Giáo án dạy thêm Toán học 9

 (2), ta có : a’ = 1 – 2m ; b’ = 5
a) (1) // (2) 
b) (1) cắt (2) 
c) (1) trùng (2) không tồn tại m thỏa mãn
Bài 9 : Vẽ đthị 2 hs sau trên cùng 1 hệ trục tọa độ : . Gọi A ; B là giao điểm của (1) và (2) với trục hoành ; và giao điểm của 2 đg thg là C. Tìm tọa độ giao điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC
LG
* Bảng các giá trị của x và y :
x
0
- 3
2
0
x
0
-1
2
0
* Đồ thị hs đi qua điểm A(-3 ; 0) và điểm C(0 ; 2). Đồ thị hs (2) đi qua điểm B(-1 ; 0) và điểm C(0 ; 2)
* diện tích tam giác ABC là :
 (đvdt)
Bài 10 : Cho . Hãy tính y theo x, biết (ab>0)
LG
Ta có :
Do đó : 
II. HÌNH HỌC : (Ôn tập về tính chất của 2 tt cắt nhau)
Bài 1 : Cho nửa đtr (O ; R), đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By về nửa mp bờ AB chứa nửa đtr. Trên Ax, By lấy theo thứ tự M và N sao cho góc MON bằng 900. Gọi I là trung điểm của MN. CMR :
a) AB là tt của đtr (I ; IO)
b) MO là tia phân giác của góc AMN
c) MN là tt của đtr đường kính AB
LG
a) CMR : AB là tt của (I ; IO)
- ta có: AM // BN (cùng vuông góc với AB) => tứ giác ABNM là hình thang
- xét hình thang ABNM, ta có: IO là đường trung bình của hình thang ABNM 
=> IO // AM // BN
- mặt khác: AB là tt của đtr (I; IO)
b) CMR : MO là tia phân giác của góc AMN
- vì AM // IO => AMO = MOI (so le trong) (1)
- tam giác MON có O = 900, OI là trung tuyến => tam giác IMO cân tại I => IMO = IOM (2)
- từ (1) và (2) => MOI = AMO = IMO => MO là phân giác của AMN
c) CMR: MN là tt của đtr đkính AB
- kẻ OH vuông góc với MN (3)
- xét tam giác MAO và tam giác MHO, ta có:
 => OA = OH = R (cạnh tương ứng) 
=> OH là bán kính của đtr tâm O đkính AB (4)
- từ (3) và (4) => MN là tt của đtr đkính AB
Bài 2: Cho đtr (O), điểm A nằm bên ngoài đtr. Kẻ các tt AM, AN với đtr (M, N là các tiếp điểm)
a) CMR: OA vuông góc với MN
b) Vẽ đkính NOC. CMR: MC // AO
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN, biết OM = 3cm; OA = 5cm
LG
a) ta có: OM = ON (= bán kính)
AM = AN (tính chất 2 tt cắt nhau)
=> AO là trung trực của đoạn thẳng MN 
=> OA MN
b) gọi H là giao điểm của MN và AO
- vì OA MN =>MH = NH
- xét tam giác MNC, ta có: 
 HO là đg trung bình của tam giác MNC => HO // MC hay MC // AO
c) xét tam giác AMO, M = 900, theo Pytago ta có : 
=> AM = AN = 4cm
- mặt khác, áp dụng hệ thức về cạnh và đg cao trong tam giác vuông AMO, ta có:
Bài 3: Cho tam giác ABC, A = 900, đg cao AH, vẽ đtr (A; AH), kẻ các tt BD, CE với đtr (D, E là các tiếp điểm khác H). CMR:
a) 3 điểm D, A, E thẳng hàng
b) DE tiếp xúc với đtr đkính BC
LG
a) theo tc 2 tt cắt nhau, ta có:
- AB là phân giác của DAH => A1 = A2
- AC là phân giác của EAH => A3 = A4
- mà DAE = A1 +A2 +A3 + A4 = 2(A2 + A3) = 2.900 = 1800
=> 3 điểm D, A, E thẳng hàng 
b) gọi M là trung điểm của BC
- xét tam giác ABC A = 900, có AM là trung tuyến (1) 
- ta có: BD // CE (cùng DE) => tứ giác BDEC là hthang
- xét hthang BDEC, ta có : 
AM là đường trung bình của hình thang BDEC => MA // CE, mà CE DE => MA DE (2)
- từ (1) và (2) => DE tiếp xúc với đường tròn (M) đường kính BC
Bài 4: Cho đtròn (O), điểm M nằm bên ngoài đtròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đtròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đtròn, cắt MD và ME theo thứ tự tại P và Q. Biết MD = 4cm. Tính chu vi tam giác MPQ
LG
- Theo tính chất 2 tt cắt nhau, ta có:
MD = ME; PI = PD; QI = QE
- Chu vi tam giác MPQ bằng: 
MP + PQ + MQ = MP + PI + QI + MQ
 = (MP + PD) + (QE + MQ)
 = MD + ME = 2.MD = 2.4 = 8cm
 Bài 5: Cho đtròn (O; 2cm), các tt AB và AC kẻ từ A đến đtròn vuông góc với nhau tại A (B, C là các tiếp điểm)
a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?
b) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tt với đtròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.
c) Tính số đo góc DOE?
LG
a) Tứ giác ABOC có 3 góc vuông nên là HCN, mà lại có 2 cạnh kề là OB và OC: OB = OC nên nó là Hình vuông
b) Tương tự BT4, ta có chu vi tam giác ADE bằng: 8cm
c) Theo tính chất tiếp tuyến ta có:
Bài 6: Cho đtròn (O; 5cm) điểm M nằm bên ngoài đtròn. Kẻ các tt MA, MB với đtròn (A, B là các tiếp điểm). Biết góc AMB bằng 600.
a) CMR: tam giác AMB là tam giác đều
b) Tính chu vi tam giác AMB
c) Tia AO cắt đtròn ở C. Tứ giác BMOC là hình gì? Vì sao?
LG
a) theo tính chất 2 tt cắt nhau, ta có: MA = MB, do đó tam giác AMB cân tại M
+ mặt khác: 
Nên tam giác AMB là tam giác đều
b) theo tch 2 tt cắt nhau, ta có: 
+ mà MA là tt nên => tam giác MAO vuông tại A
+ xét tam giác MAO vuông tại A có cm
Theo Pytago: 
+ Chu vi tam giác AMB bằng: MA + MB + AB = 3.MA = 
c) Tam giác AMB đều có MO là phân giác nên MO cũng đồng thời là đường cao của tam giác (1)
+ Tam giác ABC có trung tuyến BO bằng AC nên tam giác ABC là tam giác vuông tại B (2)
+ Từ (1) và (2) , do đó tứ giác BMOC là hình thang
**********************************************************
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
A. Kiến thức cơ bản
1. Quy tắc thế
- từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
- dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn
2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt 1 ẩn
- giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải các hpt sau bằng phương pháp thế
Bài 2: giải các hpt bằng phương pháp thế
Bài 3: Tìm các giá trị của m, n sao cho mỗi hpt ẩn x, y sau đây
a) hpt có nghiệm (2; 1); đáp số: 
b) hpt có nghiệm (-3; 2); đáp số: 
c) hpt có nghiệm (1; -5); đáp số: 
d) hpt có nghiệm (3; -1); đáp số: 
Bài 4: Tìm a, b trong các trường hợp sau:
a) đg thg d1: ax + by = 1 đi qua các điểm A(-2; 1) và B(3; -2)
b) đg thg d2: y = ax + b đi qua các điểm M(-5; 3) và N(3/2; -1)
c) đg thg d3: ax - 8y = b đi qua các điểm H(9; -6) và đi qua giao điểm của 2 đường thẳng (d): 5x – 7y = 23; (d’): -15x + 28y = -62
d) đt d4: 3ax + 2by = 5 đi qua các điểm A(-1; 2) và vuông góc với đt (d’’): 2x + 3y = 1
Đáp số
*******************************************************
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.
TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A. Kiến thức cơ bản
1. Ba vị trí tương đối của hai đtr
Xét đtr (O; R) và (O’; r) với , ta có:
a) Hai đtr cắt nhau
- số điểm chung: 2
- hệ thức: R – r < d < R + r
b) hai đtr tiếp xúc nhau
- số điểm chung: 1
- hệ thức:
+ tiếp xúc trong: d = R – r > 0
+ tiếp xúc ngoài: d = R + r
c) hai đtr không giao nhau
- số điểm chung: 0
- hệ thức:
+ 2 đtr ở ngoài nhau: d > R + r
+ 2 đtr đựng nhau: d < R – r
+ 2 đtr đồng tâm: d = 0
2. Tính chất đường nối tâm
- Định lý:
a) Nếu 2 đtr cắt nhau thì 2 giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung (OO’ là đường trung trực của dây AB)
b) Nếu 2 đtr tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm (A thuộc OO’)
3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
- Định nghĩa: tiếp tuyến chung của 2 đtr là đg thg tiếp xúc với cả 2 đtr đó
d1; d2 là tiếp tuyến chung ngoài: tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nối tâm
d1; d2 là tiếp tuyến chung trong: tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho đường tròn (O; 4cm) và đường tròn (O’; 3cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A; B biết OO’ = 5cm. Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D
a) CMR: 3 điểm C, A, D thẳng hàng
b) Tam giác OBO’ là tam giác vuông
c) Tính diện tích tam giác OBO’ và diện tích tam giác CBD
d) Tính độ dài các đoạn thẳng AB; CA; AD
LG
a) CMR: C; D; A thẳng hàng
+ ta có: tam giác ABC nội tiếp đtr (O) có BC làm đkính => tam giác ABC vuông tại A => A1 = 900
+ lại có: tam giác ABD nội tiếp đtr (O’) có BD làm đkính => tam giác ABD vuông tại A => A2 = 900
+ do CAD = A1 + A2 =  =1800 
=> 3 điểm C, A, D thẳng hàng
b) CMR: tam giác OBO’ là tam giác vuông
+ ta có: 
=> tam giác OBO’ vuông tại B ( theo định lý đảo của định lý Pytago)
c) Tính diện tích tam giác OBO’ và diện tích tam giác CBD
ta có:
d) Tính độ dài các đoạn thẳng AB; CA; AD
+ ta có: OO’ là đg trung trực của AB (theo tính chất đoạn nối tâm) 
+ xét tam giác OBO’, B = 900, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 
=> AB = 2. BH = 2 . 2,4 = 4,8 cm
+ áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông:
Bài 2 (tương tự BT76SBT/139): Cho đtr (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, đg thg OO’ cắt đtr (O) và (O’) lần lượt tại B và C (khác A). DE là tt chung ngoài (D thuộc (O), E thuộc (O’)), BD cắt CE tại M
a) CMR: DME = 900 b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
c) MA là tt chung của cả 2 đtr d) MD.MB = ME.MC
LG
a) ta có : O1 = B1 + D1 (góc ngoài của tam giác), mà B1 = D1 (tam giác cân)
 (1)
+ lại có : (góc ngoài của tam giác), mà C1 = E1 (tam giác cân)
 (2)
+ từ (1) và (2) (theo tính chất hình thang)
b) + tam giác ABD nt đtr (O) có AB là đkính => tam giác ABD vuông tại D
=>ADB = 900 => ADM = 900
+ tam giác ACE nt đtr (O) có AC là đkính => tam giác ACE vuông tại E
=>AEC = 900 => AEM = 900
+ tứ giác ADME có : ADM = DME = AEM = 900 => tứ giác ADME là hình chữ nhật
c) + gọi I là giao điểm của AM và DE => tam giác IAD cân tại I => A2 = D3 (3)
+ do tam giác OAD cân tại O nên suy ra: A1 = D2 (4)
+ từ (3) và (4) => A1 + A2 = D2 + D3 = 900 (tính chất tt tại D) => MA vuông góc với AB tại A => MA là tt của đtr (O) và cũng là tt của đtr (O’)
Bài 3: Cho đtr (O) và đtr (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tt chung ngoài của cả 2 đtr (B, C là các tiếp điểm). tt chung trong của 2 đtr tại A cắt BC tại M
a) CMR: A, , C thuộc đtr (M) đường kính BC
b) Đường thẳng OO’ có vị trí ntn đối với đtr (M; BC/2)
c) Xác định tâm của đtr đi qua O, M, O’
d) CMR: BC là tt của đtr đi qua O, M, O’
LG
a) theo tính chất 2 tt cắt nhau, ta có: 
tam giác ABC vuông tại A => a nằm trên đtr có đkính BC. Hay 3 điểm A, B, C thuộc (M; BC/2)
b) và (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A => A thuộc OO’ => OO’ vuông góc với MA tại A thuộc (M; BC/2) => OO’ là tt của đtr (M; BC/2) 
c) theo tính chất tt cắt nhau, ta có:
=> tam giác OMO’ vuông tại M => tâm của đtr đi qua 3 điểm O, M, O’ là trung điểm I của cạnh OO’
d) + tứ giác BOO’C là hình thang vuông vì có BO // CO’ (cùng vuông góc với BC)
+ Xét hình thang BOO’C, ta có: MI là đg trung bình của hthang BOO’C
=> IM // OB, mà BC OB => IM BC => BC là tt của đtr đi qua 3 điểm O, O’, M
Bài 4(BT86SBT/141): Cho đtr (O) đkính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đtr (O’) đkính BC
a) xác định vị trí tương đối của đtr (O) và (O’)
b) kẻ dây DE của đtr (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c) gọi K là giao điểm của DB và (O’). CMR: 3 điểm E, C, K thẳng hàng
d) CMR: HK là tt của đtr (O’)
LG
a) ta có: OO’ = OB – O’B > 0 => (O) và (O’) tiếp xúc trong tại B
b) + vì AB DE tại H => DH = EH
+ xét tứ giác ADCE, ta có : 
 là hình thoi
c) ta có :
=> AD // CK (1)
+ mà ADCE là hình thoi nên AD // CE (2)
+ từ (1) và (2) => C, K, E thẳng hàng (theo Tiên đề Ơclit)
d) + vì KH là trung tuyến của tam giác DKE vuông tại K => HD = HK = HE => tam giác HKE cân tại H => K1 = E1 (*)
+ mà E1 = B1 (cùng phụ với BDE) (**)
+ từ (*) và (**) => K1 = B1 (3)
+ mặt khác: B1 = K3 (tam giác O’KB cân tại O’) (4)
+ từ (3) và (4) => K1 = K3
+ do HK là tt của đtr (O’)
**************************************************************
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cơ bản
1. Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước
- Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới
- Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia)
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia
 Thay vào tính nốt ẩn kia là thành”
- Nghĩa là:
+ nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau
+ đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau
+ cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn
+ thay vào tính nốt ẩn còn lại
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
Bài 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
 àBài 3: Giải hpt bằng phương pháp cộng đại số
Bài 4: xác định a, b để đồ thị hs y = ax + b đi qua 2 điểm A và B trong các trường hợp sau:
a) A(4; 3), B(-6; -7). Đáp số: a = 1; b = -1
b) A(3; -1), B(-3; -2). Đáp số: a = 1/6; b = -3/2
c) A(2; 1), B(1; 2). Đap số: a = -1; b = 3
d) A(1; 3), B(3; 2). Đáp số: a = -1/2; b = 7/2
Bài 5: Tìm m để nghiệm của hệ phương trình: cũng là nghiệm của phương trình: 3mx – 5y = 2m + 1
- ta có: 
- thay x = 11; y = 6 vào phương trình ta đc: 
Bài 6 : Tìm m để đường thẳng (d) : y = (2m – 5)x – 5m đi qua giao điểm của 2 đường thẳng (d1) : 2x + 3y = 7 và (d2) : 3x + 2y = 13
LG
- gọi A là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2). Tọa độ của điểm A là nghiệm của hpt : => A(5 ; -1)
- vì đg thg (d) đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn đth (d). thay x = 5 ; y = -1 vào (d) ta đc : 
Bài 7 : Tìm m để các đường thẳg sau đây đồng quy : 
(d1) : 5x + 11y = 8 ; (d2) : 4mx + (2m – 1)y = m + 2 ; (d3) : 10x – 7y = 74
LG
- gọi A là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d3). Tọa độ của điểm A là nghiệm của hpt : => A(6 ; -2)
- để 3 đg thg trên đồng quy thì đg thg (d2) phải đi qua điểm A, tức tọa độ điểm A thỏa mãn đth (d2). thay x = 6 ; y = -2 vào (d2) ta đc : 
******************************************************
Ngày dạy: 
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cơ bản
	Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước sau :
- bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau)
+ chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)
+ biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
+ lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng
- bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1
- bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu
B. Bài tập áp dụng
Dạng 1: Toán tìm số
- Ta phải chú ý tới cấu tạo của một số có hai chữ số , ba chữ số viết trong hệ thập phân. Điều kiện của các chữ số .
Bài 1: Tìm hai số biết rằng 4 lần số thứ hai cộng với 5 lần số thứ nhất bằng 18040, và 3 lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là 2002.
LG
- gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y 
- theo bài ra, ta có : 
Bài 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 4 lần tổng các chữ số của nó. Nếu viết hai chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì đc số mới lớn hơn số ban đầu 36 đơn vị. 
LG
- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: 
- theo bài ra, ta có: 
Bài 3. Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số này thì được một số có ba chữ số hơn số phải tìm 577 và số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 18 đơn vị.
LG
- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: 
- theo bài ra, ta có: 
Bài 4. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm.
LG
- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: 
- theo bài ra, ta có: 
- vậy số cần tìm là : 54
Dạng 2: Toán làm chung, làm riêng
- Ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị, nếu gọi thời gian làm xong công việc là x thì trong một đơn vị thời gian làm được công việc .
* Ghi nhớ : Khi lập pt dạng toán làm chung, làm riêng không được cộng cột thời gian, năng suất và thờ i gian của cùng 1 dòng là 2 số nghịch đảo của nhau.
Bài 1: Hai vòi nước chảy cùng vào 1 bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vòi chảy bao lâu thì sẽ đầy bể? 
LG
* lập bảng
V 1
V 2
Cả 2 V
TGHTCV
x
y
6
Năng suất 1h
Năng suất 2h
Năng suất 3h
* ta có hpt: 
Bài 2: Hai tổ cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ (I) đc điều đi làm việc khác , tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì trong bao lâu xong việc.
* lập bảng
Tổ 1
Tổ 2
Cả 2 tổ
TGHTCV
x
y
12
Năng suất 1h
1/x
1/y
1/12
Năng suất 4h
4/12 = 1/3
Năng suất 10h
10/y
* ta có hpt: 
Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong 3h rồi dừng lại, sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 8h nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi 1 chảy vào bồn không có nước trong 1h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4h nữa thì số nước chảy vào bằng 8/9 bồn. Hỏi nếu chảy 1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn?
* lập bảng
Vòi 1
Vòi 2
Cả 2 vòi
Thời gian chảy
x
y
1h
1/x
8/9
4h
4/x
4/y
3h
3/x
1
8h
8/y
* ta có hpt: 
Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể .
* lập bảng
Vòi 1
Vòi 2
Cả 2 vòi
TGHTCV
x
y
Năng suất 1h
1/x
1/y
3/10
Năng suất 2h
2/y
4/5
Năng suất 3h
3/x
* ta có hpt: 
Dạng 3. Toán chuyển động
Bài 1. Quãng đường AC qua B dài 270km, một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 60km/h rồi đi từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất cả hết 6giờ, Tính thời gian ô tô đi quãng đường AB và BC.
* Lập bảng
Thời gian
Vận tốc
Quãng đường
AB
x
60
60x
BC
y
40
40y
* Ta có hệ phương trình: 
Bài 2. Một ô tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu một quãng đường sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại cùng một điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô biết quãng đường dài 180km
* Sơ đồ:
* Lập bảng:
V
t (đi ngược chiều)
S (đi ngược chiều)
t (đi cùng chiều) 
S (đi cùng chiều)
Xe đạp
x
3
3x
1
x
Xe máy
y
3
3y
1
y
* Ta có hệ phương trình: 
Bài 3: 1 ô tô đi qđ AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp qđ BC với vận tốc 45km/h. Biết tổng chiều dài qđ AB và BC là 165km và thời gian ô tô đi qđ AB ít hơn thời gian ô tô đi qđ BC là 30ph. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi qđ?
Gọi thời gian ô tô đi trên AB, BC lần lượt là x, y
Ta có hệ phương trình: 
Bài 4: 1 ca nô xuôi dòng 1 quãng sông dài 12km, rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2h30ph. Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1h20ph. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước?
- gọi v ca nô là x, v dòng nước là y (km/h; x > y > 0)
- v xuôi: x+y
- v ngược: x-y
- ta có hpt  giải hệ ta được x = 10 ; y = 2 (tmđk)
Bài 5: Một ca nô chạy trên sông xuôi dòng 84 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ. Nếu ca nô xuôi dòng 112 km và ngược dòng 110 km thì mất 9 giờ.Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.
- gọi x, y lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước (km, 0 < y < x)
- vận tốc xuôi của ca nô: x + y
- thời gian xuôi dòng 84km là: 84/x+y
- thời gian xuôi dòng 112km là: 112/x+y
- vận tốc ngược của ca nô: x - y
- thời gian ngược dòng 44km là: 44/x-y
- thời gian ngược dòng 110km là: 110/x-y
- theo bài ra ta có hệ phương trình: 
 đặt 
Dạng 4. Toán liên quan tới yếu tố hình học.
- Ta phải nắm được công thức tính chu vi; diện tích của tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông, định lý Pi-ta-go.
Bài 1: 1 HCN có chu vi 80m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất
Gọi chiều dài là x, chiều rộng là y
Ta có hpt 
Bài 2: 1 thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó?
Gọi chiều dài HCN là x
Gọi chiều rộng HCN là y
Ta có hpt 
Dạng 5. Toán năng suất
* Chú ý:
- Năng suất (NS) là số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian (t).
- (NS) x (t) = Tổng sản phẩm thu hoạch 
CÁC GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
A. Kiến thức cơ bản
1. Góc ở tâm. Số đo cung
a) Định nghĩa góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm của đtròn đgl góc ở tâm
b) Số đo cung:
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn)
- Số đo của nửa đtr bằng 1800
c) Tính chất của số đo cung: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ=sđ+sđ
2. Liên hệ giữa cung và dây
a) Định lý 1: Với 2 cung nhỏ trong một đtròn hay trong 2 đtròn bằng nhau:
- 2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau
- 2 dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau
b) Định lý 2: Với 2 cung nhỏ trong 1 đtròn hay trong 2 đtròn bằng nhau:
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
3. Góc nội tiếp
a) Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đtròn và 2 cạnh chứa 2 dây cung của đtròn đó. Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn
b) Định lý: Trong 1 đtròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
c) Các hệ quả: Trong một đtròn
- Các góc nt bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nt cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nt (nhr hơn hoặc bằng 900) có só đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
- Góc nt chắn nửa đtròn là góc vuông
4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Định nghĩa: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tiếp tuyến và cạnh còn lại chứa dây cung
b) Định lý: Sđ của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
c) Định lý đảo: Nếu có đỉnh nằm trên đtròn, một cạnh chứa dây cung AB, có sđ bằng nửa sđ cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là 1 tia tiếp tuyến của đtròn
d) Hệ quả: Trong 1 đtròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau
5. Góc có đỉnh ở bên trong đtròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đtròn
a) Góc có đỉnh ở bên trong đtròn
- Định lý: Sđ của góc ..... bằng nửa tổng sđ của 2 cung bị chắn
b) Góc có đỉnh ở bên ngoài đtròn
- Định lý: Sđ của góc ..... bằng nửa hiệu sđ của 2 cung bị chắn
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho (O) và 1 điểm M cố định không nằm trên đtròn. Qua M kẻ 2 đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đtròn (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt đtròn (O) tại C và D. CMR: MA.MB = MC.MD
LG
* TH1: điểm M nằm bên trong đtròn (O)
- Xét t