Chuyên đề Hình tứ diện, hình hộp

TRƯỜNG THPT THỐT NỐT
LỚP:11A1
cœd
NHÓM 8: THÁI KIM YẾN
PHẠM THỊ HOÀNG DUNG
NGUYỄN THỊ HÊN
PHẠM THỊ NGỌC DIỆU
HÌNH TỨ DIỆN- HÌNH HỘP
CAO HOÀNG TRỌNG
B
A
A
C
D
A'
B'
D'
C
D
B
C'
NỘI DUNG TÌM HIỂU :
Tứ diện đều
Tứ diện gần đều
Các loại hình hộp
Tứ diện nội tiếp hình hộp
Một số bài toán tổng hợp về tứ diện và hình hộp.
MỤC LỤC:
1. Tứ diện gần đều:
1.1 Khái niệm:.
A
Tứ diện ABCD được gọi là tứ diện gần đều nếu nó có các cạnh đối bằng nhau: AB=CD , AC=BD , BC=AD.[1]
D
C
B
Khái niệm đường cao của hình chóp: là đường thẳng vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp [1]
	1.1.1 Tính chất:
	Một tứ diện gần đều có:
1.1.1.1 Đường nối trung điểm của hai cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau 
1.1.1.2 Đường nối trung điểm của hai cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau 
Chứng minh :
Gọi M trung điểm ABN trung điểm CD⇒ C/m MN AB
Ta có ∆ ABC= ∆ BAD 
⇒ CM = DM 
⇒∆ MCD cân tại M 
Mà M trung điểm AB nên MN ⊥ CD 
Chứng minh tương tự ta có MN ⊥ AB và như vậy MN là đường vuông góc chung của hai cạnh đối diện AB và CD 
Các cặp cạnh còn lại tương tự
1.1.1.3 Ba đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện đôi một vuông góc với nhau
Chứng minh :
Theo câu b ta có MN⊥AB và MN⊥CD
Nhưng vì P và Q lần lượt là trung điểm của BC và AD nên AB,CD và PQ đồng phẳng 
⇒MN⊥ PQ
Các cặp còn lại tương tự
1.1.1.4 Trọng tâm G của tứ diện cách đều bốn đỉnh
1.1.1.5 Bốn đường cao của tứ diện bằng nhau
1.1.1.6 Diện tích bốn mặt của tứ diện bằng nhau
Bổ đề : cho tứ diện ABCD, nếu hai tam giác ACD và BCD có diện tich bằng nhau thì đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD phải đi qua trung điểm của AB
Ví dụ 1.1: Cho tứ diện vuông OABC, vuông tại O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, và CA. Chứng tỏ OMNP là một tứ diện gần đều. 
Hình 1.1
Giải(Hình 1.1)
Thật vậy:
	OM= AB2PN= AB2 nên OM=PN (1)
Tương tự: ON=PM và OP=MN (2). Từ (1),(2) suy ra OMNP là một tứ diện gần đều.
Ví dụ 1.2:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng tỏ ACB’D’ là một tứ diện gần đều
Hình 1.2
Giải(Hình 1.2)
 Hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nên AC= B’D’ 
Tương tự: CB’=AD’ và AB’=CD’ nên ACB’D’ là tứ diện gần đều 
2. Tứ diện đều:
2.1 Khái niệm:
Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau.
2.2 Tính chất:
2.2.1 Các mặt là các tam giác đềubằng nhau.
2.2.2 Các mặt bên nghiêng đều với đáy.
2.2.3 Chân đường cao hạ từ 1 đỉnh bất kỳ trùng với trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt đó.
2.2.4 Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp và tâm của tứ diện trùng nhau.
2.2.5 Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau.
2.2.6 Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bất kỳ là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
3.CÁC LOẠI HÌNH HỘP:
Hình lăng trụ là hình có hai mặt đáy song song và bằng nhau, các cạnh bên song song và bằng nhau. Ở đây, chúng ta lại liên hệ đến một dạng hình trong không gian nữa mà nó được tạo thành dựa trên cơ sở của hình lăng trụ (dạng đặc biệt của hình lăng trụ) đó là hình hộp.
