Chuyên đề 10: Các bài toán cơ bản có liên quan đến khảo sát hàm số

Chuyên đề 10: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 
 CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 
1.BÀI TOÁN 1 : ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
 CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 TÓM TẮT GIÁO KHOA 
Phương pháp chung: 
Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu giá trị tuyệt đối ta có thể thực hiện như sau: 
Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa biến bên trong dấu giá trị tuyệt đối . 
Bước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối 
 Phân tích hàm số đã cho thành các phần không có chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 ( Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức) 
Bước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại( Vẽ chung trên một hệ trục tọa độ) 
* Các kiến thức cơ bản thường sử dụng: 
1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối : 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0A nếu 
0A nếu 
A
A
A 
2. Định lý cơ bản: 
 ⎩⎨
⎧
±=
≥⇔=
BA
B
BA
0
3. Một số tính chất về đồ thị: 
a) Đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành 
b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng 
c) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 
* Ba dạng cơ bản: 
Bài toán tổng quát: 
Từ đồ thị (C):y=f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
)(:)(
)(:)(
)(:)(
3
2
1
xfyC
xfyC
xfyC
 54
Dạng 1: Từ đồ thị )(:)()(:)( 1 xfyCxfyC =→= 
Cách giải 
 B1. Ta có : 
⎩⎨
⎧
<−
≥==
(2) 0f(x) nếu 
(1) 0f(x) nếu 
)(
)(
)(:)( 1 xf
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1) 
Minh họa 
 55
Dạng 2: Từ đồ thị ))(:)()(:)( 2 xfyCxfyC =→= ( đây là hàm số chẵn) 
Cách giải 
B1. Ta có : 
⎩⎨
⎧
<−
≥==
(2) 0x nếu 
(1) 0x nếu 
)(
)(
))(:)( 2 xf
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy 
 ( do do tính chất hàm chẵn ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đượ (C2) 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 31 +−= xxyC
y=x3-3x+2 
y=x3-3x+2
Minh họa: 
x 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 32 +−= xxyC
y=x3-3x+2 
y=x3-3x+2 
yy
x
 Dạng 3: Từ đồ thị )(:)()(:)( 3 xfyCxfyC =→= 
Cách giải 
 B1. Ta có : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎢⎣
⎡
−=
=
≥
⇔=
(2) 
(1) 
)(
)(
0)(
)(:)( 3
xfy
xfy
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C3) 
 Minh họa: 
 56
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
y=x3-3x+2 
x
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=-(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 33 +−= xxyC
x
y
y=x3-3x+2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho hàm số : (1) xxy 33 +−=
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
 xxya 3) 3 +−= b) xxy 33 +−= c) xxy 33 +−= 
Bài 2: Cho hàm số : 
1
1
−
+=
x
xy (1) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
1
1) −
+=
x
xya b) 
1
1
−
+=
x
x
y c) 
1
1
−
+=
x
xy d) 
1
1
−
+=
x
x
y e) 
1
1
−
+=
x
xy 
2.BÀI TOÁN 2 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 
 Bài toán tổng quát: 
 Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1
2
(C ) : y f(x)
(C ) : y g(x)
=⎧⎨ =⎩
x
y y y
x x
OOO
)( 1C
)( 2C
)( 1C
)( 2C
1x 2x
1M 2M2y
1y 0M
)( 2C
)( 1C 
 (C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau 
 Phương pháp chung: 
 * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: 
 f(x) = g(x) (1) 
 * Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1) 
 chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). 
 57
 Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). 
Chú ý 1 : 
 * (1) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có điểm điểm chung 
 * (1) có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung 
Chú ý 2 : 
 * Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). 
 Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0). 
x
y
0y
0x O
Áp dụng: 
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 
1
12
+
−=
x
xy và đường thẳng 13:)( −−= xyd 
Minh họa: 
f(x)=(2*x-1)/(x+1)
f(x)=-3*x-1
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=2
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
1
12:)( +
−=
x
xyC
13:)( −−= xyd
` 
b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số : 
 Định lý : 
 (C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ hệ : có nghiệm ' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)
=⎧⎪⎨ =⎪⎩
M
O Δ
)( 1C
)( 2C
y
x
Áp dụng: 
Ví dụ: Cho và 13:)( 2 −−= xxyP
1
32:)(
2
−
−+−=
x
xxyC . Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau 
Minh họa: 
 58
f(x)=x^2-3*x-1
f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
)(C )(P
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho hàm số (1) 2( 1)( )y x x mx m= − + +
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 
Bài 2: Cho hàm số (C) 3 22 3y x x= − −1
 Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt 
 (C) tại ba điểm phân biệt. 
Bài 3: Cho hàm số (C) 233 +−= xxy
 Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d) 
 cắt (C) tại ba điểm phân biệt. 
Bài 4 : Cho hàm số (1) 4 2 1y x mx m= − + −
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
Bài 5: Cho hàm số 
2 2 4
2
x xy
x
− += − (1) 
 Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt 
Bài 6: Cho hàm số 
1
12
+
−−=
x
xxy (1) 
 Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt 
Bài 7: Cho hàm số 
2 4 1
2
x xy
x
+ += + 
Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt 
thuộc cùng một nhánh của đồ thị. 
Bài 8: Cho hàm số 
2
1
mx x my
x
+ += − (1) 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ 
 dương . 
Bài 9: Cho hàm số 
2 1
1
x mxy
x
+ −= − (1) 
 Định m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA OB⊥ . 
Bài 10: Tìm m để tiệm cận xiên của hàm số 
2 1
1
x mxy
x
+ −= − cắt các trục toạ độ tại hai điểm A,B sao cho 
 diện tích tam giác OAB bằng 8. 
Bài 11: Cho hàm số 
2 3
1
xy
x
+= + 
 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 2
5
) sao cho (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm 
 phân A,B và M là trung điểm của AB. 
Bài 12: Cho hàm số 
)1(2
332
−
−+−=
x
xxy (1) 
 Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1 
Bài 13: Cho hàm số 2( 1)( )y x x mx m= − + + (1) 
 Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành. Xác định tọa độ tiếp điểm trong mỗi trường 
 hợp tìm được 
 59
Bài 14: Cho hàm số 
1
12
−
+−=
x
xxy . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) và tiếp xúc với đồ thị 
 hàm số 
Bài 15: Cho hàm số 
2
632
−
+−=
x
xxy (C) 
 Tìm trên (C) tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm )1;
2
1(I 
Bài 16: Cho hàm số 
1
222
−
+−=
x
xxy (C) và hai đường thẳng 3:)(&:)( 21 +=+−= xydmxyd 
 Tìm tất cả các giá trị của m để (C) cắt (d1) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua (d2) 
Bài 17: Cho hàm số 
x
xy 4+= (1) 
 Chứng minh rằng đường thẳng mxyd += 3:)( luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là 
 trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng 32:)( +=Δ xy 
 60
3.BÀI TOÁN 3: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG 
 a. Dạng 1: 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm 0 0 0M (x ;y ) (C)∈
 (C): y=f(x) 
0x
x
0y
y
0M Δ
 Phương pháp: 
 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng: 
 61
 y - y0 = k ( x - x0 ) 
 Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm 
 y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0) 
 k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0) 
Áp dụng: 
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn của nó 333 +−= xxy
`b. Dạng 2: 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước 
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau 
 Bước 1: Gọi 0 0( ; ) ( )M x y C∈ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
 Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : ' 0( )f x k= , từ đó suy ra =? 0 0( )y f x=
 Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. 
(C): y=f(x) 
0x
x
0y
y
0M Δ
Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, 
tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước . 
