Giáo án Đại số và giải tích lớp 11 - Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

o bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số
	d(t) = 3sin + 12 với t , 0 < t 365
a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng vào ngày nào trong năm
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng ?
c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng nhất?
18. Giải các phương trình sau:
a) tan3x = tan	b) tan(x – 150) = 5
c) tan(2x – 1) = 	d) cot2x = cot
e) cot = –	f) cot3x = tan
19. Vẽ đồ thị của các hàm số y = tanx rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoành độ thuộc khoảng là nghiệm của mỗi phương trình sau:
1) tanx = –1	2) tanx = 0
b) Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cotx và cho mỗi phương trình sau
1) cotx = 	2) cotx = 1
20. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho:
a) tan(2x – 150) = 1 với –1800 < x < 900 
b) cot3x = – với – < x < 0
21. Khi giải phương trình tanx = –, bạn Phương nhận thấy – = tan và viết
	tanx = – tanx = tan x = – + k
Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy – = tan nên giải như sau: tanx = – tanx = tan x = + k.
theo em, ai giải đúng, ai giải sai?
22. Tính các góc của tam giác ABC, biết AB = cm, AC = cm và đường cao AH = 1cm. 
Giải
14. a) sin4x = sin 
b) sin = –	 sin = 
c) cos = cos	 = + k2
	 x = 2 + k4 ; 
d) cos = 
Vì 0 < < 1 nên có số sao cho cos = . Do đó
cos = cos = cos 
	 x + = + k2
	 x = – + k2 ; 
15. a) Hàm số y = sinx
1) Nếu xét đồ thị trên khoảng (– ; 5) thì các điểm cần chỉ ra có tung độ bằng – và hoành độ thuộc tập hợp
2) Nếu xét đồ thị trên khoảng (– ; 5) thì các điểm cần chỉ ra có tung độ bằng 1 và có hoành độ thuộc tập hợp 
 y
 x
 O
 1
 –1
 y = 
 y = sinx
b) Hàm số y = cosx
1) Xét đồ thị trên khoảng (– ; 3), ta có tập hợp hoành độ của các điểm cần tìm là 
 y
 x
 O
 1
 –1
 y = -1
 y = sinx
 y = 
2) Xét đồ thị trên khoảng (– ; 3), tập hợp hoành độ của các điểm cần tìm là {– ; ; 3}
16. a) Cách 1: Với 0 < x < , ta có 0 < 2x < 2. Với điều kiện đó:
	sin2x = –	 
Cách 2: Ta có
	sin2x = – 
Xét điều kiện 0 < x < , ta có
Ÿ 0 < – + k < < k < + 1. Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện này là k = 1. 
Vậy trong các giá trị x = – + k chỉ có x = (ứng với k = 1) là thỏa mãn điều kiện 0 < x < .
Ÿ Tương tự, trong các giá trị x = + k chỉ có x = (ứng với k = 0) là thỏa mãn điều kiện 0 < x < 
Kết luận: x = , x = 
b) cos(x – 5) = 
Ta cần tìm k để điều kiện – < x < được thỏa mãn.
Ÿ Xét họ nghiệm thứ nhất:
– < < –7 – 30 < 12k < 5 – 30
 – < k < 
Vì –1,38 < – < < –0,37 và k 
nên	–1,38 < k < –0,37
Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là k = –1
Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là x = 
Ÿ Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai:
– < – < –5 – 30 < 12k < 7 – 30
Vậy k = –1.
Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là x = –
Kết luận: x = , x = .
17. a) Ta giải phương trình:
	3sin + 12 = 12 với t và 0 < t 365
Phương trình đó dẫn đến sin = 0, 
hay = k, tức là 	t = 182k + 80 (k ).
Mặt khác, 0 < 182k + 80 365	 – < k 
	 k {0 , 1}
Ÿ Với k = 0 t = 0 + 80 = 80
Ÿ Với k = 1 t = 182 + 80 = 262
Vậy Thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng vào ngày thứ 80 (ứng với k = 0) và ngày thứ 262 (ứng với k = 1) trong năm.
b) Do sinx –1 với mọi x nên A có ít giờ có ánh sáng nhất khi và chỉ khi 
	sin = –1 với t và 0 < t 365
Phương trình đó cho ta = – + k2, tức là
	t = 364k – 11 (với k ).
Mặt khác, 0 < 364k – 11 365 < k k = 1
	t = 364 – 11 = 353
Vậy thành phố A có ít giờ có ánh sáng nhất (9 giờ) khi t = 353, tức là vào ngày thứ 353 trong năm.
c) Tương tự, ta phải giải phương trình
	sin = 1 với t và 0 < t 365.
	(t – 80) = + k2	 (t – 80) = 91 + 364k
	t = 171 + 364k
Mặt khác:	0 < 171 + 364k 365
–171 < 364k 194 – < k k = 0 t = 171
Vậy thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng nhất (15 giờ) vào ngày thứ 171 trong năm.
18. a) tan3x = tan 3x = + k x = + k
b) tan(x – 150) = 5 x = + 150 + k1800, trong đó = 5 (chẳng hạn, có thể chọn 78041'24'' bằng cách dùng máy tính bỏ túi).
c) tan(2x – 1) = tan(2x – 1) = tan
	 2x – 1 = + k 
	 2x = + 1 + k
	 x = + + k
d) cot2x = cot 2x = – + k x = – + k
e) cot = –	 cot = cot(–300)
	 = –30 + k1800 
	 = –500 + k1800 
	 x = –2000 + k7200 
f) cot3x = tan	 cot3x = cot 
	 3x = + k
	 3x = + k
	 x = + k
19. a) Trên hình là đồ thị hàm số y = tanx, đường y = –1, y = 0 (chính là trục x'Ox). (thiếu hình vẽ)
Các điểm ; ... là các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình tanx = –1. Các điểm (–; 0), (0; 0), (; 0), là các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình tanx = 0
b) Học sinh tự vẽ đồ thị hàm số y = cotx và chỉ ra các điểm có hoành độ là nghiệm của phương cotx = ; cotx = 1.
20. a) tan(2x – 150) = 1	 2x = 150 + 450 + k1800 
	 x = 300 + k900
Do –1800 < x < 900, ta có :
	–1800 < 300 + k900 < 900 –2 < + k < 1 k {–2, –1, 0}
Vậy các nghiệm của phương trình là x = –1500; x = –600 và x = 300.
b) cot3x = – x = – + k
Do – < x < 0, ta có :
	– < – + k < 0 – < k < k {–1, 0}
Vậy các nghiệm của phương trình là x = – và x = –
21. Cả hai bạn đều giải đúng. Hai họ nghiệm chỉ khác nhau về hình thức, thực chất chỉ là một. Thật vậy, họ nghiệm x = + k có thể viết lại là x = – + (k + 1) hay x = – + (k + 1) ; đây chính là kết quả mà Phương tìm được.
C
A
B
H
22. Ta xét hai trường hợp:
a) B và C nằm khác phía đối với H 
Ÿ Trong tam giác vuông ABH, ta có : sinB = , 
Suy ra = 450 (chú ý rằng góc B nhọn)
Ÿ Trong tam giác vuông ACH ta có sinC = 
suy ra 35015'52''. 
Ÿ Từ đó = 1800 – ( + ) 99044'8''.
C
A
B
H
b) B và C nằm cùng phía đối với H
Tương tự như trên, ta có :
Ÿ 	= 1800 – 
	= 1800 – 450 = 1350 
Ÿ 35015'52''. 
Ÿ Từ đó = 1800 – ( + ) 9044'8''.
III. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
1. 	Biết cos = , cos = , hãy tính cos( + )cos( – )?
A. 	B. 
C. 	D. –
Giải các phương trình sau. Hãy chọn câu trả lời đúng ().
2.	sin = –
A. 
B. 
C. 
D. 
3.	cos = cos
A. x = 2 + k	B. x = 2 + k4
C. x = 2 + k3	D. x = 2 + k2
4. 	Tìm nghiệm của phương trình sin2x = – với 0 < x < ?
A. x = ; x = 	B. x = ; x = 
C. x = ; x = 	D. x = ; x = 
5. 	Tìm nghiệm của phương trình cos(x – 5) = với – < x < ?
A. x = ; x = 
B. x = ; x = 
C. x = ; x = 
D. x = ; x = 
LUYỆN TẬP
23. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = 	b) y = 
c) y = 	d) y = 
24. Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mĩ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất như hình bên: điểm M mô tả cho con tàu, đường thẳng mô tả cho đường xích đạo. Khoảng cách h (kilômet) từ M đến được tính theo công thức h = , trong đó 
d = 4000cos, với t (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, d > 0 nếu M ở phía trên , d < 0 nếu M ở phía dưới . (thiếu hình vẽ)
a) Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với t = 0). Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng , trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran.
b) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = 2000.
c) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = –1236.
