Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm học 2009 - 2010 môn thi: Toán

UBND tỉnh bắc ninh 
 Sở giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2009 - 2010 
Môn thi: Toán 
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09 – 07 – 2009
Bài 1: (2,0 điểm) 
Giải các phương trình sau:
1/ 
2/ 
Bài 2: (2,5 điểm) 
Cho hàm số (x là biến số)
1/ Xác định a để hàm số luôn đồng biến.
2/ Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; 6). Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với a vừa tìm được.
3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
Bài 3: (2,5 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng các đường tròn (O) và (O’) có đường kính tương ứng là AB và AC, các đường tròn này cắt nhau tại A và D.
1/ Chứng minh rằng B, C, D thẳng hàng, từ đó suy ra hệ thức:
2/ Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ CD; AM cắt BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Chứng minh tam giác ABE cân.
3/ Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh: .
Bài 4: (2,0 điểm)
1/ Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số thỏa mãn: 
 và thì một trong ba số phải có một số bằng 2009. 
2/ Cho tam giác ABC, AD là phân giác trong của góc A. Chứng minh rằng:
 	 	AD2 = AB.AC – DB.DC. 
Bài 5: (1,0 điểm)
Có 9 chiếc bàn vừa màu xanh vừa màu đỏ xếp thành một hàng dọc cách đều nhau. Chứng minh rằng có ít nhất một chiếc bàn được xếp cách 2 bàn cùng màu với mình một khoảng cách như nhau.
--------------------- Hết --------------------
(Đề này gồm có 01 trang)
 Họ và tên thí sinh: ..Số báo danh: .....
Hướng dẫn chấm môn toán 
(Thi tuyển sinh vào THPT Chuyên năm học 2009 – 2010)
Câu
ý
Nội dung
Điểm
1
1/
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2/
 (*)
+ Với thì (*) (loại)
+ Với thì (*) (đúng với mọi x thỏa mãn )
+ Với thì (*) (t/m)
Vậy nghiệm của PT đã cho là: 
0.25đ
0.50đ
0.25đ
2
1/
Ta có 
Vậy hàm (C) luôn đồng biến khi: 
0,25đ
0.25đ
0.25đ
0,25đ
2/
+ Vì đồ thị đi qua điểm B(1; 6) nên ta có:
 . 
Vậy a = 2 thì đồ thị đi qua điểm B(1; 6)
+Với a = 2 thì 
0,25đ
0,25đ
Đồ thị được vẽ như sau:
x
y
O
3
9
2
0.25đ
3/
Ta có: 
 (*)
Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của đường thẳng y = 3x + m và đồ thị . Ta thấy y=3x+ m là đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 3. Dựa vào đồ thị hàm số đã vẽ ở ý 2/ ta có:
+ m < 3 thì PT vô nghiệm.
+ m = 3 thì PT có vô số nghiệm.
+ m > 3 thì PT có 2 nghiệm. 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3
1/
+ Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
B, C, D thẳng hàng.
+ Xét vuông tại A, đường cao AD. Ta có: 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2/
Ta có 
Mà (=1/2 sđ của (O’)).
 ()
Suy ra cân tại B.
0,25đ
0.25đ
0,25đ
0,25đ
3/
+ Vì AC là tiếp tuyến của (O) (cùng chắn )
Mà (cùng chắn hai cung bằng nhau của (O’))
N nằm trên đường trung trực của đoạn AD
Ta có vuông tại O’, có IO’= IN
Mà tứ giác AOIO’ nội tiếp
0,25đ
0,25đ
0.25đ
4
1/
Trên tia AD lấy điểm E sao cho .
Dễ thấy 
Mặt khác: Từ (1) và (2) suy ra: .
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0,25đ
2/
Từ giả thiết suy ra
+ Nếu a+b=0 thì từ a + b + c = 2009 ta có c = 2009
+ Tương tự khi b+c=0, c+a =0.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5/
+ Gọi tên theo thứ tự 9 chiếc bàn là B1,B2,B3, B4,B5,B6 B7,B8,B9. Giả sử không có bàn nào được xếp cách đều hai bàn cùng màu với mình (*).
+ Không mất tổng quát, giả sử B5 là bàn màu xanh, khi đó B4 và B6 không thể cùng màu xanh. Có hai khả năng:
- B4 và B6 cùng màu đỏ. Do đó B4 cách đều B2 và B6, còn B6 cách đều B4 và B8 nên B2 và B8 cùng màu xanh, suy ra B5 được xếp cách đều hai bàn cùng màu xanh là B2 và B8, trái với giả thiết (*).
- B4 và B6 khác màu, không mất tổng quát, giả sử B4 màu xanh còn B6 màu đỏ. Do B4 cách đều B3 và B5 nên B3 là bàn màu đỏ. Do B6 cách đều B3 và B9 nên B9 là bàn màu xanh. Do B5 cách đều B1 và B9 nên B1 màu đỏ. Do B2 cách đều B1 và B3 nên B2 màu xanh. Do B5 cách đều B2 và B8 nên B8 có màu đỏ. Do B6 và B8 cùng có màu đỏ nên B7 có màu xanh. Như vậy B7 được xếp cách đều hai bàn cùng màu xanh là B5 và B9, trái với giả thiết (*)
 Vậy cả hai khả năng trên đều dẫn đến vô lý nên điều giả sử (*) là sai. Như vậy có ít nhất một bàn được xếp cách đều với hai bàn cùng màu với mình.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Ghi chú: Các cách giải khác đúng theo yêu cầu vẫn cho điểm tối đa.
============= Hết ============