(C): y=f(x) 
Δ
x
y
ak /1−=
O
baxy +=Δ :2
(C): y=f(x) 
x
y
ak =
baxy +=
1Δ
2Δ
Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: 
 Định lý 1: Nếu đường thẳng ( ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (Δ Δ ) là: 
 k aΔ = 
 62
 Định lý 2: Nếu đường thẳng ( ) đi qua hai điểm Δ B A( ; ) và B(x ; ) với x xA A B BA x y y ≠ thì hệ số 
 góc của ( ) là : Δ
B A
B A
y y
k
x xΔ
−= − 
 Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( )1 2 và ( )Δ . Khi đó: Δ
1 2
1 2
1 2
1 2
// k k
 k .k 1
Δ Δ
Δ Δ
Δ Δ ⇔ =
Δ ⊥ Δ ⇔ = − 
Áp dụng: 
Ví dụ1: Cho đường cong (C): 3 21 1 2
3 2
y x x x= + − − 4
3
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2. 
Ví dụ 2: Cho đường cong (C): 
1
32
+
+=
x
xy 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng xy 3:)( −=Δ 
c. Dạng 3: 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA) 
 y
x
AAAA yxxkyxxkyy +−=⇔−=−Δ )()(:
O
);( AA yxA
)(:)( xfyC =
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau 
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (Δ ) qua A và có hệ số 
 góc là k bởi công thức: 
 ( ) ( )A A Ay y k x x y k x x y− = − ⇔ = − + A (*) 
 Bước 2: Định k để ( ) tiếp xúc với (C). Ta có: Δ
 A'
f(x)=k(x-x )
 tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f ( )
Ay
x k
+⎧⎪Δ ⇔ ⎨ =⎪⎩
 Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm. 
Áp dụng: 
Ví dụ1: Cho đường cong (C): 43 23 ++= xxy
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) 
Ví dụ 2: Cho đường cong (C): 2 5
2
xy
x
−= − 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0). 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số Δ xxxy 32
3
1 23 +−= tại điểm uốn và 
 chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Δ
Bài 2: Cho đường cong (C): 
2
12
+
−+=
x
xxy 
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2:)( −=Δ xy 
Bài 3: Cho hàm số 
1
632
+
++=
x
xxy (C) 
 Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng xyd
3
1:)( = 
Bài 4: Cho đường cong (C): 
2 1
1
x xy
x
+ += + 
 Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). 
Bài 5: Cho hàm số 
1
12
−
−+=
x
xxy (C) 
 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị (C) vuông góc với đường 
 thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). 
Bài 6: Cho hàm số 
3
1
23
1 23 ++= xmxy (Cm) 
 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song 
 song với đường thẳng 5x-y=0 
Bài 7: Cho đường cong (C): 23 23 +−= xxy
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7) 
 63
4.BÀI TOÁN 4: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 
Cơ sở của phương pháp: 
 Xét phương trình f(x) = g(x) (1) 
 Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C1):y=f(x) và (C2):y=g(x) 
 64
Dạng 1 : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = m (*) 
 Phương pháp: 
 Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 
 ( ) : ( ) : (C) là đồ thị cố định 
 ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox 
 và cắt Oy tại M(0;m)
C y f x
y m
• =
• Δ = Δ
 Bước 2: Vẽ (C) và ( ) lên cùng một hệ trục tọa độ Δ
 Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (Δ ) và (C) 
 Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*) 
 Minh họa: 
y
x
0x
)( 1C
)( 2C
y
x
)(:)( xfyC =
);0( m
1m
2m
mΔ
O
 y =
Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = g(m) (* *) 
Phương pháp: Đặt k=g(m) 
 Bước 1: Xem (**) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 
 ( ) : ( ) : (C) là đồ thị cố định 
 ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox 
 và cắt Oy tại M(0;k)
C y f x
y k
• =
• Δ = Δ
 Bước 2: Vẽ (C) và ( ) lên cùng một hệ trục tọa độ Δ
 Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của (Δ ) và (C) . Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m 
 Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**). 
Minh họa: 
 65
x
y
Δ ky =
);0( k
K
1M
O
2K
Áp dụng: 
Ví dụ: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 41292 23 −+−= xxxy
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 041292 23 =−−+− mxxx
 3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: mxxx =+− 1292 23 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình : 
 a.
2
1
x m
x
=− b. 
2
1
x m
x
=− 
Bài 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 
 3 2 3 23 3x x k k− + + − = 0
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
 3 3 2x mx− + = 0
Bài 4 :Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 
 22 4 3 2 1x x m x− − + − = 0 
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 
 3 2 23 2 logx x m− + − − = 0 
Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
3
22 3
3
x
x xe e e m− + = 
Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 
2 21 1 1 19 ( 2).3 2 1t ta a+ − + −− + + + = 0 
5. BÀI TOÁN 5: HỌ ĐƯỜNG CONG 
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: 
Cho họ đường cong ( m là tham số ) ),(:)( mxfyCm =
Biện luận theo m số đường cong của họ đi qua điểm cho trước. )( mC );( 000 yxM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 
Ta có : 
 Họ đường cong đi qua điểm );( 000 yxM ⇔ ),( 00 mxfy = (1) )( mC
Xem (1) là phương trình theo ẩn m. 
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0
Cụ thể: 
• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M0 
• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M0 
• Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0 
 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong )( mC
Áp dụng: 
Ví dụ: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số mx
mmxy +−++−=
2
1 . Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm 
 A(2;0) 
Ví dụ: Cho hàm số (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường 193 23 ++−= xmxxy
 thẳng y=x+1 
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: 
Cho họ đường cong ( m là tham số ) ),(:)( mxfyCm =
Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Bước 1: Gọi là điểm cố định (nếu có) mà họ (C);( 000 yxM m) đi qua. Khi đó phương trình: 
 nghiệm đúng ),( 00 mxfy = ∀m (1) 
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau: 
 Dạng 1: 0=+ BAm m∀ 
 Dạng 2: 02 =++ CBmAm m∀ 
 Áp dụng định lý: (2) 0=+ BAm ⎩⎨
⎧
=
=⇔∀
0
0
B
A
m
 66
 (3) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
⇔∀=++
0
0
0
02
C
B
A
mCBmAm 
 Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được );( 00 yx
6. BÀI TOÁN 6: TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
Bài 1: Cho hàm số 
2 3 6
2
x xy
x
+ += + 
 Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên . 
Bài 2: Cho hàm số 
2 2 2
1
x xy
x
+ += + 
 Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng 
 cách từ đó đến trục tung . 
Bài 3: Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+= + 
 Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất 
Bài 4: Cho hàm số 
2 2 2
1
x xy
x
+ −= − 
 Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là 
 nhỏ nhất 
Bài 5: Cho hàm số 
2 4 5
2
x xy
x
+ += + 
 Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng y+3x+6=0 là 
 nhỏ nhất. 
Bài 6: Cho hàm số 4 22 3 2 1y x x x= − + + 
 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d):y=2x-1 là nhỏ 
 nhất. 
Bài 7: Cho hàm số 1
1
y x
x
= + − (C) 
 Tìm hai điểm A,B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất 
Bài 8: Cho hàm số 
2 2
1
x xy
x
+ += − 
 Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm 5(0; )
2
I 
Bài 9: Cho hàm số 
2
1
xy
x
= − 
 Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x-1 
 67
7. BÀI TOÁN 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ ĐỐI XỨNG 
Bài 1: Cho hàm số 
1
12
−
+−=
x
xxy (C). Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng và xiên 
 làm tâm đối xứng. 
Bài 2: Cho hàm số 
2 22
1
2x m x my
x
+ += + (Cm) 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc 
 toạ độ 
Bài 3: Cho hàm số (C3 2 23 3( 1) 1y x mx m x m= − + − + − 2 m) 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc 
 tọa độ 
Bài 4: Cho hàm số 
2 4 5
2
x mx my
x
− += − (Cm) 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc 
 toạđộ 
----------------------------------Hết----------------------------------- 
 68