Giáo án môn Toán 12 - Chương III: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

2
x 3x
I dx
4x 4x 1


 
 b/ 2 2
3x 1
I dx
9x 12x 4


 
TH3. Q(x) = 0 vô nghiệm 
2 2
2 2
Q(x) (ax b) k
Q(x) (ax b) k
   
 
   
Xét I = 
2 2
P(x)
dx
(ax b) k 
 . Ta có các công thức: 
+ 
2 2
dx 1 x
arctan C
x a a a
 

 + 
2 2
du 1 u
arctan C
u a a a
 

Chú ý: 
+ Khi deg P(x) ≥ 2: Chia đa thức 
+ Khi deg P(x) = 0: 
2 2
du 1 u
arctan C
u a a a
 

+ Khi deg P(x) = 1: Ptích P(x) có chứa đạo hàm của mẫu. 
Ví dụ 1. Tính: 
 a/ 1 2
dx
I
x 4x 10

 
 b/ 2 2
dx
I
3x x 5

 
Ví dụ 2. Tính: 
 a/ 1 2
4x 3
I dx
x 2x 5


 
 b/ 1 2
x 1
I dx
4x x 3


 
Tổng kết mẫu bậc hai: 
I = 
P(x)
dx
Q(x)
2 2
2
2 2
dx 1 x a
ln
x a 2a x a
du 1
u u
du 1 u
arctan
u a a a
 
  


  

 
 



III. MẪU SỐ Q(x) LÀ BẬC 3: Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d 
Ta có 4 trường hợp: 
TH1. Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3  Q(x) = 1 2 3a(x x )(x x )(x x )   
+ Nếu deg P(x) ≥ 3: Chia đa thức. 
+ Nếu deg P(x) = 0: P(x) = k, Ptích P(x) có chứa nghiệm của mẫu. 
+ Nếu deg P(x) = 1: P(x) = mx + n, Ptích P(x) có chứa nghiệm của mẫu. 
+ Nếu deg P(x) = 2: P(x) = mx2 + nx + p, Ptích P(x) có chứa đạo hàm và nghiệm của mẫu (nhảy 
tầng lầu). 
Ví dụ. Tính: 
 a/ 
  1 2
dx
I
x 1 x 2

 
 b/  1 2
4x 3
I dx
x 9 x



 c/   
2
1 2
3x x 1
I dx
x 4 3x 2
 

 
 
•  
2
1 2x x (x x )  
 11 
•  
3
1x x 
•   21x x Ax Bx C   
---------------------------- 
 12 
§5. KỸ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM 
 
I. KHÁI NIỆM VỀ PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN 
Phân thức 
P(x)
Q(x)
 đgl đơn giản nếu nó không thể phân tích thành các biểu thức khá c (tối giản 
nhất), và nó thuộc một trong bốn dạng sau: 
   
2 2
n p2 2
k k mx n mx n
; ; (b 4ac 0); (b 4ac 0)
ax b ax bx cax b ax bx c
 
   
    
II. QUY TẮC ĐỒNG NHẤT 
Xét phân thức 
P(x)
Q(x)
. Ta xét 3TH thường gặp: 
TH1. Q(x) = 0 có n nghiệm phân biệt. 
Q(x) =     1 2 nx x x x ... x x .   Khi đó 
1 2 n
1 2 n
P(x) A A A
...
Q(x) x x x x x x
   
  
      1 2 3 nP(x) A x x x x ... x x ...(*)     
Đồng nhất (*) có thể bằng 2 cách: 
 + Hệ số bất định: Hệ pt. 
 + Gán giá trị đặc biệt. 
Ví dụ 1. Tính: 
 a/ 1 2
4x 3
I dx
5x 6x 1


 
 b/ 
2
2 2
3x 4x 2
I dx
x x 6
 

 
 c/ 3 2
4x 3
I dx
(x 1)(4x 1)


 
TH2. Q(x) = 0 có một nghiệm bội. 
Q(x) =       
k
1 2 m nx x x x ... x x x x .    
Khi đó 
   
1 2 1 2 k n
2 k
1 2 m nm m
P(x) A A B B B A
... ...
Q(x) x x x x x x x xx x x x
 
        
      
Ví dụ 2. Tính: 
2
2x 5
I dx
(x 3)(x 4x 4)


  
TH3. Q(x) = 0 có (n – 2) nghiệm đơn. 
Q(x) =       21 2 n 2x x x x ... ax bx c ... x x .     
Khi đó 1 2 n
2
1 2 n
P(x) A A mx n A
... ...
Q(x) x x x x ax bx c x x

     
    
Ví dụ 3. Tính: 
2
2
x 5x 1
I dx
(2x 1)(4x x 1)
 

  
---------------------------------- 
 13 
§6. TÍCH PHÂN 
 
I. ĐỊNH NGHĨA 
Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b] thì tích phân của f(x) trên [a;b] là: 
b
b
a
a
f (x)dx F(b) F(a) F(x) |   
II. TÍNH CHẤT 
1.  
b b b
a a a
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)fx     
b b
a a
k.f (x)dx k f (x)dx  
b c b
a a c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx    (a < c < b) 
2. Nếu f(x)  g(x),  x  [a;b] thì 
b b
a a
f (x)dx g(x)dx  
3. 
b b
a a
f (x)dx f (x) dx  
Ví dụ. Tính: 
 a/ 
2
0
x 1 dx b/ 
2
0
cos x dx

 
III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Dạng 1. xP(x)sin xdx; P(x)cos xdx; P(x)a dx   
Dùng tích phân từng phần, với u = P(x) (P(x) là đa thức). 
Ví dụ. Tính 
/2
0
I x cos xdx

  
Dạng 2. aP(x)log xdx 
Dùng tích phân từng phần, với u = logax. 
Dạng 3. kx kxe sin xdx; e cos xdx  
Dùng tích phân từng phần, với u = ekx. 
Dạng 4. Dùng pp đổi biến số. 
Ví dụ. Tính 
1
2
0
I x 3x 1dx  
IV. BÀI TẬP 
6.1. Tính các tích phân: 
1.
1
3
0
( 1)x x dx  2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
   3. 
3
1
2x dx 4. 
2
1
1x dx 
 5. 
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx


  6. 
1
0
( )xe x dx 7. 
1
3
0
( )x x x dx 8.
2
1
( 1)( 1)x x x dx   
 9. 
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x


  10. 
1
2
0
( 1)xe x dx  11. 
2
2 3
1
( )x x x x dx  
 14 
 12.
2
1
( 1)( 1)x x x dx   13. 
3
3
1
x 1 dx( ). 

 14. 2
2
2
-1
x.dx
x 
15. 
2e
1
7x 2 x 5
dx
x
 
 16. 
x 2
5
2
dx
x 2  
 17. 
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln


 18.
2 3
3
6
x dx
x
cos .
sin


 19. 
4
2
0
tgx dx
x
.
cos

 20. 
1 x x
x x
0
e e
e e
dx




 21. 
1 x
x x
0
e dx
e e
.

 
 22. 
2
2
1
dx
4x 8x
 23. 
3
x x
0
dx
e e
ln
.

 24. 
2
0
dx
1 xsin


 25. 


1
1
2 )12( dxxx 
 26.  
2
0
3 )
3
2
2( dxxx 27. 


2
2
)3( dxxx 28. 


4
3
2 )4( dxx 29. dx
xx







2
1
32
11
 30. 

2
1
3
2 2
dx
x
xx
 31. 
e
e
x
dx
1
1
 32. 
16
1
.dxx 33. dx
x
xx
e


2
1
752
 34. dx
x
x 







8
1
3 23
1
4 
6.2. Tính tích phân bằng pp đổi biến số. 
1. 
2
3 2
3
sin xcos xdx


 2. 
2
2 3
3
sin xcos xdx


 3. 
4
0
tgxdx

 4. 
4
6
cot gxdx


 
 5. 
6
0
1 4sin xcosxdx

 6. 
1
2
0
1x x dx 7. 
1
2
0
1x x dx 8. 
1
3 2
0
1x x dx 
 9. 
1 2
3
0 1
x
dx
x 
 10. 
1
3 2
0
1x x dx 11. 
2
3
1
1
1
dx
x x 
 12. 
1
2
0
1
1
dx
x
 13. 
1
2
1
1
2 2
dx
x x

 
 14. 
1
2
0
1
1
dx
x 
 15. 
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x
 16. 
2
sin
4
xe cosxdx


 
 17. 
2
4
sincosxe xdx


 18. 
2
1
2
0
xe xdx 19. 
2
3 2
3
sin xcos xdx


 20. 
2
sin
4
xe cosxdx


 
 21. 
2
4
sincosxe xdx


 22. 
2
1
2
0
xe xdx 23. 
2
3 2
3
sin xcos xdx


 24. 
2
2 3
3
sin xcos xdx


 
 25. 
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx


 26. 
4
0
tgxdx

 27. 
4
6
cot gxdx


 28. 
6
0
1 4sin xcosxdx


 29. 
1
2
0
1x x dx 30. 
1
2
0
1x x dx 31. 
1
3 2
0
1x x dx 32. 
1 2
3
0 1
x
dx
x 
 
 15 
 33. 
1
3 2
0
1x x dx 34. 
2
3
1
1
1
dx
x x 
 35. 
1
1 ln
e
x
dx
x

 36. 
1
sin(ln )
e
x
dx
x
 37. 
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x

 38. 
2ln 1
1
e xe
dx
x

 39. 
2
21 ln
ln
e
e
x
dx
x x

 40. 
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x
 41. 
2
1 1 1
x
dx
x 
 42. 
1
0 2 1
x
dx
x 
 43. 
1
0
1x x dx 44. 
1
0
1
1
dx
x x 
 
 45. 
1
0
1
1
dx
x x 
 46. 
1
1 ln
e
x
dx
x

 47. 
1
sin(ln )
e
x
dx
x
 48. 
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x

 
49. 
2ln 1
1
e xe
dx
x

 50. 
2
21 ln
ln
e
e
x
dx
x x

 51. 
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x
 52. 
1
2 3
0
5 x x dx 
 53.  
2
4
0
sin 1 cos x xdx

 54. 
4
2
0
4 x dx
 55. 
4
2
0
4 x dx
 56. 
1
2
0
1
dx
x
57. dxe x


0
1
32 58. 

1
0
dxe x 59. 
1
3
0
x
dx
(2x 1)
 60. 
1
0
x
dx
2x 1
 
61. 
1
0
x 1 xdx 62. 
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6

 
 63. 
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4

 
 64. 
3 3
2
0
x
dx
x 2x 1 
65.
6
6 6
0
(sin x cos x)dx

 66.
32
0
4sin x
dx
1 cosx


 67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x


 68.
2
4
0
cos 2xdx

 
69. 
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx


 

 70.
1
x
0
1
dx
e 1
 71. dxxx )sin(cos
4
0
44
 

 72. 

4
0 2sin21
2cos

dx
x
x
73. 

2
0 13cos2
3sin

dx
x
x
 74. 

2
0 sin25
cos

dx
x
x
 75. 



0
2
2 32
22
 dx
xx
x
 76. 

1
1
2 52xx
dx
77. 
2
3 2
0
cos xsin xdx

 78. 
2
5
0
cos xdx

 79. 
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x


 80. 
1
3 2
0
x 1 x dx 
81. 
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx

 82. 
4
4
0
1
dx
cos x

 83. 
e
1
1 lnx
dx
x

 84. 
4
0
1
dx
cosx

 
85. 
e 2
1
1 ln x
dx
x

 86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx 87. 
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x

 
 88. 
3 4
0
tg x
dx
cos2x
89. 
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x



 90. 

2
0
22 sin4cos
2sin

dx
xx
x
 91. 
 
5ln
3ln 32
xx ee
dx
 92. 

2
0
2)sin2(
2sin

dx
x
x
93. 
3
4
2sin
)ln(


dx
x
tgx
 94.  
4
0
8 )1(

dxxtg 95. 

2
4
2sin1
cossin


dx
x
xx
 96. 

2
0 cos31
sin2sin

dx
x
xx
 16 
97. 

2
0 cos1
cos2sin

dx
x
xx
 98.  
2
0
sin cos)cos(

xdxxe x 99. 

2
1 11
dx
x
x
 100. 
e
dx
x
xx
1
lnln31
101. 

4
0
2
2sin1
sin21

dx
x
x
 102. 
1
2
0
1 x dx 103. 
1
2
0
1
dx
1 x
 104. 
1
2
0
1
dx
4 x
 
105. 
1
2
0
1
dx
x x 1 
 106.
1
4 2
0
x
dx
x x 1 
 107. 
2
0
1
1 cos sin
dx
x x

 
 108. 
2
22
2
0
x
dx
1 x

109. 
2
2 2
1
x 4 x dx 110. 
2
3
2
2
1
dx
x x 1
 101. 
3 2
2
1
9 3x
dx
x

 112. 
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x


 
113. 
2
2
2
3
1
1
dx
x x 
 114. 
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x


 115. 
1 4
6
0
1
1
x
dx
x


 116. 
2
0
cos
1 cos
x
dx
x


 
117. 

0
1
2 22xx
dx
 118. 

1
0 311 x
dx
 119. 

2
1 5
1
dx
x
xx
 120.
8
2
3
1
1
dx
x x 
 
121. 
7 3
3 2
0 1
x
dx
x
 122. 
3
5 2
0
1x x dx 123. 
ln2
x
0
1
dx
e 2
 124. 
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x


 
125. 
2
2 3
0
1x x dx 126. 

32
5
2 4xx
dx
6.3. Tính các tích phân dùng pp từng phần. 
1. 
3
3
1
ln
e
x
dx
x 2. 
1
ln
e
x xdx 3. 
1
2
0
ln( 1)x x dx 4. 
2
1
ln
e
x xdx 
 5. 
3
3
1
ln
e
x
dx
x 6. 
1
ln
e
x xdx 7. 
1
2
0
ln( 1)x x dx 8. 
2
1
ln
e
x xdx 
 9. 
2
0
( osx)s inxx c dx

 10. 
1
1
( ) ln
e
x xdx
x
 11. 
2
2
1
ln( )x x dx 12. 
3
2
4
tanx xdx


 
 13. 
2
5
1
ln x
dx
x 14. 
2
0
cosx xdx

 15. 
1
0
xxe dx 16. 
2
0
cosxe xdx

 
6.4. Tính các tích phân dùng pp từng phần. 
1) 
1
0
3. dxex x 2)  
2
0
cos)1(

xdxx 3)  
6
0
3sin)2(

xdxx 4) 
2
0
2sin.

xdxx 
 5) 
e
xdxx
1
ln 6)  
e
dxxx
1
2 .ln).1( 7) 
3
1
.ln.4 dxxx 8)  
1
0
2 ).3ln(. dxxx 
 17 
9)  
2
1
2 .).1( dxex x 10) 

0
.cos. dxxx 11) 
2
0
2 .cos.

dxxx 12)  
2
0
2 .sin).2(

dxxxx 
 13) 
2
5
1
lnx
dx
x
 14) 
2
2
0
x cos xdx

 15) 
1
x
0
e sinxdx 16) 
2
0
sin xdx

 
17) 
e
2
1
x ln xdx 18) 
3
2
0
x sinx
dx
cos x


 19) 
2
0
xsinx cos xdx

 20) 
4
2
0
x(2cos x 1)dx

 
21) 
2
2
1
ln(1 x)
dx
x

 22) 
1
2 2x
0
(x 1) e dx 23) 
e
2
1
(x lnx) dx 24) 
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx

 
25) 
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x
 26) 
1
2
0
xtg xdx 27)  
1
0
2)2( dxex x 28)  
1
0
2 )1ln( dxxx 
29) 
e
dx
x
x
1
ln
 30)  
2
0
3 sin)cos(

xdxxx 31)  
2
0
)1ln()72( dxxx 32)  
3
2
2 )ln( dxxx 
6.5. Tích phân hàm hữu tỷ. 
1.  

5
3
2 23
12
dx
xx
x
 2.  
b
a
dx
bxax ))((
1
 3.  

1
0
3
1
1
dx
x
xx
 4. dx
x
xx
 

1
0
2
3
1
1
 5.  
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
 6.  
1
0
22 )3()2(
1
dx
xx
 7.  

2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
 8.  
1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
 9.  
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
 10. 



0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
 11.  

2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
 12.  
2
1
4 )1(
1
dx
xx
 13.  
2
0
24
1
dx
x
 14.  
1
0
41
dx
x
x
 15. dx
xx 
2
0
2 22
1
 16.  
1
0
32 )1(
dx
x
x
 17.  
4
2
23 2
1
dx
xxx
 18.  

3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
 19.  

2
1
4
2
1
1
dx
x
x
 20.  
1
0
31
1
dx
x
 21.  

1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
 22.  

1
0
2
4
1
2
dx
x
x
 23.  

1
0
6
4
1
1
dx
x
x
 24. 
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x

 
 25. 
1
2
0
1
dx
x x 
 26.  

3
2
1
2
dx
x
x
 27. dx
x
x
 








1
0
3
1
22
 28. 










0
1
12
12
2
dxx
x
x
29. dxx
x
x
 








2
0
1
2
13
 30. dx
x
xx
 

1
0
2
3
32
 31. dxx
x
xx











0
1
2
12
1
1
32. dxx
x
xx
 








1
0
2
1
1
22
 33.  
1
0
2 34xx
dx
6.6. Tích phân 
2
2
0
x 3x 1
dx
x 1
 

 có daṇg 
a b
ln (a,b,c Z )
3 c
  . Tính a + b + c; abc; a + b
2 + c3. 
6.7. Tích phân 
ln2
x
0
(2x 3)e dx có daṇg lna + b. Tính a + b; a – b; ab. 
6.8. Tích phân 
/3
2 2/6
s in2x
dx
sin x.cos x

 có daṇg alnb (a,b nguyên dương). Tính a + b. 
 18 
6.9. Tích phân 
/2
0
sin x
dx
4 3cos x


 có daṇg 
a
ln c
b
 (a,b,c nguyên dương). So sánh a + b và c. 
6.10. Tích phân 
/2
0
3sin x
dx
5 4cos x


 có daṇg 
a
ln c
b
 (a,b,c nguyên dương). Đẳng thức nào đúng? 
A. a + b = c B. a + c = b C. b + c = a D. a2 + b2 = c2 
6.11. Tích phân 
/2
2/3
sin 2x
dx
sin x.cos 2x

 có daṇg 
a
ln
b
 (a,b nguyên dương). Tính a + b. 
6.12. Tích phân 
/2
2/4
ln sin x
dx
sin x

 có daṇg 
a b
4
 
(a,b nguyên dương). Tính a - b. 
6.13. Tích phân 
ln4
2 x 2
ln2
x e dx a ln d bln d c   (d > 0). Tính dlog (2a 2b 3c).  
------------------------------ 
 19 
§7. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 
 
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
1. Hình phẳng giới hạn bới một đường cong và trục hoành. 
Ý nghĩa hình học của tích phân: 
 Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a;b] thì tích phân 
b
a
f (x)dx là diện tích S của 
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. 
Trong trường hợp f(x)  0 trên [a;b], ta có f (x) 0  , và 
diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b 
là: 
Tổng quát: 
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai 
đường thẳng x = a; x = b được xác định bởi: 
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. 
 Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a;b]. Gọi S là diện tích của phần hình 
phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 hàm số đó và các đường thẳng x = a; x = b. 
 Khi f (x) g(x) 0  , ta có: 
Khi f (x) g(x) , ta có: 
 
b
a
S f (x) dx 
b
a
S f (x) dx 
 
b
a
S f (x) g(x) dx 
b
a
S f (x)dx 
 20 
Tổng quát: 
Chú ý: 
Giả sử f(x) – g(x) = 0 có 2 nghiệm c, d (c < d) trong đoạn [a;b]. Khi đó, f(x) – g(x) không 
đổi dấu trên các đoạn [a;c]; [c;d]; [d;b] và 
     
b c d b
a a c d
c d b
a c d
S f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx
f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx
       
     
   
  
II. TÍNH THỂ TÍCH 
1. Thể tích của vật thể. 
Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x=a, x=b (a < 
b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt V theo thiết diện có diện 
tích S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai 
mặt phẳng (P), (Q) được tính: 
Ví dụ 1: Cho hình nón có đường cao h và bán kính đáy là r. Tính thể tích của hình nón theo h và 
r. 
Nhận xét: 
 Trong ví dụ trên nếu ta thay đáy của hình nón bằng một đa giác ta được một khối chóp và 
chứng minh tương tự ta cũng có day
1
V S .cao
3
 
2. Thể tích của khối tròn xoay. 
Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = 
a, x = b (a < b) quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. 
Khi đó, thiết diện của khối tròn xoay tạo bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại x thuộc [a;b] là 
một hình tròn có bán kính |f(x)|. 
Và diện tích của thiết diện này là:  
2
S(x) f (x) 
Và thể tích của thiết diện này là:  
b b 2
a a
V S(x)dx f (x) dx    
 
b
a
S f (x) g(x) dx 
b
a
S f (x) g(x) dx 
 21 
III. BÀI TẬP 
7.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 a/ Đồ thị hàm số y = x + x-1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1. 
 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1. 
 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4. 
 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2. 
7.2. Tính diện tích các hình phẳng sau: 
a/ 
3x 1
y
x 1
y 0
x 0
 
 


 


 b/ 
lnx
y
2 x
y 0
x e
x 1




 


 c/ 
2
2
y x 2x
y x 4x
  

  
 d/ 








1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC x
e/ 






ex
e
x
yxy
,
1
0,ln
 f/ y = 4x – x2 (P) và tiếp tuyến của (P) đi qua M(5/6;6) 
g/ 












ex
y
x
y
xy
0
1
 h/ 








xx
y
xxy
;0
3
cos2sin
 i/ 






0
2
3
y
x
xy
7.3. 
1. Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0. Tính thể tích khối tròn 
xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
2. Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0    . Tính thể tích khối tròn xoay 
được tạo nên do D quay quanh trục Oy. 
3. Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2y (x 2)  và y = 4. Tính thể tích khối tròn xoay được 
tạo nên do D quay quanh: 
 a) Trục Ox 
 b) Trục Oy 
4. Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 24 ; 2y x y x    . Tính thể tích khối tròn xoay được 
tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
5. Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
2
2
1
;
1 2
x
y y
x
 

. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo 
nên do D quay quanh trục Ox. 
6. Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4. Tính thể tích khối tròn xoay được 
tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
7. Cho miền D giới hạn bởi các đường y2 = 4x và y = x. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo 
nên do D quay quanh trục Ox. 
 22 
8. Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 22
1
.
x
ex ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2. Tính thể tích khối tròn 
xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
9. Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e. Tính thể tích khối tròn 
xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
10. Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x )1ln( 3x ; y = 0 ; x = 1. Tính thể tích khối tròn 
xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. 
---------------------------------- 
 23 
§8. ÔN TẬP CHƯƠNG III 
 
Bài 1. Tính:  
1 22
0
x x 1 dx 
Bài 2. Tính: 
 a/  
1 4
2 3
1
x 1 x dx

 b/ 
2
1
30
3x
dx
x 1
 c/ 2
20
sin 2x
dx
4 cos x


Bài 3. Tính: 
 a/  
ln 2 2
x x
0
e 1 e dx b/ 
2
e
1
ln x
dx
x
Bài 4. Tính: 
 a/ 
2
21
2x
dx
x 1
 b/ 
 x xln 5
xln 2
e 1 e
dx
e 1


 c/ 
e
1
4 5ln x
dx
x

 
Bài 5. Tính: 
 a/ 
1
x
0
(2x 1)e dx b/ 20 (2x 1)cos xdx

 
Bài 6. Tính: 
 a/ 
0
x(1 cos x)dx

 b/ 
22
0
(x sin x)cos xdx

 
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 
22x 10x 12
y
x 2
 


 và trục hoành. 
Bài 8. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 3 2
1
y x x
3
  , 
trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 quanh trục Ox. 
----------------------------------- 
 24 
CHƯƠNG IV. 
SỐ PHỨC 
§1. SỐ PHỨC 
 
I. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC 
Mỗi biểu thức có dạng a +bi, trong đó a, b  R, 2i 1  đgl một số phức. 
Đối với số phức z = a + bi ta nói: a là phần thực của z, kí hiệu là Re(z), 
 b là phần ảo của z, kí hiệu là Im(z), 
 i là đơn vi ̣ảo. 
Tập hợp số phức kí hiệu là C. 
Ví dụ: 2 + 5i; 2 3i;  1 – 3i; 1 + i 3 
II. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU 
Hai số phức bằng nhau nếu pt và pa của chúng tương ứng bằng nhau. 
a c
a bi c di
b d

    

Ví dụ: Tìm các số thực x, y biết: (3x +2) + (2y – 1)i = (x + 4) + 3i 
Chú ý: 
 Mỗi số thực a được coi là một số phức với pa bằng 0: a = a + 0i. 
 Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có: R  C. 
 Số phức 0 + bi được coi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi. Đặc biệt, I = 0 + 1.i. Số i 
đgl đơn vị ảo. 
III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 
Điểm M(a;b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng đgl 
điểm biểu diễn của số phức z = a + bi. 
Ví dụ: Điểm A(3;2) biểu diễn số phức 3 + 2i. 
 Điểm B(2;-3) biểu diễn số phức 2 - 3i. 
 Điểm C(-3;-2) biểu diễn số phức -3 - 2i. 
 Điểm D(0;3) biểu diễn số phức 3i. 
IV. MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC 
 Môđun của số phức z = a + bi là một số thực không âm, kí hiệu là z và 2 2z a b  . 
Ví dụ: 3 2i ...  
V. SỐ PHỨC LIÊN HỢP 
Số phức liên hợp của z = a + bi kí hiệu là z và z a bi  
Ví dụ: z =  
VI. VÍ DỤ 
Cho số phức z = 3 – 2i. 
a/ Xác định pt và pa của z. 
b/ Tìm số thực x, y thỏa: (4x – 2) + (5 – 2y)i = z. c/ Tính môđun của z. 
d/ Xác định số phức liên hợp của z. e/ Biểu diễn z lên mptđ. 
-------------------------------- 
 25 
§2. CỘNG – TRỪ – NHÂN – CHIA SỐ PHỨC 
 
I. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ 
Cho hai số phức a + bi và c + di, ta có: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 
Ví dụ: Cho z1 = 2 - 3i, z2 = 5 - 4i, z3 = 4 + 3i. Tính z1 + z2 , z1 - z3 , z2 - z3. 
 II. PHÉP NHÂN 
Cho hai số phức a + bi và c + di, ta có: (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i 
Ví dụ 1: Cho z1 = 2 - 3i, z2 = 5 - 4i, z3 = 4 + 3i. Tính z1.z2 , z1.z3. 
Ví dụ 2: Tính (3 + 2i)(3 – 2i) 
Chú ý: 
 Ta có thể sử dụng cách thức cộng, trừ, nhân hai số phức như 2 nhị thức với i2 = -1 
hoặc sử dụng công thức để thực hiện phép tính. 
 Các phép toán cộng, trừ, nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và 
phép nhân các số thực.