Câu 1 (2,5 điểm).
Cho biểu thức
a) Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn A.
b) Tìm giá trị của x để giá trị của A <>
Câu 2 (2,5 điểm).
a) Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015.
Câu 3 (1,0 điểm).
Cho các số: x, y, x thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2014 + y2014 + z2014 = 3.
Tính giá trị của biểu thức: P = x25 + y4 + z2015.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C, kẻ CH BN (H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Họ và tên thí sinh: ...................................................................... SBD: ............................................ KHẢO SÁT NĂNG KHIẾU HỌC SINH - LỚP 8 Đề thi môn: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm). Cho biểu thức a) Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để giá trị của A < -1. Câu 2 (2,5 điểm). Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015. Câu 3 (1,0 điểm). Cho các số: x, y, x thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2014 + y2014 + z2014 = 3. Tính giá trị của biểu thức: P = x25 + y4 + z2015. Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. Chứng minh: ∆OEM vuông cân. Chứng minh: ME // BN. Từ C, kẻ CH BN (H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. Câu 5 (1,0 điểm). Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) (với k N*). Chứng minh rằng: 4S + 1là bình phương của một số tự nhiên. --- HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI Câu Nội dung Điểm 1a. ĐKXĐ: x ≠ -3;0;3 A = 0,5 1 1b Với x ≠ {-3;0;3} ta có: Kết hợp với điều kiện ta có 0 < x ≠ 3 thì A < -1 0,5 0,5 2a. x3 - 3x - 2 = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0 (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0 x = 2; x = - 1 0,5 0,5 2b. P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 0,5 0,5 0,5 3. Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + zx) (x - y )2 +( y – z)2 + (z – x)2 = 0 x = y = z Thay vào biểu thức: x2014 + y2014 + z2014 = 3 => x = y = z = 1 Với x = y = z = 1 thi P = 3 Với x = y = z = -1 thì P = -1 0,25 0,25 0,25 0,25 4a Xét ∆OEB và ∆OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC Và BE = CM ( gt ) Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) 0,5 OE = OM và Lại có vì tứ giác ABCD là hình vuông kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O 0,5 4b Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD 0,25 + AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*) 0,25 Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) 0,25 Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét) 0,25 4c Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN ( cặp góc đồng vị) Mà vì ∆OEM vuông cân tại O ∆OMC ∆BMH’ (g.g) 0,25 ,kết hợp ( hai góc đối đỉnh) 0,25 ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 0,25 Vậy Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (điều phải chứng minh) 0,25 5 Ta có: k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 0,5 => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 0,25 Mặt khác k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1 = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2 Suy ra điều phải chứng minh. 0,25
Tài liệu đính kèm: