
2
 . 
4. 
2
2
sin 3
0
s inxcosxe xdx

 ; ĐS: 12
e
 . 
5. 3
0
sin 4

 xe xdx ; ĐS: 
 34 1
25
e 
. 
6.  
3
2
6
ln s inx
cos


 dxx ; ĐS: 
3 2 3ln 3 ln 2
2 3 6

  . 
7.  
2
2
0
sin cos

 x x xdx ; ĐS: 
3 4
6
  . 
 160
8. 
2
4
0
os xxc dx

 ; ĐS: 
2
4
2

 . 
9. 3 2
0
ln
e
x xdx ; ĐS: 
45
32
e . 
10. 
 
1 2
2
0 2

xx e dx
x
; ĐS: 1
3
e
  . 
11.  
1
2
0
ln 1 x x dx ; ĐS: 
12 ln 2 5
18
 . 
12. 
1
2
0
1.ln
1
xx dx
x
 
  
; ĐS: 4 3ln 3
8
 . 
13.  
2
2
1
cos ln


e
x dx ; ĐS: 
22 3
5
e

 . 
14.  
2
2
1
lnx x xdx ; ĐS: 
55 42 ln 2
36 9
  . 
15. 
2
5
1
ln x dx
x ; ĐS: 
15 4 ln 2
256
 . 
16.  
2
0
s inxln 1+cosx dx

 ; ĐS: 2 ln 2 1 . 
17.  
1
2 2
0
1 xx e dx ; ĐS: 
25 1
4
e  . 
18. 3 4
0
.sin cosx x xdx

 ; ĐS: 
2
35
 . 
19.  
2
2
1
1 ln x xdx ; ĐS: 
12 ln 2 5
18
 . 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
161 
VẤN ĐỀ 14. TÍCH PHÂN HÀM CHỨA CĂN 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Có nhiều phương pháp để tính tích phân hàm vô tỷ (hàm chứa căn), tuy nhiên trong chương trình ôn thi 
đại học, ta chỉ cần quan tâm đến hai dạng sau đây. 
Dạng 1: Biểu thức trong căn là một nhị thức bậc nhất 
 ; nI R x ax b dx  , 
trong đó  ; nR x ax b là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và n ax b , n là số tự nhiên, 2n  , 
0a  . 
Phương pháp: Đặt nt ax b  . 
Dạng 2: Biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai 
Phương pháp 1: Xét tích phân 
 2;I R x ax bx c dx   , 
trong đó  2;R x ax bx c  là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và 2ax bx c  , 0a  . 
Đặt 2t ax bx c   . 
Trong trường hợp phương pháp này không sử dụng được, ta chuyển qua dùng phương pháp 2. 
Phương pháp 2: Biến đổi căn của tam thức bậc hai về một trong các kiểu sau và áp dụng cách đặt ẩn 
phụ tương ứng. 
 Kiểu Phép đặt ẩn phụ 
 2 2a f x , 0x    sinf x a t , ;
2 2
t      
 162
 2 2a f x , 0x    tanf x a t , ;
2 2
t     
 
 2 2f x a , 0x   
cos
af x
t
 ,  0; \
2
t     
 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Tính 
1
0
1I x xdx  . 
Giải 
Đổi biến 
1t x   
21
2
x t
dx tdt
  

 
. 
Đổi cận 
0x   1t  , 1x   0t  . 
Suy ra 
I    
0
2
1
1 2t t tdt    
1
2 4
0
2 t t dt  3 5
1 1
1 12
3 5
0 0
t t
 
   
  
 4
15
 . 
Ví dụ 2. [ĐHA04] Tính 
2
1 1 1
xI dx
x

  . 
Giải 
Đổi biến 
1t x   
2 1
2
x t
dx tdt
  


. 
Đổi cận 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
163 
1x   0t  , 2x   1t  . 
Do đó 
I 
1 3
0
2
1
t t dt
t


 
1
2
0
22 2
1
t t dt
t
      
  3 2
1 1 1 1
1 12 2 2 ln 1
3 2
0 0 0 0
t t t t
 
      
  
1 12 2 2ln 2
3 2
     
 
 11 4ln 2
3
  . 
Ví dụ 3. Tính 
64
3
1
dxI
x x

 . 
Giải 
Ta có 
   
64
3 2
6 61
dxI
x x


 . 
Đổi biến: 6t x  
6
56
x t
dx t dt
 


. Đổi cận: 1x   1t  , 64x   2t  . 
 I 
2 5
3 2
1
6 t dt
t t

 
2 3
1
6
1
t dt
t

 
2
2
1
16 1
1
t t dt
t
      
 3 2
2 2 2 2
1 16 ln 1
3 2
1 1 1 1
t t t t
 
      
  
11 6 ln 3 6ln 2   . 
 164
Ví dụ 4. [ĐHA05] 
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x xI dx
x



 . 
Giải 
Ta có 
 2
0
2cos 1 sin
1 3cos
x xdx
I
x



 . 
Đổi biến: 1 3cost x   
2 1cos
3
2sin
3
tx
xdx tdt
 


  

. Đổi cận: 0x   2t  , 
2
x   1t  . 
 I 
   2 1 21 3 3
2
2. 1t tdt
t
  
  
  
2
2
1
2 2 1
9
t dt  
 3
2 2
2 2
9 3
1 1
t t
 
 
  
 
 
 34
27
 . 
Ví dụ 5. Tính 
3 3
2
0 1
x dxI
x


 . 
Giải 
Ta có 
 23
2
0 1
x xdx
I
x


 . 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
165 
Đổi biến: 2 1t x   
2 2 1x t
xdx tdt
  


. Đổi cận: 0x   1t  , 3x   2t  . 
 I 
 22
1
1t tdt
t

  
  
2
2
1
1t dt  
3
2 2
1
3
1 1
t t  
4
3
 . 
Ví dụ 6. Tính 
2
2
2 1
dxI
x x


 . 
Giải 
Ta có 
2
2 2
2 1
xdxI
x x


 . 
Đổi biến: 2 1t x   
2 2 1x t
xdx tdt
  


. Đổi cận: 2x   1t  , 2x   3t  . 
 I 
 
3
2
1 1
tdt
t t

 
3
2
1 1
dt
t

 . 
 166
Đổi biến tant u , ;
2 2
u     
 
  
2
2
2
cos
11
cos
dudt
u
t
u
 

  

. Đổi cận 1t   
4
u  , 3t   
3
u  . Do 
đó 
3 3
4 4
3
2
2 4
cos
1 12
cos
du
uI du u
u
 
 



     . 
Ví dụ 7. Tính 
 
1
2
0 1 2 2
dxI
x x x

  
 . 
Giải 
Ta có 
 
 
1
2 2
0
1
2 1 2 2
x dx
I
x x x x


   
 . 
Đổi biến: 2 2 2t x x    
 
2 22 2
1
x x t
x dx tdt
   

 
. Đổi cận: 0x   2t  , 1x   5t  . 
 I 
 
5
2
2 1
tdt
t t

 
5
2
2 1
dt
t

 
5
1 1ln
2 1
2
t
t



 1 5 1 2 1ln ln
2 5 1 2 1
     
              
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
167 
    ln 5 1 ln 5 1 ln 2     . 
Ví dụ 8. Tính 
1
2
1
28 2
dxI
x x

 
 . 
Giải 
Ta thấy  22 2 28 2 9 1 2 3 1x x x x x         . 
Đặt 
1 3sinx t  , ;
2 2
t      
 2 2 2 28 2 3 3 sin 3 cos 3cosx x t t t      . 
(do cos 0t  ;
2 2
t       
) 
 và 3cosdx tdt . 
Đổi cận 1
2
x    
6
t   , 1x   0t  . 
Do đó 
6 6
0 0
6
0
3cos
3cos 6
tdtI dt t
t  

 
   

  . 
Ví dụ 9. Tính 
3 2
2
1
1 x dxI
x

  . 
Giải 
Đặt tanx t , ;
2 2
t     
 
  
2
22
2
12 2
cos cos
2 2 sin cossin
cos
1 1 tan tan
tan
dt
t t dt
t tt
t
x dx td t
x t
 
   . 
 168
Đổi cận 1x   
4
t  , 3x   
3
t  . 
 I 
3
4
2sin cos
dt
t t


  
3
4
2 2
cos
sin cos
tdt
t t


  
 
3
4
2 2
sin
sin 1 sin
d t
t t



 
 
3
2
2
2
2 21
du
u u

 ( sinu t , 0t   0u  , 6t

  1
2
t  ) 
 
 
3
2
2
2
2 2
2 2
1
1
u u
du
u u
 

 
3
2
2
2
2 2
1 1
1
du
u u
    
 
3 3
2 2
2 2
2 2
1 1 1ln
2 1
u
u u

 

     2 3ln 2 1 ln 2 3 23      . 
Ví dụ 10. Tính 
2
2
2 1
dxI
x


 . 
Giải 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
169 
Đặt 1
cos
x
t
 ,  0; \
2
t     
 
  
2
sin
cos
sin2
cos cos1
tdt
t
t
t
dx dt
tx
 

. 
Đổi cận 2x   
4
t  , 2x   
3
t  . 
 I 
3
4
cos
dt
t


  
3
4
2
cos
cos
tdt
t


  
3
4
2
sin
1 sin
d t
t



 
3
4
1 1 sinln
2 1 sin
t
t



 

    ln 2 1 ln 2 3    . 
C. BÀI TẬP 
Tính các tích phân sau. 
1) 
1
0 3 2
dxI
x

 . 2) 
1
0 2 1
xdxI
x

 . 
3) [ĐHD12] 
4
0
4 1
2 1 2
xI dx
x


  . 4) 
7
3
3
0
1
3 1
xI dx
x


 . 
5) [ĐHB04] 
1
1 3ln lne x xI dx
x

  . 6) [ĐHA06] 
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
xI dx
x x



 . 
7) 
ln 2
0
1xI e dx  . 8) 
1
2
0
15I x x dx  . 
 170
9) 
1
3 2
0
1I x x dx  . 10) [ĐHA03] 
2 3
2
5 4
dxI
x x


 . 
11) 
4
2
2 16
dxI
x x


 . 12) 
6
2
2 3 9
dxI
x x


 . 
13) 
4 2
4 3
3
4xI dx
x

  . 14) 
2 2
2
2
1
1
xI dx
x x





 . 
15) 
2
2 2
1
4I x x dx

  . 16) 
1
2 2
3 4
dxI
x x


 . 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
171 
VẤN ĐỀ 15. ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 
  , 0
, ( )
y f x y
x a x b a b
  

  
 là 
 
b
a
S f x dx  . 
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 
  , 0
, ( )
x f y x
y a y b a b
  

  
 là: 
 
b
a
S f y dy  . 
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 
   ,
, ( )
y f x y g x
x a x b a b
  

  
 là: 
   
b
a
S f x g x dx  . 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ 
Ví dụ 1. [SGKNC] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip 
2 2
2 2 1
x y
a b
  ( 0a b  ). 
Giải 
 172
Ta tính diện tích S của một phần tư hình elip nằm trong góc 
phần tư thứ nhất. Đó là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 
số 2 2by a x
a
  , trục hoành, trục tung và đường thẳng 
x a . 
-b
-a O
y
x
b
a
Do đó S 2 2
0
a b a x dx
a
  2 2
0
ab a x dx
a
  . 
Đổi biến: sinx a t , ;
2 2
t      
  
2 2 2 2 2
cos
sin cos cos
dx a tdt
a x a a t a t a t


    
. 
Đổi cận: 0x   0t  , x a  
2
t  . 
   
2 2 2 2 2
2
0 0 0
1 cos 2 1cos cos cos sin 2
2 2 2 4
0 0
b t ab abS a t a tdt ab tdt ab dt t t
a
  
 

 
  
      
  
   . 
Vậy diện tích của hình elip là 4S ab . 
Ví dụ 2. [SGKNC] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 1y x  , đường thẳng 
2x  , trục tung và trục hoành. 
Giải 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
173 
Ta có 
2
3
0
1S x dx  . 
3 1x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 1 nên 
S    
1 2
3 3
0 1
1 1x dx x dx      
4 4
1 1 2 2
4 4
0 0 1 1
x xx x     
 1 15 71 1
4 4 2
      . 
y=x3-1
x
y
2O 1
Ví dụ 3. [SGKNC] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol   2: 2P y x  và đường 
thẳng :d y x  . 
Giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa  P và d : 
 22 x x    2 2 0x x    
1
2
x
x
 
 
. 
 174
Do đó hình phẳng đang xét được giới hạn bởi hai ĐTHS 
22y x  , y x  và hai đường thẳng 1x   , 2x  . 
    
2
2
1
2S x x dx

    . 
Vì 22 x x    1;2x   nên 
     
2 2
2 2
1 1
2 2S x x dx x x dx
 
          
2 3
2 2 2
1 12
2 3
1 1 1
x x x  
  
 3 96 3
2 2
    . 
x
y
y = -x
y=x2
O 2-1
Ví dụ 4. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị   31 : 2 2 3C y x x    và 
  32 : 2 3C x x   . 
Giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của  1C và  2C : 
3 32 2 3 2 3x x x x        3 4 0x x  
  
2
0
2
x
x
x
 
 
 
. 
Do đó S  
2
3 3
2
2 2 3 2 3x x x x dx

        
2
3
2
4x x dx

  . 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
175 
Ta thấy 3 4x x là đa thức bậc ba có ba nghiệm phân biệt là 2 , 0 , 2  3 4x x đổi dấu liên tiếp khi 
x đi qua các nghiệm. Mặt khác 3 4 0x x  2x  , do đó 
3 4 0x x   0;2x  và 3 4 0x x   2;0x   . 
 S 
0 2
3 3
2 0
4 4x x dx x x dx

     
    
0 2
3 3
2 0
4 4x x dx x x dx

      
 4 2 4 2
0 0 2 2
1 12 2
4 4
2 2 0 0
x x x x   
 
 4 8 4 8 8      . 
Nhận xét: Từ Ví dụ 3, Ví dụ 4 ta có nhận xét về cách tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai 
đồ thị    1 1:C y f x và    2 2:C y f x . 
+) Bước 1: Giải phương trình    1 2f x f x . Giả sử các nghiệm là 1 2 nx x x   , khi đó 
       
2
1 1
1 2 1 2
nx x
x x
S f x f x dx f x f x dx       
       
1 1
1 2 1 2
k n
k n
k
x x
x x
S
f x f x dx f x f x dx
 
     

. 
+) Bước 2: Xét dấu biểu thức    1 2f x f x trên từng đoạn  1;k kx x . Từ đó phá dấu giá trị tuyệt đối 
của hàm dưới dấu tích phân của tích phân kS . 
 176
Ví dụ 5. [ĐHA07] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  1y e x   1C ,  1 xy e x  
 2C . 
Giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của  1C và  2C : 
   1 1 xe x e x      0xx e e   
0
1
x
x

 
. 
Do đó diện tích hình phẳng đang xét là 
 S    
1
0
1 1 xe x e x dx     
1
0
xx e e dx  . 
Với mọi  0;1x ta có 0x  , 1xe e e   0xe e     0xx e e  . 
 S  
1
0
xx e e dx    
1 2
1 1
0 0
x
I I
e xdx xe dx  
 
. 
2
1
1
1 1.
2 2
0
I e x e  . 
2I 
1
0
xxde  
1
0
1
0
x xxe e dx   
1
0
xe e  
 1 . 
Vậy 1 2
1 1
2
S I I e    . 
Ví dụ 6. [ĐHA02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 4 3y x x    C và 
: 3d y x  . 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
177 
Giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và d : 
2 4 3 3x x x     
   2 22
3 0
4 3 3
x
x x x
 

   
         2 2
3
4 3 3 4 3 3 0
x
x x x x x x
 
              
    2 2
3
3 6 5 0
x
x x x x
 

   
  
0
5
x
x

 
. 
Do đó diện tích của hình phẳng đang xét là S  
5
2
0
4 3 3x x x dx     . 
Xét dấu của 2 4 3x x  trên đoạn  0;5 : 
 x 0 1 3 5 
2 4 3x x   0  0  
 S      
1 3 5
2 2 2
0 1 3
4 3 3 4 3 3 4 3 3x x x dx x x x dx x x x dx                 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
x 4x 3 x 3 dx x 4x 3 x 3 dx x 4x 3 x 3 dx                 
1 3 5
2 2 2
0 1 3
5 3 6 5x x dx x x dx x x dx          
 178
Dễ thấy 2 5 0x x     0;1 3;5x   và 2 3 6 0x x    x 
      
1 3 5
2 2 2
0 1 3
5 3 6 5x x dx x x dx x x dx           
13 26 22
6 3 3
   
109
6
 . 
Ví dụ 7. [SGKNC] Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi ĐTHS y x  C trục hoành và 
đường thẳng : 2d y x  . 
Giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa  C và d : 
 2 2
2 0 2
2 4
5 4 02
x x
x x x
x xx x
  
      
    
. 
   C cắt d tại điểm C có hoành độ bằng 4 . 
0x   0x    C cắt trục hoành tại gốc tọa độ. 
2 0x    2x   d cắt trục hoành tại  2;0B . 
x
y
42
2
B
C
A
O
Gọi  4;0A suy ra diện tích S bằng diện tích của tam giác cong OAC trừ đi diện tích của tam giác 
BAC . 
Diện tích tam giác cong OAC là 
4
1
0
4
2 16
3 3
0
S xdx x x   . 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
179 
Diện tích tam giác BAC là 2
1 1. 2.2 2
2 2
S AB AC   . 
Vậy 1 2
10
3
S S S   . 
Ví dụ 8. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi   2: 4P y x x  và các tiếp với  P tại  0;0O 
và  3;3A . 
Giải 
Đặt   24f x x x    ' 4 2f x x  . 
Tiếp tuyến của  P tại O là   1 : ' 0 0 0d y f x    1 : 4d y x . 
Tiếp tuyến của  P tại A là   2 : ' 3 3 3d y f x    2 : 2 9d y x   . 
Hoành độ giao điểm của 1d , 2d là nghiệm của phương trình 
4 2 9x x    3
2
x  . 
 1d , 2d cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 
3
2
. 
 180
S 1 2S S  
      
3
2
3
2
3
2 2
0
4 4 2 9 4x x x dx x x x dx               
  
3
2
3
2
3
2 2
0
6 9x dx x x dx     
  
3
2
33
3
2
3
1 1 3
3 3
0
x x   9 9 9
8 8 4
   . 
(P)
x
y
d2
d1
S2
S1
33
2
O
Ví dụ 9. [ĐHB02] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 
2
4
4
xy    C và 
2
4 2
xy   P . 
Giải 
Ta thấy 
2
4
4
xy    2 2
2 2
0
1
4 2
y
x y



 
. 
Do đó  C là nửa elip 
2 2
2 2 14 2
x y
  ở trên trục hoành. 
-4 4
2
2 2-2 2 O
y
x
Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và  P : 
2 2
4
4 4 2
x x
   
2 4
4
4 32
x x
   4 28 128 0x x    2 8x   2 2x   . 
TRUNG TÂM BDKT HÀ THÀNH | SỐ 53 - NGÕ 218 – TÂY SƠN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI 
181 
Ta thấy hình phẳng đang xét nhận Oy làm trục đối xứng nên S bằng hai lần diện tích 'S của phần hình 
phẳng nằm bên phải Oy . 
 'S 
2 2 2 2
0
4
4 4 2
x x dx
 
   
 
 
 
1 2
2 2 2 22 2
0 0
4
4 4 2
I I
x xdx dx   
 
. 
 2I 
3
2 2
1 1 4.
3 34 2
0
x  . 
Bây giờ ta tính 1I 
Đổi biến 2sin
2
x t , ;
2 2
t      
  
2
24 4 4sin 2cos
4
4 cos
x t t
dx tdt

    

 
. 
Đổi cận: 0x   0t  , 2 2x   
4
t  . 
 1I   
4
0
2cos 4cost tdt

  
4
2
0
8 cos tdt

  
  
4
0
4 1 cos 2t dt

  
 182
4 414 sin 2
2
0 0
t t
  
 
  
 
 
14
4 2
   
 
2  . 
Vậy 1 2
2'
3
S I I      42 ' 2
3
S S    . 
C. BÀI TẬP 
Bài 1. [ĐHD02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS 3 1
1
xy
x
 


 với các trục tọa độ. 
ĐS: 
41 4ln
3
  . 
Bài 2. [ĐHA14] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 3y x x   và đường thẳng 
2 1y x  . 
ĐS: 
1
6
. 
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 4 3y x x   và 3y  . 
ĐS: 
41 4ln
3
  . 
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2y x x  và 2 4y x x   . 
ĐS: 9 . 
Bài 5. Tính diện tích của hai phần đường tròn   2 2: 8C x y  chia bở