Chuyên đề Vectơ – Hình học 10

Bài 1: Khái niệm về vectơ. Hai vectơ bằng nhau
Bài 1: Cho 2 vectơ cùng phương. Kết luận gì về 3 điểm A; B; C
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC.
Ta có đúng hay sai?
Các vectơ nào cùng hướng với ? Các vectơ nào ngược hướng với 
Các vectơ nào bằng nhau?
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên AB và điểm N trên CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng 
Bài 4: Cho tam giác ABC đều. Các đẳng thức sau đúng hay sai?
	a) 	b) 	c) 
Bài 5: Cho tam giác ABC. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB; BC; CA. Tìm trên hình vẽ các vectơ lần lượt bằng các vectơ ; và 
Bài 6: Cho tam giác ABC có D; E; F lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB. Tìm các vectơ bằng nhau và chứng minh
Bài 7: Cho điểm M và . Dựng điểm N sao cho
	a) 	b) cùng phương với và có độ dài bằng 
Bài 8: Cho hình vuông ABCD tâm O. Hãy liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác ) nhận đỉnh và tâm của hình vuông là điểm đầu và điểm cuối
Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh AD; BC. CMR 
Nếu và thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Nếuthì 
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D. Chứng tỏ rằng 
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng và 
Bài 12: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O
Tìm các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với 
Tìm các vectơ bằng vectơ 
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm các vectơ từ 5 điểm A; B; C; D; O
Bằng vectơ 
Có độ dài bằng 
Bài 14: Cho tam giác đều ABC. Đẳng thức sau đúng hay sai?
	a) 	b) 	c) 
Bài 15: Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD; DA. Chứng minh rằng 
	a) 	b) 
Bài 16: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi I là giao điểm của AM và BN; K là giao điểm của DM và CN. CMR ; 
Bài 17: Cho tam giác ABC. Gọi H; O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; B’ là điểm đối xứng với B qua O. CMR 
Bài 2: Tổng và hiệu hai vectơ
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M; N lần lượt là trung điểm của BC và AD
Tìm tổng của 2 vectơ và ; và ; và 
Chứng minh rằng 
Bài 2: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh rằng 
Bài 3: Cho 5 điểm A; B; C; D; E phân biệt. Tính tổng 
Bài 4: Cho tam giác ABC; các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC
Tìm hiệu ; ; ; 
Phân tích theo 2 vectơ 
Bài 5: Cho 4 điểm A; B; C; D. Chứng minh rằng 
Bài 6: Cho hai điểm A; B phân biệt. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
	a) 	b) 	c) 
Bài 7: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F tùy ý. Chứng minh rằng 
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là điểm tùy ý. CMR
	a) 	b) 
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng
	a) 	b) 
Bài 10: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F. CMR (bằng nhiều cách)
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Bài 11: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm , các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của AB; BC; CA. Chứng minh rằng 
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD tâm O. CMR 
	a) 	b) 	c)
Bài 13: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ; BCPQ; CARS. Chứng minh rằng 
Bài 14: Cho hình lục giác đều ABCDEF có tâm là O. CMR 
	a) 	b) 
	c) (Với M tùy ý)
Bài 15: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 16: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của AB: AC; BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta có: 
Bài 17: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A; B’ là điểm đối xứng với C qua B; C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kỳ ta có: 
Bài 18: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O; trực tâm H, vẽ đường kính AD.
Chứng minh rằng 
Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng 
Bài 19: CMR khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau
Bài 20: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đặt . Tính theo 
Bài 21: Cho tam giác ABC. Xác định điểm M sao cho 
Chuyên đề: Vectơ và các phép toán về vectơ
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ 
Hướng 1: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng; quy tắc hiệu
Bài 1: Cho 4 điểm A; B; C; D. Chứng minh rằng 
Bài 2: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F tùy ý. Chứng minh rằng 
Bài 3: Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F. CMR (bằng nhiều cách)
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Bài 4: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Hướng 2: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng; quy tắc hiệu kết hợp với tính chất hai vectơ bằng nhau trong hình bình hành, trong lục giác đều.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. CMR 
	a) 	b) 	c)
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là điểm tùy ý. CMR
	a) 	b) 
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng
	a) 	b) 
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm thỏa mãn . Chứng minh rằng
	a) 	b) 
Bài 5: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ; BCPQ; CARS. Chứng minh rằng 
Bài 6: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh rằng 
Bài 7: Cho hình lục giác đều ABCDEF có tâm là O. CMR 
	a) 	b) 
	c) (Với M tùy ý)
Hướng 3: Các bài toán sử dụng quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm
Bài 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm , các điểm M; N; P lần lượt là trung điểm của AB; BC; CA. Chứng minh rằng 
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của AB: AC; BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta có: 
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A; B’ là điểm đối xứng với C qua B; C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kỳ ta có: 
Bài 4: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến; D là trung điểm của AM. CMR
	a) 	b) (Với O tùy ý)
Bài 5: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. CMR (Với M bất kỳ)
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. CMR 
Bài 7: Gọi I; J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD. CMR 
Bài 8: CMR nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của ∆ ABC và ∆ A’B’C’ thì 
Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Gọi E; F là trung điểm của AB; CD và O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng
	a) 	b) 
	c) (Với M là điểm bất kỳ)
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB. CMR 
Bài 11: Cho 4 điểm A; B; C; D. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB; CD. CMR 
Bài 12: Cho 4 điểm A; B; C; D; I; F lần lượt là trung điểm của BC; CD. CMR 
Hướng 4: Các bài toán liên quan tới đường tròn; tính chất của đường tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O; trực tâm H, vẽ đường kính AD.
Chứng minh rằng 
Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng 
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.
Chứng minh rằng tứ giác HCDB là hình bình hành
Chứng minh ; ; 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR từ đó có kết luận gì về 3 điểm O; H; G
Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ 
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a; AC = 2a.Tính và 
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính và 
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và . Tính và 
Bài 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH. Tính ; và 
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính ; theo a.
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính 
	a) 	b) 	c) 
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a và O là giao điểm của hai đường chéo. Tính 
	a) 	b) 	c) 
Dạng 3: Tìm một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho 
Bài 2: Cho tam giác ABC. 
Tìm điểm I sao cho 
Tìm điểm O sao cho 
Tìm điểm K sao cho 
Tìm điểm M sao cho 
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho 
Bài 4: Cho tam giác ABC. 
Tìm điểm I sao cho 
Tìm điểm J sao cho 
Tìm điểm K sao cho 
Tìm điểm K sao cho 
Tìm điểm L sao cho 
Bài 5: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết 
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA.
Xác định điểm K sao cho 
Xác định điểm D sao cho 
Bài 7: Cho các điểm A; B; C; D; E. Xác định các điểm O; I; K sao cho
	a) 
	b) 
	c) 
Bài 8: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M; N sao cho
	a) 	b) 
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thỏa mãn 
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài 1: Cho 4 điểm O; A; B; C sao cho . Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho 
Phân tích theo hai vectơ 
Chứng minh ba điểm B; I; K thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho và J là điểm thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
Chứng minh ba điểm B; I; J thẳng hàng
Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho 
Chứng minh 
Tính vectơ theo 
Suy ra ba điểm A; I; S thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC. Đặt 
Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính theo 
Gọi Q và R là hai điểm định bởi . Tính theo 
Suy ra P; R; Q thẳng hàng
Bài 6: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I; J sao cho ; 
Chứng minh rằng M; N; J thẳng hàng (với M; N lần lượt là trung điểm của AB và BC
Chứng minh rằng J là trung điểm của BI
Bài 7: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Lấy các điểm I; J thỏa mãn ; . Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 8: Cho tam giác ABC. Lấy 3 điểm M; N; P thỏa mãn . Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P thẳng hàng
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm I; J thỏa mãn . Chứng minh I; J; O thẳng hàng (với O là giao điểm của AC và BD)
Bài 10: Cho tam giác ABC. Lấy điểm M; N; P sao cho . Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P thẳng hàng
Bài 11: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn . Chứng minh rằng 3 điểm M; B; C thẳng hàng
Bài 12: Cho tam giác ABC. Gọi M; N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB; AC sao cho và điểm P xác định bởi hệ thức ; K là trung điểm của MN
Chứng minh rằng 
Chứng minh ba điểm A; K; P thẳng hàng.
Bài 13: Cho tam giác ABC. Hai điểm M; N được xác định bởi các hệ thức ; . Chứng minh rằng MN // AC
Dạng 5: Biểu diễn một vectơ qua các vectơ không cùng phương.
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB và I là giao điểm của AD và EF Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ 
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho . Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ .
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ .
Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ 
Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG; K là điểm trên cạnh AB sao cho . Hãy phân tích theo 
Bài 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a.
Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ 
Tính độ dài theo a
Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích theo hai vectơ 
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB; N là điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vectơ theo 
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN
Phân tích theo hai vectơ 
Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P là trung điểm của BC; CA; AB. Tính các vectơ theo 
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của CD. Hãy phân tích theo hai vectơ 
Bài 12: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G. Hãy biểu diễn các vectơ theo các vectơ (Với M là trung điểm của BC)
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm của BO và G là trọng tâm của tam giác OCD) đặt . Hãy tính các vectơ theo 
Bài 14: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm, B1 là điểm đối xứng với B qua G, M là trung điểm của BC. Hãy biểu diễn các vectơ qua hai vectơ 
Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho và J thuộc BC kéo dài sao cho .
Tính theo hai vectơ . Từ đó biểu diễn theo 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo