Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên

g chẵn. Từ các nhận xét trên ta có:
ìk + y = 6
î
ík - y = 2
Do đó: y = 2
Thay vào (2):
x2 - 2x - 15 = 0
Þ x1 = 5, x2 = -3
Ta có bốn nghiệm: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; -2), (-3 ; 2)
Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
x2 + 2 y2 + 3xy - x - y + 3 = 0
(1)
Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
x2 + (3y - 1)x + (2 y2 - y + 3) = 0
□= (3y - 1)2 - 4(2 y2 - y + 3) = y2 - 2 y - 11

(2)
Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là □ là số chính phương
Û y2 - 2 y - 11 = k 2 (k Î □ )	(3) Giải (3) với nghiệm nguyên ta được y1 = 5, y2 = -3
Với y = 5 thay vào (2) được
x2 + 14x + 48 = 0 . Ta có: x = -8, x = -6
Với y = -3 thay vào (2) được
1	2
x2 - 10x + 24 = 0 . Ta có x = 6, x = 4
3	4
Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TRỞ LÊN CÓ HAI ẨN:
Ví dụ 5: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = y2
(1)
Nếu y thỏa mãn phương trình thì – y cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử (1) Û ( x2 + 3x)( x2 + 3x + 2) = y2
y ³ 0
Đặt
x2 + 3x + 2 + 1 = a , ta được:
(a - 1)(a + 1) = y2 Û a2 - 1 = y2
Û (a + y)(a - y) = 1
Suy ra a + y = a – y, do đó y = 0
Thay vào (1) được:
x1 = 0; x2 = -1; x3 = -2; x4 = -3
Đáp số: (0 ; 0), (-1 ; 0), (-2 ; 0), (-3 ; 0)
Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
x3 - y3 = xy + 8
(1)
Cách 1: | x - y | . | x2 + xy + y2 |=| xy + 8 |
Dễ thấy x ¹ y , vì nếu x = y thì (1) trở thành 0 = x2 + 8 , loại. Do x, y nguyên nên | x - y |³ 1
Suy ra: | x2 + xy + y2 |£| xy + 8 |
Do đó: x2 + xy + y2 £| xy + 8 | Xét hai trường hợp:
(2)
xy + 8 < 0. Khi đó (2) trở thành:
x2 + xy + y2 £ - xy - 8 Û ( x + y)2 £ -8 , loại
xy + 8 ³ 0 . Khi đó (2) trở thành:
x2 + xy + y2 £ xy + 8 Û x2 + y2 £ 8
(3)
Do đó:
x2, y2 Î{0;1; 4}
Nếu x = 0 thì từ (1) có Nếu y = 0 thì từ (1) có
y3 = -8 nên y = - 2
x3 = -8 nên x = 2
Nếu x, y khác 0 thì
ìï x2 = 1
x2, y2 Î{1; 4}. Do x ¹ y
ïì x2 = 4
nên chỉ có:
î
î
íï y2 = 4
hoặc
íï y2 = 1
Như vậy trong hai số x và y có một số chẵn, một số lẻ. Khi đó vế trái của (1) lẻ còn vế phải của (1) chẵn, không xảy ra.
Đáp số: (0 ; -2), (2 ; 0)
Cách 2:
x3 - y3 - xy = 8
(1)
Û 27x3 - 27 y3 - 27xy = 216
Û 27x3 - 27 y3 - 1 - 27xy = 215

Ta thấy 27x3 , -27 y3 , -1 là lập phương của 3x, - 3y, -1 còn 27xy là ba bần tích của ba số ấy. Áp dụng hằng đẳng thức:
3	3	3	(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
a + b + c
- 3abc = (a + b + c).
2
Với a = 3x, b = -3y, c = -1 , ta biến đổi (2) thành:
é(3x + 3y)2 + (1 - 3y)2 + (3x + 1)2 ù
(3x - 3y - 1). ê
2	ú = 215
ë	û
Đặt biểu thức trong dấu móc của (3) là A. Ta thấy A > 0 nên A và 3x - 3y - 1 là ước tự nhiên của 215. Phân tích ra thừa số nguyên tố: 215 = 5.43 nen 215 cò bốn ước tự nhiên: 1, 5, 43, 215.
Do 3x - 3y - 1 chi cho 3 dư 2 nên 3x - 3y - 1Î{5; 215}
Xét hai trường hợp:
ì3x - 3y - 1 = 5(4)
î
í A = 43(5)	và
ì3x - 3y - 1 = 215
î
í A = 1
Trường hợp 1: từ (4) suy ra x – y = 2. Thay y = x – 2 vào (5) được: [3x + 3( x - 2)]2 + [1 - 3( x - 2)]2 + (3x + 1)2 = 86
Rút gọn được: x(x – 2) = 0 Û x1 = 0, x2 = 2 Với x = 0 thì y = 2. Với x =2 thì y =0 Trường hợp 2: Từ A = 1 suy ra:
(3x + 3y)2 + (1 - 3y)2 + (3x + 1)2 = 2
Tổng của ba số chính phương bằng 2 nên có một số bằng 0, hai số bằng số 1. Số bằng 0 không thề là 1 – 3y hoặc 3x + 1, do đó 3x + 3y = 0. Nghiệm nguyên của hệ:
ì3x + 3y = 0
í
ï(1 - 3y)2 = 1	là x = y = 0, không thỏa mãn 3x – 3y – 1 = 215.
î
ï(3x + 1)2 = 1
Đáp số: (0 ; -0), (2 ; 0)
Cách 3:
x3 - y3 = xy + 8
Û ( x - y)3 + 3xy( x - y) = xy + 8
Đặt x – y = a, xy = b ta có:
a3 + 3ab = b + 8
Û a3 - 8 = -b(3a - 1) Suy ra: a3 - 8M3a - 1
Þ 27(a3 - 8)M3a - 1
Þ 27a3 - 1 - 215M3a - 1
Do 27a3 - 1M3a - 1 nên 215M3a - 1
Phân tích ra thứa số nguyên tố: 215 = 5.43 Do đó 3a - 1Î{±1; ±5; ±43; ±215}
Do 3a – 1 chia cho 3 dư 2 nên 3a - 1Î{-1;5; -43; 215} Ta có:
3a – 1
- 1
5
- 43
215
a
0
2
- 14
72
a3 - 8
b =
1 - 3a
- 8
0
- 64
- 1736
Chú ý rằng ( x - y)2 + 4xy ³ 0 nên a2 + 4b ³ 0 , do đó trong bốn trường hợp trên chỉ có a = 2;b = 0 . Ta được: x – y = 2; xy = 0
Đáp số: (0 ; -2) và (2 ; 0)
PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC CÓ BA ẨN TRỞ LÊN
Ví dụ 7: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 6x + 15 y + 10z = 3
Giải:
Ta thấy10zM3 nên zM3 . Đặt z = 3k ta được:
6x + 15 y + 10.3k = 3
Û 2x + 5 y + 10k = 1
Đưa về phương trình hai ẩn x, y với các hệ số tương ứng 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.
2x + 5 y = 1 - 10k
x = 1 - 10k - 5 y = -5k - 2 y + 1 - y
2	2
Đặt 1 - y
2
y = 1 - 2t
= t với t nguyên. Ta có:
x = -5k - 2(1 - 2t) + t = 5t - 5k - 2
z = 3k
Nghiệm của phương trình: (5t - 5k - 2;1 - 2t;3k ) với t, k là các số nguyên tùy ý.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
x2 + y2 + z2 = 1999
(1)
Giải:
Ta biết rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, còn số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1 và chia cho 8 dư 1.
Tổng
x2 + y2 + z2 là số lẻ nên trong ba số
x2; y2; z2 phải có: hoặc có một số lẻ, hai
số chẵn; hoặc cả ba số lẻ.
Trường hợp trong ba số x2; y2; z2 có một số lẻ, hai số chẵn thì vế trái của (1) chia
cho 4 dư 1, còn vế phải là 1999chia cho 4 dư 3, loại.
Trong trường hợp ba số x2; y2; z2 đều lẻ thì vế trái của (1) chia cho 8 dư 3, còn vế
phải là 1999 chia cho 8 dư 7, loại.
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên.
PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC
Ví dụ 9: Tìm các nghei65m nguyên dương của phương trình:
Giải:
1 + 1 +
x	y
1 = 1
6xy	6
Nhân hai vế của phương trình với 6xy:
6 y + 6x + 1 = xy
Đưa về phương trình ước số:
x( y - 6) - 6( y - 6) = 37
Û ( x - 6)( y - 6) = 37
Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử Chỉ có một trường hợp:
ì x - 6 = 37 Û ì x = 43

x ³ y ³ 1 , thế thì

x - 6 ³ y - 6 ³ -5 .
í y - 6 = 1	í y = 7
î	î
Đáp số: (43 ; 7), (7 ; 43)
Ví dụ 10: Tìm các số nguyên x sao cho Giải:

x - 17
x - 9

là bình phương của một phân số
Giải sử
x - 17
x - 9
æ a ö2
b
= ç	÷
è	ø
với a Î □ , b Î□ * .
Xét a = 0 thì x = 17
Xét a ¹ 0 . Không mất tính tổng quát, giả sử (a, b) = 1. Do (a2, b2 ) = 1 nên:
x - 17 = a2k x - 9 = b2k 
Từ (1) và (2) suy ra:
(1)
k nguyên
( x - 9) - ( x - 17) = (b2 - a2 )k
8 = (b + a)(b - a)k
Ta thấy b + a và b – a là ước của 8. Chú ý rằng (b + a) – (b – a) = 2a nên b + a và b
– a cùng tính chẵn lẻ. Ta lại có b + a > b – a và b + a > 0. Có các trường hợp:
b + a
b – a
k
b
a
x = b2k + 9
4
2
1
3
1
18
4
- 2
- 1
1
3
8
2
- 2
- 2
0, loại
2
- 4
- 1
1, loại
Có ba đáp số:
x = 17 thì 17 - 17 = 0 = 02
17 - 9	8
18 - 17	1
æ 1 ö2
x = 18 thì
18 - 9
=	= ç ÷
9	3
è ø
x = 8 thì
8 - 17 = 9 = 32
8 - 9
PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MŨ
Ví dụ 11: Tìm các số tự nhiên x và các số nguyên y sao cho: 2x + 3 = y2
Giải:
Lần lượt xét các giá trị tự nhiên của x:
Nếu x = 0 thì
y2 = 4 nên
y = ±2
Nếu x = 1 thì
y2 = 5 , không có nghiệm nguyên
Nếu x ³ 2 thì 2x M4 , do đó vế trái chia cho 4 dư 3, còn y lẻ nên vế phải chia cho 4
dư 1. Mâu thuẫn.
Kết luận: Nghiệm của phương trình là (0 ; 2), (0 ; - 2)
Ví dụ 12: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương:
Giải:
Xét hai trường hợp:
2x + 57 = y2
(1)
x lẻ. Đặt x = 2n + 1 (n Î□ ) . Ta có:
2x = 22n+1 = 2.4n = 2(3 + 1)n = 2(BS3 + 1) = BS3 + 2
Khi đó vế trái của (1) là số chia cho 3 dư 2, còn vế phải là số chính phương chia cho 3 không dư 2, loại.
x chẵn. Đặt x = 2n (n Î□ *) . Ta có:
y2 - 22n = 57
Û ( y + 2n )( y - 2n ) = 3.19
Ta thấy
y + 2n
> 0 nên
y - 2n
> 0 và
y + 2n >
y - 2n
Do đó có các trường hợp:
y + 2n
57
19
y - 2n
1
3
2n
28, loại
8
n
3
y
11
x = 2n
6
Ta có: 26 + 57 = 112
Kết luận: nghiệm của phương trình là (6 ; 11)
Ví dụ 13: Giải phương trình với nghiệm tự nhiên:
2x + 2y + 2z = 1024
Giải:
với x £ y £ z
Chia hai vế của (1) cho 2x ¹ 0 ta được:
1 + 2 y- x + 2z- x = 210- x

Do 210- x
> 1 nên 210- x
là bội của 2. Ta lại có z > x, vì nếu z = x thì x = y = z, khi đó
(2) trở thành 1 + 20 + 20 = BS 2 , loại. Do đó 2 y - x là bội của 2.
Suy ra 1 + 2 y- x
Thay vào (2):
là bội của 2. Do đó 2 y - x = 1, vậy y = x.
1 + 1 + 2z- x = 210- x
Û 2 + 2z- x = 210- x
Û 2(1 + 2z- x-1) = 210- x
Û 1 + 2z- x-1 = 29- x
Do 29- x
> 1 nên 29- x
là bội của 2. Do đó 2z - x-1 = 1 và 2 = 29- x . Từ đó x = 8; y =
9; z = 9.
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Ví dụ 14: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
Điều kiện:
y =
y =	+
x + 2 x - 1
x - 2 x - 1
x ³ 1
( x - 1) + 1 + 2 x - 1
( x - 1) + 1 - 2 x - 1
+
=|	x - 1 + 1 | + |
=	x - 1 + 1+ |
- 1 |
x - 1
x - 1 - 1 |
Xét hai trương hợp:
Với x = 1 thì y =2.
Với
x ³ 2 thì y =
x - 1 + 1 +
x - 1 - 1 = 2
x - 1
Do đó: y2 = 4( x - 1) . Do x ³ 2 nên có thể đặt x – 1 = t2 với t nguyên dương.
ì x = t2 + 1
î
Ta có: í y = 2t
Kếtt luận: nghiệm của phương trình là: (1 ; 2), ( t2 + 1 ; 2t) với t là số nguyên dương tùy ý.
x +	x +	x +	x
Ví dụ 15: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
= y
Giải: Ta có:

x ³ 0, y ³ 0
x +	x +	x
Bình phương hai vế rồi chuyển vế:
= y2 - x = k(k Î□ )
Bình phương hai vế rồi chuyển vế:
x +	x
= k 2 - x = m(m Î□ ) Bình phương hai vế:
x
x +	= m2
x
x
x
Ta biết rằng với x nguyên thì	hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Do
x
x +	= m2
x
nhiên.
(m Î□ ) nên
không là số vô tỉ. Do đó
là số nguyên và là số tự
x
Ta có:	x (
+ 1) = m2
x
Hai số tự nhiên liên tiếp	và 0:
x
= 0
+ 1 có tích là số chính phương nên số nhỏ bằng
Suy ra: x = 0; y = 0 thỏa mãn phương trình đã cho. Nghiệm của phương trình là (0 ; 0)
x
y
Ví dụ 16: Tìm các nghei65m nguyên của phương trình:
Giải:
+	= 1980
(1)
x
y
= 1980 -	(2)
Với điều kiện 0 £ x, y £ 1980 :
(2) Û x = 1980 + y - 2 1980 y
55 y
55 y
55 y
Û x = 1980 + y - 12
Do x, y nguyên nên 12
nguyên. Ta biết rằng với y nguyên thì
hoặc là
55 y
số nguyên hoặc là số vô tỉ. Do đó phương:
11.5.y = k 2 . Do đó: y = 11.5.a2 = 55a2
là số nguyên, tức là 55y là số chính
với a Î □
Tương tự: x = 55b2 Thay vào (1):
với b Î □
55
55
a	+ b 55 = 6
Û a + b = 6
Giả sử y £ x thì a £ b . Ta có:
a
b
x = 55a2
y = 55b2
0
6
0
1980
1
5
55
1375
2
4
220
880
3
3
495
495
Có 7 đáp số: (0 ; 1980), (1980 ; 0), (55 ; 1375), (1375 ; 55), (220 ; 880), (880 ; 220),
(495 ; 495)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN
Ví dụ 17: Tìm các nghiệm nguyên của hệ phương trình:
ì x + y + z = 3
î
í x3 + y3 + z3 = 3
Giải:
Ta có hằng đẳng thức:
( x + y + z)3 - ( x3 + y3 + z3) = 3( x + y)( y + z)(z + x) Nên : 27 - 3 = 3( x + y)( y + z)(z + x)
Û 8 = ( x + y)( y + z)( x + z)
Đặt x + y = c, y + z = a, z + x = b.
Ta có: abc = 8 Þ a, b, c Î{±1, ±2, ±4, ±8}
Giả sử x £ y £ z thì a ³ b ³ c .
Ta có: a + b + c = 2(x + y + z) = 6 nên a ³ 2
íbc = 4
Với a = 2 ta có ìb + c = 4
î
Suy ra: b = c = 2
Ta được: x = y = z = 1
íbc = 2
Với a = 4 ta có ìb + c = 2
î
Không có nghiệm nguyên.
íbc = 1
Với a = 8 ta có ìb + c = -2
î
Suy ra: b = c = - 1
Ta được: x = y = 4; z = - 5
Đáp số: (1 ; 1 ; 1), (4 ; 4 ; - 5), (4 ; - 5 ; 4), ( - 5 ; 4 ; 4)
PHƯƠNG TRÌNH PYTAGO
Ví dụ 19: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
x2 + y2 = z2
(1)
Trước hết ta giả sử x, y, z nguyên tố cùng nhau. Thật vậy nếu bộ ba số
xo , yo , zo
thỏa mãn (1) và có ƯCLN là d, giả sử là nghiệm của (1)
xo = dx1, yo = dy1, zo = dz1 thì ( x1; y1; z1) cũng
Với x, y, z nguyên tố cùng nhau thì chúng đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu
hai trong ba số ấy có ước chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho d.
Ta thấy x và y không thể cùng chẵn (vì chúng nguyên tố cùng nhau, không thể
cùng lẻ (vì nếu x và y cùng lẻ thì z chẵn, khi đó
x2 + y2 chia cho 4 dư 2, còn
z2 M4 ).
Như vậy trong hai số x và y có một số chẵn, một số lẻ.
Cách 1: Giả sử x lẻ, y chẵn thì z lẻ. Ta viết (1) dưới dạng:
x2 = (z + y)(z - y)
Ta có z + y và z – y là các số lẻ. Chúng nguyên tố cùng nhau. Thật vậy, giả sử
z + yMd , z - yMd
(d lẻ) thì:
(z + y) + (z – y) = 2zMd (z + y) - (z - y) = 2y Md
Do (2,d) = 1 nên zMd ; yMd
Do (y,z) = 1 nên d = 1. Vậy (z + y, z – y) = 1
Hai số nguyên dương z + y và z – y nguyên tố cùng nhau, có tích là số chính
phương x2 nên mỗi số z + y và z – y cũng là số chính phương.
Đặt
z + y = m2
z - y = n2
Với m, n là các số lẻ, nguyên tố cùng nhau, m > n. Ta được:
ì
ï x = mn
ï
í
ï y =
ï
m2 - n2
2
ï
=
ï	m2 + n2
z
î	2
Với m và n là các số lẻ, nguyên tố cùng nhau, m > n. Đảo lại, dễ thấy bộ ba số (x, y, z) nói trên thỏa mãn (1) Cách 2: Giả sử x chẵn, y lẻ thì z là số lẻ.
Ta có:
x2 = (z + y)(z - y)
æ x ö2
z + y z - y
z + y
2
Û ç	÷ =
è	ø
.	. Do z, y là các số lẻ nguyên tố cùng nhau nên	và 2	2	2
z - y
2
là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau (thật vậy, giả sử
z + y
2	Md ,
z - y
2	Md
ì z + y + z - y Md
thì ï	2	2
Þ ìzMd
Þ d = 1 )
ï
î
í z + y	z - y
Md
í yMd
îï	2	2
Hai số nguyên dương
æ x ö2
z + y
2
và z - y
2

nguyên tố cùng nhau có tích là số chính
2
phương ç	÷
è	ø
nên mỗi số là số chính phương.
Đặt
z + y = m2 ; 2
z - y = n2
2
(m, n Î □ ) thì:
z = m2 + n2 ; y = m2 - n2 .
Do y, z lẻ nên m, n chẵn lẻ khác nhau. Do (m2, n2 ) = 1 nên (m, n) = 1
Như vậy:
ì x = 2mn
í
ï y = m2 - n2
î
ïz = m2 + n2
Với m và n là các số nguyên tố cùng nhau, chẵn lẻ khác nhau, m > n.
Đảo lại, dễ thấy ba bộ số (x, y, z) nói trên thỏa mãn (1)
Ta gọi ba bộ số (x, y, z) nói trên là bộ ba số Pitago gốc. Nhân bộ ba số này với mọi số nguyên dương, ta được tất cả các bộ ba số Pitago, đó là tất cả các nghiệm
nguyên dương của phương trình
x2 + y2 = z2 .
PHƯƠNG TRÌNH PEL
Phương trình
x2 - Py2 = 1 với P là số nguyên dương không chính phương gọi là
phương trình Pel, mang tên nhà toán học Anh là Pel (Pell)
Thực ra nhà toán học Pháp Lagrăng, cùng thời với Pel, là người đầu tiên công bố lới giải đầy đủ của phương trình trên năm 1766.
Phương trình Pel có vô nghiệm nguyên. Ngoài nghiệm tầm thường
x = ±1; y = 0 ,
để tìm các nghiệm nguyên của phương trình, ta chỉ cần tìm nghiệm nguyên dương của nó.
Ta gọi ( x1, y1) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pel nếu nó là
nghiệm không tầm thường và x1 + y1
là số nhỏ nhất trong tập hợp:
P
P
{x + y	| x, y Î□ *, x2 - Py2 = 1}
Bảng sau cho ta các nghiệm nguyên dương nhỏ nhất ( x1, y1) của một số phương trình Pel:
P
x2 - Py2 = 1
x1
y1
2
x 2 - 2 y 2 = 1
x 2 - 3 y 2 = 1
x 2 - 5 y 2 = 1
x 2 - 6 y 2 = 1
x 2 - 7 y 2 = 1
x 2 - 8 y 2 = 1
x 2 - 10 y 2 = 1
x 2 - 11 y 2 = 1
x 2 - 12 y 2 = 1
x 2 - 13 y 2 = 1
3
2
3
2
1
5
9
4
6
5
2
7
4
3
8
3
1
10
19
6
11
10
3
12
7
2
13
649
180
Người ta chứng minh được rằng: nếu ( x1, y1) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất
P
của phương trình ( xk , yk )
của phương trình được xác định bởi:
xk + yk
= ( x1 + y1
) k với k = 1, 2, 3
P
Ví dụ 20: Cho phương trình:
x2 - 2 y2 = 1
(1)
Kiểm tra rằng: (3 ; 2) là một nghiệm của (1).
Khai triển (3 + 2 2 )k nghiệm của (1)
được a + b
2 (a, b Î□ ) . Chứng minh rằng (a, b) là
Bằng nhận xét ở câu b, hãy tìm thêm hai nghiệm nguyên dương khác của (1)
Giải
a) 32 - 2.22 = 1. Vậy (3, 2) là một nghiệm của (1) b) Ta có: (3 + 2 2 )(3 - 2 2 ) = 1
2
Þ (3 + 2 2 )k (3 - 2 2 )k = 1
Ta biết rằng nếu (3 + 2 2 )k = a + b
thì
(3 - 2 2 )k = a - b
2 . Do đó:
(a + b
2 )(a - b
2 ) = 1
Þ a2 - 2b2 = 1
Vậy (a, b) là nghiệm của (1)
c) Ta tính:
2
(3 + 2 2 )2 = 9 + 8 + 12 2 = 17 + 12
(3 + 2 2 )3 = (17 + 12 2 )(3 + 2 2 )
= 51 + 34 2 + 36 2 + 48
= 99 + 70 2
Vậy: (17; 12), (99; 70) cũng là nghiệm của (1).
Ví dụ 21: Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất rồi tìm thêm hai nghiệm nguyên dương khác của phương trình sau:
x2 - 15 y2 = 1
Giải
Kiểm tra ta được (4; 1) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất.
(4 +
(4 +
15)2 = 31 + 8 15
15)3 = 244 + 63 15
Hai nghiệm nguyên dương khác (31; 8) và (244; 63)
ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM NGUYÊN
Ví dụ 18: Tìm các số thực a để các nghiệm của phương trình sau đếu là số nguyên:
Giải:
x2 - ax + (a + 2) = 0
(1)
Gọi
x1, x2 là nghiệm nguyên của (1). Theo định lý Viete:
ì x1 + x2 = a
í x x = a + 2
Do đó:
î 1 2
x1x2 - ( x1 + x2 ) = 2
Û x1( x2 - 1) - ( x2 - 1) = 3
Û ( x1 - 1)( x2 - 2) = 3
x1 - 1 và hợp:
x2 - 2 là ước của 3. Giả sử
x1 ³ x2 thì
x1 - 1 ³
x2 - 2 . Ta có hai trường
í
a)	ì x1 - 1 = 3 Û ì x1 = 4
x
x
= 2
í
î
Khi đó a = 6
2 - 1 = 1	î 2
b) ì x1 - 1 = -1 Û ì x1 = 0
x
x
î 2
î 2
í	- 1 = -3	í	= -2
Khi đó a = - 2
Bài 1: Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên (x, y) thỏa mãn : y(x – 1) = x2 + 2.
Hướng dẫn:
Ta có y(x – 1) = x2
x2 + 2	3
+ 2 Þ y =	= x +1+

x -1 Vì x, y nguyên nên x – 1 là ước của 3
Vậy (x, y) = (4, 6) ; (2, 6) ; (-2, -2 ) ; (0, -2)
Bài 2: Tìm x, y Î□ thỏa mãn :
2x2 – 2xy = 5x – y – 19 .
Hướng dẫn:
(x, y) = (0, -19) ; (1, 16) ; (9, 8) và (-8, -11)
x -1
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = 0
Hướng dẫn:
Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = 0 Û x(y + 1)2 = 243y	(1)
Từ (1) với chú ý rằng (y + 1; y) = 1 ta suy ra (y + 1)2 là ước của 243. Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8)
Bài 4: Tìm nghiệm của phương trình: 2x – 3 = 65y
Hướng dẫn:
Ta chứng tỏ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. Giả sử phương trình 2x – 3
= 65y có nghiệm nguyên ta suy ra
2x ≡ 3 (mod 5) và 2x ≡ 3 (mod 13)
Từ 2x ≡ 3 (mod 5) suy ra x ≡ 3 (mod 4)	(1)
Từ 2x ≡ 3 (mod 13) ta suy ra x ≡ 4 (mod 12), trái với (1)
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau : a) 15x2 – 7y2 = 9
b) 29x2 – 28y2 = 2000
c) 1999x2 – 2000y2 = 2001 d) x2002 – 2000.y2001 = 2003 e) 19x2 – 84y2 = 198
Hướng dẫn:
Từ phương trình đã cho ta suy ra y chia hết cho 3. Đặt y = 3y1. Ta có 5x2 – 21y12 = 3 (1)
Từ (1) suy ra x chia hết cho 3. Đặt x = 3x1. Ta có
15x12 – 7y12 = 1 (2)
Từ (2) suy ra y12 ≡ -1 (mod 3), vô nghiệm
Từ phương trình đã cho ta suy ra x2 ≡ 5 (mod 7). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Từ phương trình đã cho ta suy ra x2 ≡ -1 (mod 4). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Từ phương trình đã cho ta suy ra x lẻ và x2002 ≡ 1 (mod 4)
Suy ra 2003 ≡ 1 (mod 4), vô lí. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Giả sử phương trình đã cho có nghiệm. Khi đó: y2 + 1 ≡ 0 (mod 19). Vì 19 là số nguyên tố có dạng 4k + 3 nên y2 + 1 ≡ 0 (mod 19) ta suy ra 19 \ 1, vô lí
Bài 6: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn : x < y < z và 5x + 2.5y + 5z = 4500.
Hướng dẫn:
Nếu z 5 thì 5x + 2.5y + 5z > 4500. Vậy x = 3, y = 4, z = 5.
Bài 7: Tìm các số tự nhiên x, y, x thỏa mãn: a) 2002x - 2001y = 1
b) 5x = 1 + 2 y
c) 5x + 1 = 2 y
d) 2x.3y = 1 + 5z
Hướng dẫn:
a) Ta có 2002x = 2001y +1 º 2(mod 4),

suy ra x = 1 và y = 1.
Nếu x chẵn thì 5x º 1(mod 3) suy ra 2y º 0(mod 3) : loại
Nếu x lẻ thì 5x º 5(mod 8) suy ra 2y º 4(mod 8) . Suy ra y = 2
Đáp số : (x; y) = (1; 2)
Nếu x lẻ thì 5x +1 chia hết cho 3 còn 2y không chia hết cho 3: loại
Nếu x chẵn thì 5x +1 º 2(mod 4)
Đáp số : (x; y) = (0; 1)
suy ra 2y º 2(mod 4) . Suy ra y = 1 và x = 0
Ta có 1+ 5z º 2(mod 4) suy ra 2x.3y º 2(mod 4) do đó x = 1. Khi đó ta có	2.3y = 1+ 5z
Nếu y = 0 thì z = 0. Nếu y = 1 thì z = 1.
Nếu y > 1 thì 2.3y º 0(mod 9) nên 5z º -1(mod 9) . Suy ra z chia hết cho 3 và z lẻ.
Vậy z có dạng z = 6k + 3(k Î □ ). Nhưng khi đó,
2.3y = 1+1252k +1 º 0(mod 7) : loại
Vậy phương trình có 2 nghiệm tự nhiên là: (1; 0; 0) và (1; 1; 1)
Bài 8: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: a) 1!+ 2!+ ... + x! = y2
b) x!+ y! = 10z + 9
Hướng dẫn:
Đây là bài toán liên quan đến chữ số tận cùng của một số chính phương.
Nếu mãn.
x ³ 4 thì 1!+2!++x! tận cùng bởi 3 và không có số nguyên dương y nào thỏa
Đáp số : x= y = 1 hoặc x = y = 3.
Nếu x, y > 1 thì x!+y! chia hết cho 2; loại
Nếu y = 1 thì x! = 10z + 8 º 8(mod10), suy ra
Đáp số : vô nghiệm .
Bài 9: Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn : xy + 1 = z
Hướng dẫn:
x £ 4.
Vì x, y nguyên tố nên x, y ≥ 2. Từ phương trình đã cho ta suy ra z ≥ 5 và z lẻ (do z nguyên tố). Vì z lẻ nên x chẵn hay x = 2. Khi đó, z = 1 + 2y.
Nếu y lẻ thì z chia hết cho 3 (loại). Vậy y = 2.
Đáp số : x = y = 2 và z = 5.
Bài 10: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (n, z) thỏa mãn phương trình : 2n + 122 = z2 – 32
Hướng dẫn:
Nếu n lẻ thì 2n ≡ -1 (mod 3). Từ phương trình đã cho ta suy ra z2 ≡ -1 (mod 3), loại. Nếu n chẵn thì n = 2m (m € N) và phương trình đã cho trở thành:
z 2 – 22m =153 hay (z – 2m)(z + 2m) = 153.
Cho z + 2m và z – 2m là các ước của 153 ta tìm được m = 2, z = 13.
Đáp số : n = 4, z = 13.
Bài 11: Tìm x, y nguyên thỏa mãn : x2y2 – x2 – 8y2 =2xy
Hướng dẫn:
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng: y2(x2 – 7) = (x + y)2.	(1)
Phương trình đã cho có nghiệm x = y = 0. Xét x, y ≠ 0. Từ (1) suy ra x2 – 7 là một số chính phương. Đặt x2 – 7 = a2, ta có
(x – a)(x + a) = 7 Từ đó tìm được x
Đáp số: (0, 0) ; (4, -1) ; (4, 2) ; (-4, 1) ; (-4, -2)
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
y
z
x + 2 3 =	+
Hướng dẫn:
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử

y ³ z. Từ phương trình đã cho ta suy ra
x + 2 3 = y + z + 2
yz. Suy ra
(x - y - z)2 + 4 3(x - y - z) = 4 yz -12.
Vì	3 là số vô tỉ nên từ (1) ta suy ra :
(1)
x – y – z = 4yz – 12 = 0 Þ yz = 3 Þ y = 3, z = 1 và x = y + z =4
Đáp số : phương trình có 2 nghiệm là (4; 3; 1) và (4; 1; 3)
Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau sao cho biểu thức :
A = 1 + 1 + 1 + 1
+ 1 + 1
nhận giá trị nguyên dương.
a	b	c	ab	bc	ca
Hướng dẫn:
Ta có A.abc = ab + bc + ca + a + b + c	(1)
Từ (1) ta CM được a, b, c cùng tính chẵn lẻ. Vì vau trò của a, b, c như nhau và a, b, c
đôi một khác nhau nên có thể giả thiết a < b < c.
Nếu a ³ 3 thì b ³ 5, c ³ 7 và A < 1, loại. Suy ra a = 1 hoặc a = 2
Nếu a = 1 thì b ³ 3, c ³ 5
do đó 1 < A < 3 suy ra A = 2. Thay a = 1, A = 2 ta được:
2(b + c) + 1 = bc hay (b – 2)(c – 2) =5. Từ đó ta được b = 3, c = 7. Trường hợp a = 2 xét tương tự.
Đáp số : (2; 4; 14), (1; 3; 7) và các hoán vị của 2 bộ số này
Bài 14: Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của hai số bất kì cộng với 1 chia hết cho số còn lại
Hướng dẫn:
Giả sử ba số đã cho là a ³ b ³ c ³ 1. Ta có
c	,
ab + 1
Suy ra
a	,
bc + 1
abc
b ac + 1
(ab + 1)(ac + 1)(bc + 1)
Þ ab + bc + ca + 1M abc
Þ ab + bc + ca + 1 = k.abc, k Î□ +.