(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn).
 2m
 O
 A
 2,5m
 h
25. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5cm ; trục của nó đặt cách mặt nước 2m. Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = , trong đó
y = 2 + 2,5sin,
với x là thời gian quay của guồng (x 0) tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước (xem bài đọc thêm về dao động điều hòa). Hỏi:
a) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ?
b) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ?
c) Chiếu gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên khi nào?
26. Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, giải các phương trình sau:
a) cos3x = sin2x	b) sin(x – 1200) – cos2x = 0
Giải
23. a) y = 
Ta phải có sinx – tức là x – + k2 và x – + k2. 
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là 
D = \.
b) y = 
Điều kiện là cos2x – cosx 0, tức là 2cos2x – cosx – 1 0. Ta có
2cos2x – cosx – 1 = 0 
Sử dụng đường tròn lượng giác, dễ thấy có thể kết hợp các họ nghiệm này thành một họ nghiệm x = k. 
Vậy hàm số đã cho xác định với D = \.
c) y = 
Ÿ 1 + tanx 0 tanx –1 x – + k
Ÿ tanx xác định với cosx 0 x + k
Vậy D = \.
d) y = 
Ÿ cot2x + 1 0 cot2x –1 cot2x –
	 2x – + k x – + k
Ÿ cot2x xác định với sin2x 0 2x k x k
Vậy D = \.
24. a) Vì t = 0 nên d = 4000cos = 4000cos 
 h = 30064,178 (km)
b) d = 2000	 4000cos = 2000
	 cos = 
	 = 
	 t = 
Chú ý rằng: t > 0, ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của t là t = 25. Vậy d = 2000km xảy ra lần đầu tiên là 25 phút kể từ sau khi phóng con tàu vào quỹ đạo.
c) d = –1236	4000cos = –1236
	cos = –0,309
	(t – 10) = + k2 (với k và cos = –0,309)
	(t – 10) = 45 + k90
	t – 10 = + 90k
	t = + 10 + 90k
Ta có thể chọn 1,885. Khi đó ta có
	t 27,000 + 10 + 90k
Suy ra giá trị dương nhỏ nhất của t = 37,000.
Vậy d = –1236 (km) xảy ra lần đầu tiên là 37,000 phút sau sau khi con tàu được phóng vào quỹ đạo.
25. a) Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi sin = –1. Ta có
sin = –1	 
	 x = k (với k *)
Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút ; 1 phút ; 2 phút ; 3 phút ; ... .
b) Ta có
sin = 1	 
	 x = + k (với k *)
Điều đó chứng tỏ chiếc gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút ; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút ; ... .
c) Ta có:
	h = 2 + 2,5sin = 2
	sin = 0
	 = k
Chiếc gầu ở vị trí cách mặt nước 2m khi = 0. = 0
	x = (phút) (với k = 0)
26. a) Cách 1:
	cos3x = sin2x
	cos3x – sin2x = 0
	cos3x – cos = 0
	–2sinsin = 0
Cách 2: 	cos3x = sin2x	
	cos3x – sin2x = 0
	sin – sin2x = 0
	2cossin = 0
	2cossin = 0
b) Cách 1:	sin(x – 1200) – cos2x = 0
	cos(2100 – x) – cos2x = 0
	–2sinsin = 0
Cách 2:	sin(x – 1200) – cos2x = 0
	sin(x – 1200) – sin(900 – 2x) = 0
	2cossin = 0
	2cossin = 0
§ 3. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
I. CỦNG CỐ KIẾN THỨC
1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
a, b, c R; a 0, x là biểu thức chứa ẩn.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng 
Trong đó a, b và c là ba số đã cho, a 0 hoặc b 0. 
Chúng được gọi là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng
Trong đó a, b và c là các số đã cho, a 0 hoặc b 0 hoặc c 0. Chúng được gọi là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
4. Phương trình đối xứng (hay gần đối xứng)
Phương trình có dạng
5. Phương trình đẳng cấp bậc hai (bậc cao)
6. Các dạng khác
- Phương trình chứa hàm số lượng giác sinx, cosx với lũy thừa bậc chẵn.
- Phương trình chứa f(x) và (x) + trong đó f(x) là hàm lượng giác của x:
(Bổ sung phương pháp giải từng loại phương trình)
II. BÀI TẬP
27. Giải các phương trình sau:
a) 2cosx – = 0	
b) tan3x – 3 = 0
c) (sinx + 1)(2cos2x – ) = 0
28. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
b) cos2x + sinx + 1 = 0
c) tan2x – (1 + )tanx + 1 = 0
29. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm).
a) 3cos2x + 10sinx + 1 = 0 trên 
b) 4cos2x + 3 = 0 trên 
c) cot2x – 3cotx – 10 = 0 trên (0 ; )
d) 5 – 3tan3x = 0 trên 
30. Giải các phương trình sau:
a) 3cosx + 4sinx = –5
b) 2sin2x – 2cos2x = 
c) 5sin2x – 6cos2x = 13
 Vị trí cân bằng
 h
31. Một vật nặng được treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách h (xentimét) từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm t (giây) được tính theo công thức h = , trong đó
d = 5sin6t – 4cos6t,
với d được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi:
a) Ở vào thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?
b) Ở vào thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ? (Tính chính xác đến giây)
32. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :
a) asinx + bcosx (a và b là hằng số, a2 + b2 0) ;
b) sin2x + sinxcosx + 3cos2x ;
c) Asin2x + Bsinxcosx + Ccos2x (A, B và C là hằng số)
33. Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x + 3sinxcosx – cos2x = 4
b) 3sin2x + 4sin2x + (8 – 9)cos2x = 0
c) sin2x + sin2x – 2cos2x = 
34. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để giải các phương trình sau:
a) cosxcos5x = cos2xcos4x
b) cos5xsin4x = cos3xsin2x
c) sin2x + sin4x = sin6x
d) sinx + sin2x = cosx + cos2x
35. Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:
a) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x
b) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
36. Giải các phương trình sau:
a) tan = tanx ; 
b) tan(2x + 10o) + cotx = 0 ;
c) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx ; 
d) tanx + tan2x = sin3xcosx ;
e) tanx + cot2x = 2cot4x. 
Giải
27. a) 2cosx – = 0	 2cosx = 
	 cosx = 
	 cosx = cos
	 x = + k2
b) tan3x – 3 = 0	 tan3x = 
	 tan3x = tan
	 3x = + k
	 x = + k
c) (sinx + 1)(2cos2x – ) = 0 
28. a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0	 
b) cos2x + sinx + 1 = 0 –sin2x + sinx + 2 = 0
	 sinx = –1 (loại sinx = 2)
Vậy phương trình có nghiệm là x = –
c) tan2x – (1 + )tanx + 1 = 0	 
29. a) 3cos2x + 10sinx + 1 = 0 –6sin2x + 10sinx + 4 = 0
Trên khoảng , phương trình này có nghiệm gần đúng là x –0,34. Đó cũng là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho.
b) Ta thấy 0 < x < 0 < 2x < . Với điều kiện đó ta có:
	4cos2x + 3 = 0 cos2x = – 2x = x = 
trong đó là số thực thuộc khoảng (0 ; ) thỏa mãn cos = –. 
Dùng bảng số hoặc máy tính, ta tìm được 2,42. 
Từ đó nghiệm gần đúng của phương trình là x = 1,21.
c) cot2x – 3cotx – 10 = 0	 
d) x 3x . Với điều kiện đó, ta có :
5 – 3tan3x = 0	 tan3x = 3x = x = 
trong đó là số thực thuộc khoảng thỏa mãn tan = ; bảng số hoặc máy tính cho ta 1,03. 
Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x 0,34.
30. a) Ta có:	3cosx + 4sinx = –5
	cosx + sinx = –1
	coscosx + sinsinx = –1 (với cos = , sin = )
	cos(x – ) = –1
	x – = + k2
	x = + + k2
	x = + (2k + 1)
b) 	Ta có:	2sin2x – 2cos2x = 
	sin2x – cos2x = 1
	sin = – = cos
	 = + k2
c) Ta có:	5sin2x – 6cos2x = 13
	5sin2x – 3(1 + cos2x) = 13
	5sin2x – 3cos2x = 16
Chia hai vế cho ta được:
	sin2x – cos2x = 
Do + = 1 nên ta chọn được số sao cho
	cos = và sin = 
Vậy 5sin2x – 6cos2x = 13 sin(2x – ) = 
Do đó phương trình này vô nghiệm vì > 1
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
31. Ta biến đổi:
5sin6t – 4cos6t = = sin(6t – )
trong đó số được chọn sao cho cos = và sin = 
Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được 0,675
a) Vật ở vị trí cân bằng khi d = 0, nghĩa là sin(6t – ) = 0, 
hay	t = 	(với )
Ta cần tìm k nguyên dương sao cho 0 t 1
	0 t 1	 0 1 
	 – k 
Với 0,675, ta thu được –0,215 < k < 1,7; nghĩa là k {0 ; 1}. Vậy trong khoảng một giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là
	t = 0,11 (giây) và t = + 0,64 (giây)
b) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi nhận giá trị lớn nhất. Điều đó xảy ra nếu sin(6t – ) = 1.
Ta có:
	sin(6t – ) = 1 cos(6t – ) = 0 t = + + k
ta tìm k nguyên dương sao cho 0 t 1
	0 t 1	 0 + + k 1
	 – – k – 
Với 0,675, ta thu được –0,625 < k < 1,2 nghĩa là k {0 ; 1}. Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là
	t = + 0,37 (giây) và t = + + 0,90 (giây)
32. a) Ta có:
	asinx + bcosx = 
	 = 
với	cos = ; sin = 
Biểu thức đạt giá trị lớn nhất bằng khi cos(x – ) = 1, đạt giá trị nhỏ nhất – khi cos(x – ) = –1
+ Khi cos(x – ) = –1	 x – = + k2
	 	 x = + (2k + 1)
+ Khi cos(x – ) = 1	 x – = k2
	 x = + k2
b) Ta có: sin2x + sinxcosx + 3cos2x = sin2x + cos2x + 2
Vậy sin2x + sinxcosx + 3cos2x đạt giá trị lớn nhất là 
GTLN = .
và giá trị nhỏ nhất là : GTNN = .
c) Asin2x + Bsinxcosx + Ccos2x = A + sin2x + C
	 = sin2x + cos2x + 
	 = asin2x + bcos2x + c.
Trong đó a = ; b = ; c = 
Vậy Asin2x + Bsinxcosx + Ccos2x đạt giá trị lớn nhất là
 = 
	 = 
và giá trị nhỏ nhất là –.
33. a) Các giá trị của x mà cosx = 0 đều không nghiệm đúng phương trình. Do đó 
	2sin2x + 3sinxcosx – cos2x = 4 	(1)
	2sin2x + 3sinxcosx – cos2x = 4(sin2x + cos2x)
	–2sin2x + 3sinxcosx – 5cos2x = 0
	2tan2x – 3tanx + 5 = 0 (chia hai vế cho cos2x)
Phương trình này vô nghiệm nên phương trình (1) cũng vô nghiệm.
b) Các giá trị của x mà cosx = 0 đều không nghiệm đúng phương trình. Do đó 
3sin2x + 4sin2x + (8 – 9)cos2x = 0
 3tan2x + 8tanx + 8 – 9 = 0	(chia hai vế cho cos2x)
Ÿ tanx = – tanx = tan x = – + k
Ÿ tanx = – x = + k, trong đó là số thỏa mãn tan = –
Vậy phương trình có các nghiệm là x = – + k và x = + k với tan = –
c) Các giá trị của x mà cosx = 0 đều không nghiệm đúng phương trình. Do đó
sin2x + sin2x – 2cos2x = 
 2sin2x + 4sinxcosx – 4cos2x = sin2x + cos2x
 sin2x + 4sinxcosx – 5cos2x = 0
 tan2x + 4tanx – 5 = 0 
trong đó là số thỏa mãn tan = –5
34. a) Ta có:
	cosxcos5x = cos2xcos4x
	(cos6x + cos4x) = (cos6x + cos2x)
	cos6x + cos4x = cos6x + cos2x
	cos4x = cos2x
Kết quả trên có thể viết gọn thành họ nghiệm x = k
b) Ta có:
	cos5xsin4x = cos3xsin2x
	(sin9x – sinx) = (sin5x – sinx)
	sin9x – sinx = sin5x – sinx
	sin9x = sin5x
c) Ta có:
	sin2x + sin4x = sin6x 
 	2sin3xcosx = 2sin3xcos3x
 	sin3x(cosx – cos3x) = 0 
Chú ý: Kết quả trên có thể viết gọn thành hai họ nghiệm x = và x = 
d) Ta có:	
	sinx + sin2x = cosx + cos2x 
 	2sincos = 2coscos
	2sincos – 2coscos = 0
	2cos = 0
35. a) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x
 (1 – cos8x) + (1 – cos6x) = (1 – cos4x) + (1 – cos2x)
 cos8x + cos6x = cos4x + cos2x cos7xcosx = cos3xcosx
b) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
 (1 + cos2x) + (1 + cos4x) + (1 + cos6x) + (1 + cos8x) = 2
 (cos2x + cos8x) + (cos4x + cos6x) = 0
 2cos5xcos3x + 2cos5xcosx = 0 
 cos5x(cos3x + cosx) = 0
 2cos5xcos2xcosx = 0
Vậy nghiệm của phương trình là :
	x = ; x = và x = 
36. a) ĐKXĐ:	cos 0 và cosx 0. Với điều kiện đó, ta có
	tan = tanx
	 = x + k
	x = 2x + k2
	x = –k2	(thỏa ĐKXĐ).
Vậy các nghiệm của phương trình là: x = –k2
(có thể viết là x = k2)
b) ĐKXĐ:	cos(2x + 100) 0 và sinx 0. Với điều kiện đó, ta có:
	tan(2x + 100) + cotx = 0
	tan(2x + 100) = –cotx
	tan(2x + 100) = tan(x + 900)
	2x + 100 = x + 900 + k1800 
	x = 800 + k1800 (thỏa ĐKXĐ).
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 800 + k1800 
c) Ta có:
	(1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
	(1 – tanx) = 1 + tanx
Đặt:	t = tanx, điều kiện cosx 0
	(1 – t) = 1 + t
	(1 – t) = 1 + t
	(1 – t)(t2 + 2t + 1) = (t + 1)(t2 + 1)
	t2 + 2t + 1 – t3 – 2t2 – t = t3 + t2 + t + 1
	–t3 – t2 + t + 1 = t3 + t2 + t + 1
	2t3 + 2t2 = 0
	2t2(t + 1) = 0
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = k, x = – + k.
d) ĐKXĐ:	cosx 0 và cos2x 0. 
	x + k, x + k
Với điều kiện đó, ta có
	tanx + tan2x = sin3xcosx
	 + = sin3xcosx
	 = sin3xcosx
	 = sin3xcosx
	 – sin3xcosx = 0
	sin3x – sin3xcos2xcos2x = 0
	sin3x(1 – cos2xcos2x) = 0
Ÿ	sin3x = 0
	3x = k
	x = k
Ÿ	1 – cos2xcos2x = 0
	1 – cos2x(2cos2x – 1) = 0
	1 – 2cos4x + cos2x = 0
	2cos4x – cos2x – 1 = 0
	cos2x = 1
	x = k 
Vì họ x = k nằm trong họ x = k, vậy nghiệm của phương trình đã cho x = k
e) Cách 1: ĐKXĐ: cosx 0, sin2x 0 và sin4x 0
Suy ra sin4x 0 4x k2 x k
	tanx + cot2x = 2cot4x
	 + = 
	 = 
	 = 
	 = 1
	cos4x = cos2x
	 x = k
Để là nghiệm, các giá trị phải thỏa mãn điều kiện sin4x 0.
Ta có:
– Nếu k chia hết cho 3, tức là k = 3m (m ) thì:
	sin4x = sin4m = 0
– Nếu k không chia hết cho 3, tức là k = 3m 1 (m ) thì:
	sin4x = sin = sin = 0
Vậy nghiệm của phương trình là x = k với k nguyên và không chia hết cho 3.
Cách 2: ĐKXĐ:	sin4x 0 4x k2 x k
	tanx + cot2x = 2cot4x
	 + = 
	2sin2xcos2x + cos22x = cos4x
	(1 – cos2x)cos2x + cos22x = 2cos22x – 1
	cos2x – cos22x + cos22x = 2cos22x – 1
	2cos22x – cos2x – 1 = 0
	cos2x = –
	x = + k
III. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Giải các phương trình sau. Hãy chọn câu trả lời đúng.
1. 	tan2x + 3 = 0
A. x = – + k	;	B. x = – + k;
C. x = – + k;	D. x = – + k;
2. 	2sin2x + 5sinx – 3 = 0
A. 	B. 
C. 	D. 
3. 	4cos2x – 2(1 + )cosx + = 0
A. 	B. 
C. 	D. 
° Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho, rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi tính nghiệm gần đúng của chúng (chính xác đến hàng phần trăm)
Trả lời các câu 4, 5.
4.	4cos2x + 3 = 0 trên 
A. x 1,19	B. x 1,21
C. x 1,23	D. x 1,25
5.	cot2x – 3cotx – 10 = 0 trên (0 ; )
A. x 0,20 ; x 0,46	B. x –0,20 ; x –0,46
C. x 0,20 ; x –0,46	D. x –0,20 ; x 0,46
LUYỆN TẬP
37. Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh B