Giáo án môn Toán 12 - Bài tập ôn thi lớp 12

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các dạng bài tập 
Dạng 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
Dạng 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 1.
Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 2
Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; +).
Hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 3 Chứng minh rằng
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số nghịch biến trên R.
Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ:
Tìm giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R.
Dạng 4. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì 
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
Chứng minh rằng 
Ví dụ 3
Cho hàm số 
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
b. Chứng minh 
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cơ bản
Định nghĩa: Cực trị của hàm số: 
+ Hàm số đạt cực trị tại nếu .
+ Hàm số đạt cực đại tại nếu đạo hàm đổi dấu từ + sang – khi đi qua .
+ Hàm số đạt cực tiểu tại nếu đạo hàm đổi dấu từ – sang + khi đi qua .
II. Các dạng bài tập 
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(xi)
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị
( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 
Qui tắc I.
TXĐ: R
Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71
 x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54 
Qui tắc II
TXĐ: R
y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
 yct = - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và 
ycđ =71
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì y’(2) = 0 
Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’
Phương pháp
B1: Tìm m để hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
Hướng dẫn.
a. TXĐ: R
 .
Để hàm số có cực trị thì phương trình: có hai nghiệm phân biệt
Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước.
Phương pháp
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Bài tập
Bài 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 1.
Bài 2. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Bài 3. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 4. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 5. Cho hàm số . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung.
Bài 6. Hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài7. Tìm cực trị của các hàm số sau:
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cơ bản
 Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
Nếu và thì M là GTLN của hàm số trên D
D
 Kí hiệu Max y = M tại x = x0
Nếu và thì M là GTNN của hàm số trên D
D
 Kí hiệu Min y = M tại x = x0
II. Các dạng bài tập 
DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên :
B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định
DẠNG 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên:
 B1: Tìm đạo hàm. 
 B2: Tìm caùc giaù trò xi (i = 1, 2, ..., n) laøm cho ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh .
B3: Tính 
B4: GTLN = max{} 
	GTNN = Min{}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Hướng dẫn:
Dễ thầy hàm số liên tục trên 
. 
Dễ thấy 
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2. 
Tính GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
 e. trên đoạn f)trên 
 g) trên h) y = trên 
 i) trên [2;5] j) trên [-4;4]
 k) l) 
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. Kiến thức cơ bản
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
y = y0 là tiệm cận ngang của (C) nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn: 
x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn: 
II. Các dạng bài tập 
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ 
Phương pháp 
Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang:
	+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
Hướng dẫn
a. Ta thấy nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm các tiệm cận của các hàm số sau:
5. KHẢO SÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. Hàm bậc ba
Phương pháp:
Tìm TXĐ.
Xét đơn điệu của hàm số:
Tìm giới hạn:
Vẽ đồ thị
Bài tập
Khảo sát các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
B.Hàm trùng phương : .
Phương pháp: Tương tự hàm bậc ba
Bài tập
Khảo sát các hàm số sau:
C. Hàm phân thức hữu tỉ : .
Các bước khảo sát hàm số phân thức: 
1. Tìm TXĐ.
2. Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm.
3. Tìm giới hạn suy ra các đường tiệm cận.
4. Lập bảng biến thiên.
5. Vẽ đồ thị.
Bài tập
Khảo sát các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f) 
Các bài toán liên quan đến khảo sát
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đường cong.
 A. Tiếp tuyến tại 
 Phương trình tiếp tuyến có dạng: 
Bài tập
Bài 1 : Cho hàm số ( C ),viết pttt tại có hoành độ 
Bài 2 : cho ( C ) :. Lập pttt của ( C ) tại điểm có hoành độ 
Bài 3 : ( C ) : Viết pttt của ( C ) biết :
Tại M là giao điểm của ( C ) với trục Oy 
Tại N có hoành độ bằng -2
B. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
 + Gọi 
 + Giải pt : 
Bài tập
Bài 1 : ( C ) : Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1
Bài 2 : cho ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -2.
 C. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho trước : 
 + Gọi 
 + Giải pt : 
Bài tập
 Bài 1 : ( C ) : Viết pttt với ( C ) biết :
Tiếp tuyến song song với đt 
 Bài 2 : cho ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó :
Song song với đt : 
 Bài 3 : .Gọi M là điểm thuộc có hoành độ bằng -1 .Tìm m để tiếp tuyến của tai điểm M song song với đt 
 D. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) trước : 
 + Gọi 
 + Giải pt : 
Bài tập
Bài 1 : cho ( C ) :
Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với đường thẳng 
Bài 2 : cho ( C ) :
a. Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với đt : 
b. Tìm trên đt các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
Bài 3 : Viết pttt của ( C ) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt 
Dạng 2: Sự tương giao giữa hai đường cong
Cho hai đường cong (C): và (C’) : . Khi đó tọa độ giao điểm giữa hai đường cong chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm .
 Chú ý: (C): và (C’) : . tiếp xúc với nhau 
Bài tập
 Định tham số m để đồ thị 
a. và cắt nhau tại hai điểm phân biệt
b. và tiếp xúc
 tiếp xúc với trục hoành ( Ox )
 và tiếp xúc
Dạng 3: Xét bài toán sau đây : vẽ đồ thị (C) của hàm số sau đó biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : 
 (*)
Ta đưa (*) về dạng trong đó là biểu thức theo m, không chứa x
Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng mà ta nhìn thấy qua đồ thị
Chú ý : Do m là tham số tùy ý nên ta không nên lầm tưởng là 1 hàm số , đường cong.. mà nó mãi mãi chỉ là đường thẳng mà thôi.
Ví dụ như hình bên , ta thấy (*) có :
 3 nghiệm khi 
2 nghiệm khi 
1 nghiệm khi 
Bài tập
Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
x3 – 3x2 + m = 0
b) 
c) 
Bài tập chuyên đề khảo sát và các bài toán liên quan:
1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1
 a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
 b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + m = 0.
2. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 . m là tham số
	 a. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
	b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
3. Cho hàm số có đồ thị (C)
 a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
 b.Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt .
4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x2 + 4.
 b.Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị (Cm): y = x3 – 3x2 – m cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt.
5 Cho hàm số y = ( C ).
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
 b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại tâm đối xứng của đồ thị.
7: Cho hàm số (C) .
 a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.
 b.Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc (C) và có hoành độ xo= 1
8. Cho hàm số ( C )
 a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
 b. Gọi A là giao điểm của đồ thị với trục tung. Tìm phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A.
9. Cho hàm số có đồ thị là (C)	
 a. Khảo sát hàm số và vẽ (C)
 b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
10. Cho hàm số có đồ thị là (C.
 a.Khảo sát hàm số (1)
 b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
11. Cho hàm số có đồ thị (C)
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
 b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M(2;5) . 
12. Cho hàm số 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao của ( C ) với trục Ox.
13. Cho hàm số y = x4 – 2x2 +3, có đồ thị là ( C ).
 a.Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
 b Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao của ( C ) với trục Oy.
14. Cho hàm số
 a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thịhàm số trên.
 b.Từ tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 
15. Cho hàm số 
 a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
 b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
16 Cho hàm số y = 
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 
 b. Tim m để Phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
17. Cho haøm soá y = x4 – 2x2 + 1 coù ñoà thò (C).
	a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
	b. Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa pt : x4 – 2x2 + 1 - m = 0.