3.1 Hình lăng trụ
3.1.1 Định nghĩa:[1]
 Hình lăng trụ A1A2...An . B1B2...Bn là hình bình hành được lập từ hai đa giác A1A2...An, B1B2...Bn bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau sao cho các cạnh A1A2, A2A3,...,AnA1 tương ứng song song và bằng các cạnh B1B2, B2B3, ...,BnB1
3.1.2 Tính chất :
Mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành [1]
An
Bn
B3
B2
B1
A3
A2
A1
3.1.3 Hình lăng trụ đứng:
	Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy [1]
Hình 3.2.2.1
3.2 Hình hộp
3.2.1 Định nghĩa:[1]
 Ta xét trường hợp các mặt đáy của hình lăng trụ là hình bình hành. Lúc này tất cả các mặt của hình lăng trụ đều là hình bình hành và hình lăng trụ được gọi là hình hộp. Vậy hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác trong đó có mặt đáy ABCD và A’B’C’D’ là các hình bình hành.
 Hình hộp có tất cả 6 mặt đều là các hình bình hành. Hai mặt của hình hộp song song với nhau được gọi là các mặt đối diện. Như vậy 6 mặt của hình hộp được chia làm 3 cặp mặt đối diện (trong đó có 1 cặp mặt đáy và 2 cặp mặt bên) 
 Hai đỉnh của hình hộp không cùng thuộc bất cứ một mặt nào của nó (thí dụ A và C’, B và D’, C và A’, D và B’) được gọi là các đỉnh đối diện.
D’
D
C
B
A
C’
B’
A’
Chú ý:
Hình hộp là trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ khi mà hai mặt đáy đều là các hình bình hành và chúng được chia làm ba cặp mặt đối diện. 
Mỗi cặp mặt đối diện đều gồm hai hình bình hành nằm trên hai măt phẳng song song và có cạnh tương ứng song song và bằng nhau nên thực ra chúng bình đẳng với nhau và có thể xem bất kì cặp mặt đối diện nào cũng là các mặt đáy và các mặt còn lại là mặt bên. Do đó không thể lam mất tính bình đẳng giữa các cặp mặt đối diện, ta thường không phân biệt mặt đáy với mặt bên và đều gọi chúng là các mặt của hình hộp. 
3.2.2 Các loại hình hộp
3.2.2.1 Hình hộp đứng:
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành [1]
A
D
A’
D’
B’
C
B
C’
3.2.2.2 Hình hộp chữ nhật:
 Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật [1]
A
D
A’
D’
B’
C
B
C’
3.2.2.3 Hình lập phương
 Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh đều bằng nhau [1]
A’
A
D
C
B
D’
C’
B’
3.2.3 Tính chất:
 Các đường thẳng nối hai đỉnh đối diện được goi là đường chéo của hình hộp. Hai đường chéo bất kì là hai đường chéo của một hình bình hành nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra tất cả 4 đường chéo của hình hộp đồng qui tại một điểm O là trung điểm của chúng. Điểm O được gọi là tâm của hình hộp.Tất cả đường chéo của hình hộp chữ nhật đều bằng nhau và cho bởi công thức:d2= a2+b2+c2 trong đó d là đường chéo và a,b,c là kích thước ba cạnh.
* Cách tính thể tích hình hộp:
O
D’’
D
C
B
A
C’’
B’’
A’
Thể tích hình hộp bằng tích của diện tích đáy với đường cao của nó.[4]
O
D’’
D
C
B
A
C’’
B’’
A’
3.2.4 Quy tắt hình hộp:
Chứng minh: Theo qui tắc hình bình hành, ta có 
Ví dụ 3.2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tâm O. Chứng minh:
B
A
A’
B’
D
C’
●
●
●
●
●
●
●
A●
C
O
D’
GIẢI
Hình 3.2
a) Vì ABCD là hình vuông nên 
Mà nên 
Do đó 
b) Ta có 
Vì Do đó 
c) Ta có AB=AD=AA’ và C’B=C’D=C’A’=AB nên A,C’ thuộc trục của tam giác A’BD.
Do đó 
Ví dụ 3. 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Chứng minh rằng AC//(A’B’C’D’)
Gọi I và J là 2 tâm của 2 hình vuông ABCD và A’B’BA. 
A
D
A’
D’
B’
C
B
C’
J
I
Chứng minh IJ//(A’B’CD)
Giải
Hình 3.3
Ta có AC//A’C’ mà đường thẳng A’C’ thuộc (A’B’C’D’) 
Nên AC//(A’B’C’D’)
b) Tam giác BDA’ có đường trung bình 
IJ//DA’ mà đường thẳng IJ không thuộc 
(A’B’CD)
Nên IJ//(A’B’CD)
4.TỨ DIỆN NỘI TIẾP HÌNH HỘP:
4.1 Định nghĩa :
Cho hình hộp ABCD A’B’C’D (h.1). Trong 8 đỉnh của nó chọn ra 4 đỉnh sao cho bất cứ 2 đỉnh nào dều không thuộc cùng 1 cạnh thì 4 đỉnh đó tạo thành 1 tứ diện gọi là tứ diện nội tiếp hình hộp.[1]
 Ta có 2 tứ diện nội tiếp,đó là ACB’D’ và BDA’C’.
 Có thể thấy :
+ Cạnh của tứ diện nội tiếp là đường chéo của mặt bên của hình hộp.
+ Tâm của hình hộp là trọng tâm của tứ diện nội tiếp.
 + Vhình hộp=3Vtứ diện nội tiếp nó.
Định lí 1 : mỗi tứ diện luôn luôn có 1 và chỉ 1 hình hộp ngoại tiếp.[1]
Cm : giả sử ta có hình tứ diện A1A2A3A4 với trọng tâm G (h.2). Ta gọi Bi là đối xứng với điểm Ai qua điểm G. khi đó ta thấy A1B2A3B4.B3A4B1A2 là hình hộp và tứ diện A1A2A3A4 nội tiếp hình hộp.
B’
C
B
C’
D’
A’
D
A
I’
I
Cách vẽ:
Qua mỗi cạnh của ABCD ta dựng một mặt phẳng song song với cạnh đối diện. Khi đó sáu mặt phẳng vừa dựng sẽ cắt nhau tạo thành một hình hộp cần tìm có sáu mặt bên nằm trên sáu mặt phẳng nói trên.
Cách khác: qua trung điểm I của AB ta dựng đoạn thẳng C’D’ bằng đoạn CD sao cho C’D’//CD và I là trung điểm của C’D’. 
 Qua trung điểm I’ của CD ta đựng đoạn A’B’ bằng đoạn AB sao cho A’B’//AB và I’ là trung điểm của A’B’. Khi đó AC’BD’.A’CB’D là hình hộp cần dựng.
Định lí 2 : tổng bình phương diện tích tất cả các mặt của hình hộp bằng 2 lần tổng bình phương diện tích tất cả các mặt của hình tứ diện nội tiếp hình hộp đó.[1]
5. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỨ DIỆN VÀ HÌNH HỘP:
Ví dụ 5.2 : Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; AC = AD = 4cm ; AB= 3cm ; BC=5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới (BCD)
Giải :( Hình 5.2)Hình 5.2
Từ giả thiết suy ra ∆ABC vuông tại A, do đó AB vuông AC. Lại có AD vuông (ABC), suy ra AD vuông AB và AD vuông AC, nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi AE là đường cao của tam giác ABC ; AH là đường cao của tam giác ADE thì AH chính là khoảng cách cần tính.
Dễ dàng chứng minh được hệ thức :1AH2=1AD2+1AB2+1AC2. Thay AC=AD=4cm ; AB=3cm, suy ra AH=63417 cm.
Ví dụ 5.5 :Cho hình chóp S.ABC. Trên các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng :
	V(S.A'B'C')V(S.ABC)=SA'.SB'.SC'SA.SB.SC
 Hình 5.5
Giải (Hình 5.5)
 Kẻ các đường thẳng AH vuông (SBC)A'H' vuông (SBC) Ta có : A'H'AH=SA'SA
Ta lại có : SSB'C'SSBC= 12.SB'.SC'sinB'SC'12SB.SC.sinBSC = SB'.SC'SB.SC
Vậy : V(S.A'B'C')V(S.ABC) = V(A'.SB'C')V(A.SBC) = 13.A'H'.SSB'C'13.AH.SSBC =SA'.SB'.SC'SA.SB.SC
Chú ý : công thức trên có thể dùng để so sánh thể tích hai hình chóp tam giác có chung đỉnh và chung cạnh bên.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
	[1] Đoàn Quỳnh, Tài liệu chuyên toán Hình Học 11,Nhà xuất bản giáo dục.
	[2] Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11, Bộ giáo dục và đào tạo.
	[3] Sách giáo viên Hình học nâng cao 12, Bộ giáo dục và đào tạo.
	[4] Sách giáo khoa Hình học nâng cao 12, Bộ giáo dục và đào tạo.