Đề thi giao lưu học sinh giỏi lớp 7 cấp huyện năm học 2014 - 2015 môn: Toán

............
Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG 
Ngày thi: 30/3/2013
Bản hướng dẫn có 03 trang
Câu
Phương pháp-Kết quả
Điểm
Câu 1
( 4 điểm)
 1
(2điểm)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Vậy .
0.5
2
(2điểm)
+ Nếu hoặc thì 
0.5 đ
+ Nếu thì 
0.5đ
+ Nếu thì 
0.5
+ Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi hoặc .
0.5 đ
Câu 2
(4điểm)
1
(2.5điểm)
 Ta có 
1.0 đ
0.5 đ
0.5
Vậy là kết quả cần tìm.
0.5 đ
2
(2.5điểm)
+ Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là . Vì tổng số viên bi của ba bạn là 74 nên 
0.5 đ
+ Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 
0.5 đ
+ Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 
0.5
+ Từ đó ta có 
0.5đ
+ Suy ra 
0.5đ
Câu 3
(4điểm)
1
(2điểm)
+ Vì là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 
0.5
+Với 
suy ra 
0.5
+Với 
suy ra 
0.5
Vậy là hợp số.
0.5
2
(2điểm)
+ Vì là số có hai chữ số nên 
0.5đ
+ Mặt khác là số chính phương chẵn nên có thể nhận các giá trị: 36; 64; 100; 144; 196.
0.5đ
+ Với không là số chính phương
 là số chính phương
 không là số chính phương
 không là số chính phương
 không là số chính phương
0.5 đ
+ Vậy số cần tìm là .
0.5đ
Câu 4
(6 điểm)
1
(3điểm)
+ Xét hai tam giác AIB và BCE
Có AI=BC (gt)
 BE=BA( gt)
0.5
+ Góc là góc ngoài của tam giác ABH nên 
0.5
+ Ta có . Do đó .
+ Do đó 
0.5 đ
+ Do nên .
0.5 đ
+ Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có .
Do đó . 
0.5đ
KL: CE vuông góc với BI.
0.5đ
2
(3điểm)
+ Do tính chất của đường phân giác, ta có .
0.5 đ
+ Gọi F là trung điểm của MN. Ta có .
0.5 đ
+ Tam giác FDM cân tại F nên .
0.5 đ
 Suy ra (1)
0.5 đ
Ta có (2)
Do tam giác ABC cân tại A nên (3)
0.5 đ
Từ (1), (2), (3) suy ra hay tam giác DBF cân tại D. Do đó 
0.5 đ
Câu 5
(1 điểm)
Cho và
 . Tính .
(1 điểm)
+ Ta có:
0.5 đ
=S.
Do đó =0
0.5 đ
Điểm toàn bài
(20điểm) 
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng. 
ĐỀ ÔN HSG -1
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (3 điểm)
Thực hiện phép tính: 
 Tìm các giá trị của x và y thoả mãn: 
 Tìm các số a, b sao cho là bình phơng của số tự nhiên.
Bài 2: ( 2 điểm)
Tìm x,y,z biết: và x-2y+3z = -10
Cho bốn số a,b,c,d khác 0 và thoả mãn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0
Chứng minh rằng: 
Bài 3: ( 2 điểm)
Chứng minh rằng: 
Tìm x,y để C = -18- đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: ( 3 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc cạnh BC. 
 Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).
 1, Chứng minh: BH = AK
 2, Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao?
Hướng dẫn chấm 
Bài
Hướng dẫn giải
Điểm
1.1
Số bị chia = 4/11
Số chia = 1/11
Kết quả = 4
0,5
0,25
0,25
1.2
Vì |2x-27|2007 ≥ 0 "x và (3y+10)2008 ≥ 0 "y
Þ |2x-27|2007 = 0 và (3y+10)2008 = 0
x = 27/2 và y = -10/3
0,25
0,25
0,5
1.3
Vì 00≤≤99 và a,b Î N 
0,25
Þ 200700 ≤ ≤ 200799
Ta biết: 4472=119809
4492=201601
Þ 4472 < < 4492
Þ = 4482 Þ a = 0; b= 4
0,25
0,25
0,25
2.1
Đặt 
Tức là k=-2
x=-3; y=-4; z =- 5
0,25
0,5
0,25
2.2
Từ giả thiết suy ra b2 = ac; c2 = bd; Þ 
Ta có (1)
Lại có (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
0,25
0,25
0,25
0,25
3.1
Ta có: >;>;>  >; = 
0,5
0,5
3.2
Ta có C = -18 - () £ -18
Vì ³0; ³0 
Cmak=-18 x = 3 và y = -3
0,5
0,25
0,25
4.1
4.2
A
B
C
K
M
E
H
DABH = DCAK (g.c.g) (vì gócBAH=gócKCA(góc có cạnh tương ứng vuông góc); AB=AC; gócABH=góc KAC)
 Þ BH = AK 
DMAH = DMCK (c.g.c) (vì CK=AH (cmt); MC=MA(DAMC vuông cân); gócKCA=gócMAH (góc có cạnh tương ứng vuông góc); AB=AC; góc ABH=góc KAC))
 Þ MH = MK (1)
Þ góc AMH = góc CMK Þ góc HMK = 900 (2)
Từ (1) và (2) Þ D MHK vuông cân tại M.
0,5
1
1,5
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN VĨNH LỘC
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ,GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 11/04/2017
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm). 
a) Tính giá trị biểu thức A = +7,5
b) Rút gọn biểu thức: B = 
c) T×m ®a thøc M biÕt r»ng : .
 Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn .
Bài 2: (4,0 điểm). 
a) Tìm x : 
b) Tìm x, y, z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y +z = 11
c) Tìm x, biết : (Với n là số tự nhiên)
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm.
b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy – x – y = 2
Bài 4: (6,0 điểm).
 Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 600 ). Hai phân giác AD và CE của DABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. 
a) Tính 
b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm.
c) Chứng minh D IDE cân.
Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng là số vô tỉ.
.............. Hết.............
Giám thị xem thi không giải thích gì thêm!
 Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................
 Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN : TOÁN.
Nội dung
Điểm
Bài 1 (4,0đ)
.
Câu a: (1 điểm) 
A = +7,5
 = : + 
= : + 
 = + = + = 
Câu b: ( 1 điểm)
B= 
=
= = 
Câu c: (2 điểm)
=> 
Ta có 
Ta cã : 
Mµ => 
=> . VËy 
Vậy M = + -= - - = 
0.5 đ
0,5đ
0,5đ
0.5
0.5
0,5
0.25
0.5
0.25
2.
(1,0đ)
=
TH1: x+=
 x = - 
TH2: x+= - 
 x = - - = = - 
Vậy x= - ; x = - 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b.
(1,5đ)
Ta có : 2x = 3y suy ra hay 
 4y = 5z suy ra hay 
Vậy 
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
= = =
Suy ra x = 5, y =, z =
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25
c
1,5 điểm
( x +2)n+1 = ( x +2)n+11
( x +2)n+1 - ( x +2)n+11 =0
(x+2)n+1=0
TH 1: (x+2)n+1 = 0 suy ra x = -2
TH2: 1 - (x +2)10 = 0
 (x +2)10 = 1
 x + 2 = 1 suy ra x = -1
 x + 2 = -1 suy ra x = -3
Vậy x = -2; x=-1; x=-3
0.25
0.5
0.25
0.5
Bài 3
(4.0đ)
a
(2.0đ)
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0)
Theo bài ra ta có : x +y + z = 13
và 2x= 3y =4z = 2 SABC 
Suy ra 
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau
=
suy ra x = 6, y = 4 ; z = 3
KL:
0,25 đ
0,75 đ
0,75
0.25
b.
(2,0đ)
2xy – x – y = 2
 4xy - 2x -2y =4
2x(2y-1) - 2y + 1 = 5
(2y -1) ( 2x -1) =5
HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = 
( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ)
Vậy ( x,y) = 
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
Bài 4
(6.0đ)
1
(2.0đ)
a/ Ta có ABC = 600 suy ra BAC + BCA = 1200
AD là phân giác của BAC suy ra IAC = BAC
CE là phân giác của ACB suy ra ICA = BCA
Suy ra IAC + ICA = . 1200 = 600
Vây AIC = 1200 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
2
(2đ)
b/ Xét AHP và AHK có 
PAH = KAH ( AH là phân giác của BAC)
AH chung
PHA = KHA = 900
 Suy ra AHP =AHK (g-c-g) suy ra PH = KH ( 2 cạnh tương ứng). Vậy HK= 3cm
Vì AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có 
AK2 = AH2 + HK2 = 42 +32 = 25
Suy ra AK = 5 cm
0.5 đ
0,5 đ
0.5
0.25
0.25
c
(2.0đ)
Vì AIC = 1200 
Do đó AIE = DIC = 600
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE
Xét EAI và FAI có 
AE = AF
EAI = FAI
 AI chung
VậyEAI = FAI (c-g-c) 
suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1) 
AIE = AIF = 600 suy ra FIC = AIC - AIF = 600
Xét DIC và FIC có
DIC = FIC = 600
Cạnh IC chung
DIC = FCI 
Suy ra DIC = FIC( g-c-g)
Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I
0,25 đ
0,5 đ
0.25
0.5
0.25
0.25
Bài 5
(2,0đ)
Giả sử là số hữu tỷ
 = ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ; (a;b) = 1 )
 = 10 
Suy ra a2 = 10b2 
a 2 a2 4 10b2 4 b2 2 b 2
Vậy ( a;b) 1 
Nên là số vô tỷ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
Chú ý: Nếu HS làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
ĐỀ THI KSCL HSG TOAN 7. L1
Bµi 1.(4®iÓm) a) So s¸nh A = Víi B =
 b) TÝnh P = 
Bµi 2.(4,5®iÓm) T×m x biÕt: a) b) c) 
Bµi 3.(2,5®iÓm) T×m 3 sè x,y,z biÕt x:y:z = 2:3:5 vµ 
Bµi 4.(4®iÓm) a)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 
 b)T×m n Z sao cho 2n - 1 chia hÕt cho n - 4
Bµi 5 .(5®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC cã ®êng cao AH .Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC chøa B lÊy E sao cho gãc EAC = vµ AE=AC. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa C lÊy F sao cho gãc FAB = vµ FA = AB.
 a) Chøng minh EB=FC
 b) Gäi N lµ giao ®iÓm cña FE vµ AH . Chøng minh N lµ trung ®iÓm cña FE. 
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1,
(4đ)
a)
(2,0đ)
7A=
0,5
7A-A=
0,5
6A=
0,25
A=():6
0,25
VËy B>A
0,5
b)
(2đ)
0,5
0,5
0,5
0,5
 2
(4,5đ)
3)
(2,5®)
a)
(1,5đ)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
	X=3
0.25
 b)
(1,75đ)
Víi th× ta cã -2x-1-x+3=5
0.25
 -3x=3 x= -1(tháa m·n)
0.25
Víi th× ta cã 2x+1-x+3=5
0.25
 x=1(tháa m·n)
0.25
Víi th× ta cã 2x+1+x-3=5
0.25
 3x=7x=(lo¹i)
0.25
 VËy x=-1;x=1
0.25
C
(1,25®)
 Ta cã x-1>3 hoÆc x-1<-3
0,5
 T/h 1: x-1>3 x>4
0.25
 T/h2:x-1<-3x<-2
0.25
VËy x>4 hoÆc x<-2
0.25
0,5
Tõ vµ 
0,5
 ¸p dông d·y tØ sè b»ng nhau ta cã 
0,5
T×m ®îc x=4 vµ -4; y=6 vµ -6; z=10 vµ -10
0,5
(x=4;y=6;z =10) vµ (x =-4;y =-6;z =-10)
0,5
4
(4®)
a)
(2,5đ)
0,5
Min A =2010 khi (x+2009)(1-x)0
0,5
NghÜa lµ 
0,5
HoÆc kh«ng tháa m·n
0,5
VËy MinA =2010 khi -2009x1
0,5
b)
(1,5đ)
0,5
§Ó (2n-1) chia hÕt cho (n-4) th× (n-4) lµ íc cña 7 
0,5
(n-4)
0,5
5,
(5đ)
a)
(2®)
vÏ h×nh ®óng chÝnh x¸c, ghi GT-Kl:0,5®
xÐt vµcã:
AE=AC(gt)
0,5
AB=FA(gt)
0,5
(Cïng phô)
0,5
(C.G.C)EB=FC( 2 C¹nh t¬ng øng)
0,5
 b)
(2,5®)
c/m (C¹nh huyÒn – gãc nhän)
Gãc BAH =gãc KFA(cïng phôgãc FAH)
0,5
AH=FK(1)
0,25
c/m(c¹nh huyÒn – gãc nhän)
0,5
Gãc AEI=Gãc HAC ( cïng phô gãc HAE)
IE=AH(2)
0,25
Tõ (1)(2) IE=KF
0,25
(G.C.G) EN=FN
0,75
 - NÕu h×nh vÏ sai th× kh«ng chÊm ®iÓm bµi h×nh
 - NÕu häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1( 4điểm) a) Tính: A = 
 B = 
b) Tìm các giá trị của x để: 
Câu2( 2 điểm) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: .
Câu 3( 4điểm)
a) Tìm hai số nguyên dương x và y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210;12.
b) Vận tốc của máy bay,ô tô, tàu hoả lần lượt tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. 
 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ? 
Câu 4( 2 điểm)Biết .Chứng minh rằng :
Câu 5 (3,5điểm)Cho tam giác vuôngABC, cạnh huyền BC.Kẻ AH vuông góc với BC( H thuộc BC) a,Chứng minh rằng:
b,Biết BC = 15 cm, AC = 12cm. Tính AH
Câu6(4,5điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 900. Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở điểm E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
Đáp án:
Bài 1:
Câu1
Đáp án
Điểm
a
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Tìm các giá trị của x để: 
Nếu x = - 1 thì ta có vế phải bằng - 3 ; vế trái bằng 2( không thoả mãn)
0,25
Nếu x = - 3 vế trái bằng 2; vế phải bằng – 9( không thoả mãn)
0,25
Nếu – 3< x < - 1 ta có 
x + 3 – x- 1 = 3x; do đó x = 2/3( không thoả mãn)
0,5
Nếu x < -3 thì – x – 3 – x- 1 = 3x, do đó x = -4/5( không thoả mãn)
0,5
Nếu x > -1ta có x + 3 +x + 1 = 3x, do đó x = 4 ( thoả mãn)
Vây. x= 4
0,5
Câu 2
a + b + c = 0 suy ra a = - ( b + c)
vậy ab + bc + ca = -( b + c).b + bc – cb – c2 = -[ b2 + cb + c2 ]
0,5
=-[b2 + ½ cb + ½ cb + ¼ c2 + ¾ c2 ]
0,5
=-[ b(1/2 c + b) + ½ c(b + ½ c) + ¾ c2 ]
0,5
=- [(1/2 c + b) + ¾ c2 ] nhỏ hơn hoặcbằng 0; hay ab + bc + ac nhỏ hơn hoặc bằng 0.
0,5
Câu3 
a
( x + y).35 = ( x- y) .210 = 12xy
1
0,5
0,5
b
Gọi vận tốc của máy bay, ô tô, tàu hoả lần lượt là v1,v2,v3
thời gian tương ứng đi từ A đến B của 3 động cơ là t1,t2,t3.
0,5
Theo baì ta có 
0,5
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có 
0,5
Câu 4
Biết.C/m :
1
1
Câu 5 
Cho tam giác vuôngABC, cạnh huyền BC.Kẻ AH vuông góc với BC( H thuộc BC)a,Chứng minh rằng:
b,Biết BC = 15 cm, AC = 12cm. Tính AH
0,5
1
1
Tính AB = 9cm, từ đó suy ra AH = 7,2cm
1
Câu 6
G, KL
0,5
Vì góc B và góc HAC cùng phụ với góc BAH
Suy ra tam giác AEC cân tại C, do đó AC = CE
1,5
Tương tự cm được AB = BD
1,5
AB + AC = BD + EC = ED + BC
1
PHÒNG GD VÀ ĐT PHÙ YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU LỚP 7- NĂM HỌC 2010- 2011
 Môn: TOÁN
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
A = 
 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a1 < a2 < .. < a9 thì:
Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5, các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó.
Bài 4: Cho 2 biểu thức:
A = ; B = 
 a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên
 b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.
Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CE
a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE
c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK
d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm.
PHÒNG GD VÀ ĐT PHÙ YÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU LỚP 7- NĂM HỌC 2010- 2011
 Môn: TOÁN
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Bài
Cách giải
Điểm TP
Điểm toàn bài
1
A = 
= 
= 
= 
= 
= 
Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta được: A = 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
2,5
2
Ta có: 0 < a1 < a2 < .. < a9 nên suy ra:
a1 + a2 + a3 < 3a3 (1)
a4 + a5 + a6 < 3a6 (2)
a7 + a8 + a9 < 3a9 (3)
Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta được:
 a1 + a2 + .. + a9 < 3(a3 + a6 + a9)
Vì a1 + a2 + .. + a9 > 0 nên ta được: 
0,25
0,25
0,25
0,75
0,5
2
3
Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh đất A, B, C theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC.
Theo bài ra ta có:
 ; ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 24(m)
Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều rộng. Ta có:
 rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC
Hai hình chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều dài. Ta có:
 dB = (m) = dA
Do đó: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m2)
SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m2)
SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m2)
0,25
0,5
1
0,25
1
0,5
0,5
0,5
4,5
4
a) Ta có: A = = 
Với x Z thì x - 2 Z. 
Để A nguyên thì nguyên. x - 2 là ước của 1
Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1. Do đó: x = 3 hoặc x = 1
Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1
+) B = = 
Với x Z thì x - 3 Z. 
Để B nguyên thì nguyên. x - 3 là ước của 2
Ta có: x - 3 = 2 hoặc x - 3 = 1.
Do đó x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2
 Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2
b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
3
5
 ABC có AB = AC. 
 GT DB = CE (D tia đối của CB; E
 tia đối của BC)
 a) ADE cân
 b) MB = MC, chứng minh AM
 KL là tia phân giác góc DAE
 c) BH AD = H; CKAE = K
 chứng minh: BH = CK
 d) AMBHCK tại 1 điểm
 A
 H K 
 	 M
 D B C E
 O
Chứng minh:
a) ABC cân có AB = AC nên: 
 Suy ra: 
Xét ABD và ACE có: 
AB = AC (gt)
 (CM trên)
DB = CE (gt)
Do đó ABD = ACE (c - g - c) 
 AD = AE (2 cạnh tương ứng). Vậy ADE cân tại A.
b) Xét và có:
MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt)
AM: Cạnh chung
AD = AE (CM trên)
Do đó = (c - c - c)
 .
Vậy AM là tia phân giác của 
c) Vì ADE cân tại A (CM câu a)). Nên 
Xét và có: 
 (Do )
DB = CE (gt)
 = (Cạnh huyền- góc nhọn)
Do đó: BH = CK.
d) Gọi giao điểm của BH và CK là O. 
Xét và có:
OA: Cạnh chung
AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì = ))
 = (Cạnh huyền- Cạnh góc vuông)
Do đó nên AO là tia phân giác của hay AO là tia phân giác của .
Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của .
Do đó AO AM, suy ra 3 đường thẳng AM; BH; CK cắt nhau tại O.
0,5
0,5
1
0,5
1
0,5
0,25
1
0,5
0,25
1
0,25
0,75
8
/
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
A = 
 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a1 < a2 < .. < a9 thì:
Bài
Cách giải
Điểm TP
Điểm toàn bài
1
A = 
= 
= 
= 
= 
= 
Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta được: A = 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
2,5
2
Ta có: 0 < a1 < a2 < .. < a9 nên suy ra:
a1 + a2 + a3 < 3a3 (1)
a4 + a5 + a6 < 3a6 (2)
a7 + a8 + a9 < 3a9 (3)
Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta được:
 a1 + a2 + .. + a9 < 3(a3 + a6 + a9)
Vì a1 + a2 + .. + a9 > 0 nên ta được: 
0,25
0,25
0,25
0,75
0,5
2
UBND huyÖn L¹c s¬n
Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
§Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn 
BËc THCS, n¨m häc 2010 - 2011
M«n To¸n - B¶ng A
(Thêi gian lµm bµi 150 phót)
Bài 1 ( 4,0 điểm): Cho biểu thức: 
 a.Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A.
 b.Tính giá trị của A khi x =
 c. Tìm xZ để AZ.
Bài 2( 5,0 điểm): Giải các phương trình sau
 a,
 b,
 c,
Bài 3(3,0 điểm): Cho hàm số y =
 a. Vẽ đồ thị hàm số trên.
 b. Dựa vào đồ thị hãy biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m 
 = m 
Bài 4(2,0 điểm): Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và một điểm M bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
 Bài 5( 5,0 điểm): Cho nửa đường tròn O đường kính AB=2R.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB với nửa đường tròn vẽ hai tia tiếp tuyến Ax,By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt hai tia Ax, By theo thứ tự ở C và D.
Tính góc 
Chứng minh không đổi.
Gọi N là giao điểm của CB và AD. Chứng minh: NM AB
Bài 6.( 1,0 điểm): Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 ...................... Hết.........................
Họ,tên thí sinh..................................SBD..........Trường......................................
Người coi thi số1.....................................Người coi thi số2..................................
UBND huyÖn L¹c s¬n
Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
§Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn 
BËc THCS, n¨m häc 2010 - 2011
M«n To¸n - B¶ng B
(Thêi gian lµm bµi 150 phót)
Bài 1 ( 4,0 điểm): Cho biểu thức: 
 a.Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A.
 b.Tính giá trị của A khi x=
Bài 2( 6,0 điểm): Giải các phương trình sau:
 a. 
 b.
 c.
Bài 3(3,0 điểm): Cho hàm số y = (2m-3)x -1(*)
 a. Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 5x + 3
 b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm A(-1;0) 
 c. Tìm m để đồ thị hàm số (*) và các đường thẳng y =1 và y =2x -5 cùng đi qua một điểm. 
Bài 4(2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và một điểm M bất kỳ nằm trong tam giác. Kẻ MP AB, ME BC, MNAC.Chứng minh rằng:
 MP + ME+ MN = 
 Bài 5( 5,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB với nửa đường tròn vẽ hai tia tiếp tuyến Ax,By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt hai tia Ax ,By theo thứ tự ở C và D.
a. Tính góc 
Chứng minh 
Gọi N là giao điểm của CB và AD. Chứng minh: MN // AC.
 ...................... Hết.........................
Họ,tên thí sinh..................................SBD..........Trường......................................
Người coi thi số1.....................................Người coi thi số2..................................
UBND huyÖn L¹c s¬n 
Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o 
híng dÉn chÊm HSG cÊp huyÖn 
n¨m häc 2010 - 2011 
bé M«n : To¸n - b¶ng B
Bµi
Néi dung
§iÓm
1
4đ
 a, Điều kiện: x
2,0đ
b, Ta có x =
A =
2,0đ
 2
6đ
 Giải các phương trình 
a. ĐK x
 (1,0điểm)
x = 3 Thoả mãn điều kiện. Vậy PT có một nghiệm x=3 (1,0điểm)
b, ĐK: x ( 0,5điểm)
 ( 0,5điểm)
 ( 0,5điểm)
thoả mãn điều kiện. Vậy hệ phương trình có một nghiệm x = 3.( 0,5điểm)
 c, ĐK .( 0,25điểm)
 (1,5điểm)
x = 6 tho¶ m·n §K. Vậy ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm x= 6.( 0,25điểm)
2,0đ
2,0đ
2đ
3
3đ
Cho hàm số y = (2m-3)x -1(*)
 ĐK để hàm số (*) là hàm số bậc nhất ( 0,5điểm)
Đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y =5x +3
 ( thoả mãn ĐK) ( 0,5điểm)
Đồ thị hàm số (*) đi qua A( -1 ;0) ( 0,5điểm)
 thay vào hàm sốTa được : 
 (2m-3).(-1) -1= 0( thoả mãn ĐK) ( 0,5điểm)
Hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng y =1 và y =2x -5 là nghiệm PT : Vậy giao điêm M (3 ;1) (0,5điểm)
Để ba đường thẳng cùng một điểm thì toạ độ của điểm M phải thoả mãn hàm số y = (2m-3)x -1 .Thay x =3, y =1 và (*) ta có :
(2m-3).3 -1 = 1( thoả mãn ĐK)
Vậy với m = thì ba đường thẳng y = (2m-3)x -1, y =1 và y =2x -5 
Cùng đi qua một điểm. (0,5điểm)
3đ
4
2đ
VÏ h×nh ghi GT & KL ®óng (0,5điểm) 
 KÎ trong tam gi¸c vu«ng ABH cã
 AH = BC.sin B = a.sin 60= (0,5điểm) 
 = =
 =
 =
 = .Kh«ng ®æi (1,0điểm)
2,0đ
5đ
VÏ h×nh ghi GT & KL ®óng ( 0,5đ)
Ta có OC, OD lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù:
Suy ra hay . ( 1,0điểm)
b . Xét có (cmt) và 
nên ta có hệ thức : ( 0,5điểm)
 mà AC = CM, MD = DB. ( 0,5điểm)
R không đổi nên tích AC. BD không đổi ( 0,5điểm)
c.Ta có AC // DB ( Vì cùng vuông góc với AB). Theo hệ quả định lí ta lét
 mà (1,0điểm)
 suy ra ( Địnhlí đảo ta lét) 
suy ra (1,0điểm)
 5đ
Ghi chú:
_Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải. Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối da theo từng câu, từng bài.
Đáp số còn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết từng bước lập luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống nhất trước khi chấm
Điểm toàm bài không làm tròn.
UBND huyÖn L¹c s¬n 
Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o 
híng dÉn chÊm HSG cÊp huyÖn 
n¨m häc 2010 - 2011 
bé M«n : To¸n - b¶ng A
Bµi
Néi dung
§iÓm
1
4đ
 a, Điều kiện: x
 ( 0,5điểm)
 ( 1,5điểm)
2,0đ
b, Ta có x == 
A =
1,0đ
 c, A=
A