Khóa luận Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

i tập cần được sắp xếp từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển các kỹ năng bậc cao.
Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập toán khác nhau: hình thức rèn kỹ năng giải bằng lời, dưới dạng viết, bằng thực nghiệm.
Luyện tập thường xuyên: Mỗi kĩ năng giải phải được hình thành và được học sinh làm thành thạo vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kỹ năng giải trong học giải toán ở lớp cũng như tự học ở nhà.
1.3. Một số yêu cầu về rèn luyện kỹ năng giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Kỹ năng giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối gồm: kỹ năng xây giải và kỹ năng chi tiết hóa các bước giải.
Yêu cầu về giải trong giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối: cần phải rõ ràng mạch lạc, logic. Đây chính là định hướng cho các bước giải cụ thể.
Yêu cầu về chi tiết hóa các bước giải phải đáp ứng được yêu cầu lời giải:
Các bước giải phải không có sai lầm.
Lập luận phải logic, phải có căn cứ chính xác, cô đọng xúc tích.
Các bước phải đầy đủ, gọn gàng dễ hiểu.
Ngoài các yêu cầu trên thì chi tiết hóa các bước giải cần phải đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lý nhất.
Để giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối học sinh cần phải xây dựng được các bước giải cụ thể là:
Bước 1: Phải tìm điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa.
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối:
Cần rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy logic, khả năng vận dụng sáng tạo lý thuyết vài bài toán cụ thể hình hình thành mối liên hệ giữa yêu cầu bài toán và xây dựng phương pháp phá dấu trị tuyệt đối:
Dựa vào định nghĩa để phá dấu trị tuyệt đối là một cách làm thông thường mà học sinh có thể dễ dàng hình dung ra.
Đặt ẩn phụ là một phương pháp quen thuộc mà học sinh thường làm khi giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. Tuy nhiên đối với phương trình chứ dấu trị tuyệt đối thì học sinh thường thấy lúng túng trong quá trình biến đổi để có thể sử dụng phương pháp này. Vì vậy đòi hỏi giáo viên cần phải tạo cơ hội cho học sinh làm nhiều dạng bài tập mà có thể sử dụng phương pháp này.
Bước 3: Giải phương trình.
Đây là những phương trình quen thuộc mà học sinh đã được biết cách giải nhưng cần phải rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình, có thể biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ quả. Cần lưu ý khi biến đổi hệ quả sau khi tìm nghiệm của phương trình thì cần phải thử lại nghiệm rồi mới kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
Bước 4: Kết luận nghiệm.
Sau khi giải phương trình tìm được nghiệm thì phải kết luận nghiệm của phương trình ban đầu mà có chứa trị tuyệt đối.
Vì vậy rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy toán học vận dụng những cái đã biết vào những cái chưa biết để xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh khả năng xây dựng các bước giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối đây cũng chính là bước đầu giúp học sinh có những kỹ năng định hướng tốt về lời giải bài toán và giải bài toán chính xác, khoa học.
1.4. Một số kỹ năng cơ bản trong việc xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Kỹ năng xây dựng cách giải bài tập toán, đặc biệt là xây dựng cách giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối bao gồm hệ thống các thao tác trí tuệ và thực hành để vận dụng tri thức (kiến thức, phương pháp) vào việc giải các bài tập khác nhau.
Trong quá trình xây dựng cách giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối khi phá dấu trị tuyệt đối thường có các kỹ năng cơ bản sau:
Kỹ năng vận dụng định nghĩa để xây dựng cách giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Kỹ năng sử dụng tính chất của trị tuyệt đối.
Kỹ năng đánh giá một phương trình đặc biệt là phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Kỹ năng chuyển bài toán sang bài toán biện luận số nghiệm của một phương trình.
Kỹ năng chuyển hóa bài toán sang một bài toán mới với một ẩn mới.
Vận dụng định nghĩa để biến đổi nhằm xác định bước giải hoặc chi tiết hóa cách giải trong từng bước giải.
Cần rèn luyện cho học sinh khả năng biến đổi tương đương dựa vào định nghĩa của trị tuyệt đối:
Định nghĩa của các giá trị tuyệt đối:
Như vậy việc phá dấu trị tuyệt đối trong phương trình dựa vào định nghĩa là điểm xuất phát trong việc biến đổi phương trình để giải toán.
1.4.2. Kỹ năng sử dụng tính chất của trị tuyệt đối.
Một khâu mấu chốt khác nữa mà ta cần rèn luyện cho học sinh là kỹ năng sử dụng tính chất của dấu trị tuyệt đối để phá dấu trị tuyệt đối:
Biến đổi phương trình về 1 trong 4 tính chất đã biết:
Tính chất 1: 
Tính chất 2: 
Tính chất 3: 
Tính chất 4: 
1.4.3. Kỹ năng đánh giá phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
Rèn luyện cho học sinh khả năng đánh giá mà điểm mấu chốt là rèn luyện kỹ năng vận dụng các bất đẳng thức quan trọng như Côsi, Bunhiacôpski hay bất đẳng thức trong tam thức bậc hai vào việc đánh giá để phá dấu trị tuyệt đối. 
1.4.5. Khái quát hóa một số kết quả vận dụng vào bài toán tổng quát hơn.
Thông qua việc học sinh vận dụng những kiến thức về dấu trị tuyệt đối để giải các phương trình khác như phương trình chứa căn thức mà có thể quy về phương trình chứa dấu trị tuyệt đối hay việc chỉ ra điều kiện để phương trình vô nghiệm, phương trình có nghiệm, phương trình có 2 nghiệm phân biệt, người thầy giáo cần tận dụng cho học sinh được rèn luyện khả năng phân tích tổng hợp, khái quát hóa.
Cần cho học sinh phát hiện sự tương tự giữa các bài toán từ đó có cái nhìn khái quát về những kiến thức trị tuyệt đối tương ứng.
1.5. Những khó khăn sai lầm của học sinh khi tìm phương pháp giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Hầu hết học sinh đều nắm được định nghĩa của phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. Tuy vậy khi giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối học sinh vẫn mắc những sai lầm và gặp phải một số khó khăn.
Mặc dù phương trình chứa dấu trị tuyệt đối học sinh đã được học ở lớp dưới nhưng học sinh vẫn lúng túng khi xây dựng cách giải và chưa nắm được các tính chất của phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, do đó vì học sinh chưa hiểu rõ bản chất các tính chất nên dễ ngộ nhận mắc sai lầm khi xây dựng chương trình giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Khó khăn thứ hai là trong quá trình phá dấu trị tuyệt đối bằng cách sử dụng định nghĩa học sinh không hiểu rõ bản chất nên thường công nhận công thức có sẵn mà trong sách đưa ra nên trong quá trình xây dựng chương trình giải gặp phải khó khăn và dễ mắc sai lầm.
Hầu hết học sinh chưa biết nhiều đến phương pháp đánh giá nên khi giáo viên đưa ra những phương pháp trên khiến học sinh lúng túng và chưa biết cách vận dụng. Vì vậy cần phải cho học sinh làm nhiều dạng bài tập sử dụng những phương pháp này.
Khó khăn tiếp theo là: Tuy sách giáo khoa cũng đã giới thiệu về phương pháp đồ thị nhưng học sinh vẫn chưa hiểu rõ được bản chất chưa biết cách vẽ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. Vì vậy cần rèn luyện cho học sinh khả năng vẽ đồ thị đặc biệt là đồ thị có chứa dấu trị tuyệt đối.
CHƯƠNG II. KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
2.1. Các kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối
2.1.1. Định nghĩa:
* Định nghĩa 1 (lớp 6):
Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là , là khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc O trên trục số (hình 1).
-a
0
a
-a
a
Hình 1
Ví dụ 1:
 = 3 a = 
Do đó đẳng thức đã cho được nghiệm đúng bởi hai số tương ứng với hai điểm trên trục số (hình 2).
-3
0
3
Hình 2
Tổng quát: 
Ví dụ 2:
-3
0 
3
Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn [-3;3] và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [-3;3] (hình 3)
Hình 3
Ví dụ 3: 
-3
3
Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (-; - 3] và [3; + ) và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tương ứng với các khoảng số đó (hình 4).
Hình 4
* Định nghĩa 2 (lớp 7,8,9):
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, kí hiệu là:
Ví dụ 1: 
* Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí hiệu là:
Ví dụ 2: 
2.1.2. Tính chất.
Tính chất 1: 0 a
Tính chất 2: = 0 a = 0
Tính chất 3: - a 
Tính chất 4: = 
 Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối người ra dễ thấy được các tính chất trên.
Tính chất 5: 
Thật vậy: - a ; - a 
-( +) a + b +
Tính chất 6:
 - 
Thật vậy: = 	(1)
 	 (2)
Từ (1) và (2) đpcm.
Tính chất 7:
Thật vậy: 	(1)
 	(2)
 	(3)
Từ (1), (2) và (3) 	(4)
 	(5)
Từ (4) và (5) đpcm.
Tính chất 8:
Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0 
 (1)
a > 0 và b > 0 = a, = b và a.b > 0
 (2)
a 0
 (3)
a > 0 và b < 0 = a, = -b và a.b < 0
	(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
Tính chất 9:
Thật vậy: a = 0 (1)
 a > 0 và b > 0 = a, = b và (2)
 a < 0 và b < 0 = -a, = -b và (3)
 a > 0 và b < 0 = a, = -b và 	(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
2.2. Các dạng cơ bản và kĩ năng giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trước tiên học sinh cần nắm chắc được các tính chất của giá trị tuyệt đối. Làm các bài tập đơn giản với sự hướng dẫn của giáo viên. Sau đó làm các bài tập nâng cao và bài tập đòi hỏi sự tư duy của học sinh.
Cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối (chủ yếu là định nghĩa về giá trị tuyệt đối của 1 số, 1 biểu thức) để đưa bài toán trên về bài toán trong đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối để có thể tiến gần các phép tính đại số quen thuộc.
Xuất phát từ kiến thức trên người ta phát triển thành yêu cầu giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ta có thể chia phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các dạng như sau: 
Dạng 1: Phương trình: , với k là hằng số không âm.
Dạng 2: Phương trình: .
Dạng 3: Phương trình: .
Dạng 4: Phương trình: f () = a.
Dạng 5: Phương trình: f () = g(x).
Dạng 6: Phương trình: |f(x)| + |g(x)| = a.
2.2. Các kỹ năng giải một số dạng phương trình chứa dấu trị tuyệt đối cơ bản.
2.2.1. Kỹ năng xây giải phương trình: |f(x)| = k ( k là hằng số không âm)
Để giải phương trình |f(x)| = k ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần)
Bước 2: Khi đó nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 1: Phương pháp giải phương trình: a. |2x – 3| = 1 (*)
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI:
Bước 1: Tìm điều kiện (ở đây không cần )
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối: phá dấu trị tuyệt đối 1 lần ở vế trái. 
Biến đổi phương trình 
Đây là phương trình bậc nhất một ẩn học sinh đã biết cách giải.
Giải phương trình (1) và (2)
Bước 3: Kết luận nghiệm của (*)
Giải:
Ta có: 
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 2
b. | 2 x 2 - 4 x + 5 | = 3 (2*)
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI: Đây là phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng |f(x)|= k với f ( x ) = x 2 - 4 x + 5 và k = 3
Bước 1: Tìm điều kiện (ở đây không cần ).
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối
Biến đổi phương trình: 
Đây là tuyển của 2 phương trình bậc hai một ẩn mà học sinh đã biết cách giải.
Giải tuyển của 2 phương trình.
Bước 3: Kết luận nghiệm của (2*)
Giải:
Ta có: 
(Vô nghiệm)
Bài tập củng cố:
Giải phương trình sau:
a, 
b, 
c, 
d, 
e, 
f, 
2.2.2. Kỹ năng xây dựng cách giải phương trình: |f(x)|=|g(x)|
Để giải phương trình|f(x)| = |g(x)| ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đó nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 1: Phương pháp giải phương trình:
a, (*)
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI: Phương trình để ở dưới dạng
 |f(x)| = |g(x)|
Bước 1: Tìm điều kiện (ở đây không cần )
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối: phá dấu trị tuyệt đối 1 lần ở vế trái. 
Biến đổi phương trình 
Đây là phương trình bậc nhất một ẩn học sinh đã biết cách giải.
Giải phương trình (1) và (2)
Bước 3: Kết luận nghiệm của (*)
Giải:
Vậy phương trình (*) có nghiệm là x=-6 và x=0
b. 
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI: Phương trình đều ở dưới dạng
|f(x)| = |g(x)| với và 
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa
Đặt điều kiện để có nghĩa
Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối:
Đây là tuyển của 2 phương trình bậc nhất và bậc hai mà học sinh đã biết cách giải.
Giải tuyển 2 phương trình
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình
Giải: Điều kiện xác định của phương trình là 
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x=1
c. Giải và biện luận phương trình.
 (*)
CHƯƠNG TRÌNH GIẢI: Phương trình trên là phương trình chứa dấu trị tuyệt đối cơ bản dạng |f(x)| = |g(x)| với f m (x ) = x 2 - 2mx - 2m và 
g(x ) = x2 +2x
Bước 1: Tìm điều kiện của phương trình ( ở đây không cần)
Bước 2: Phá trị tuyệt đối.
Phá trị tuyệt đối cần phải lưu ý ở đây phương trình có chứa tham số m.
Biến đổi phương trình:
Bước 3: Giải và biện luận phương trình (1) và (2) với ẩn x
+) Giải và biện luận (1)
Đây là phương trình bậc nhất với tham số m
Ta xét các trường hợp sau :
Với m+1=0 ó m =-1 Suy ra phương tŕnh (1) có dạng 0=1 (vô lư) thì kết luận phương trình vô nghiệm
Với thì kết luận nghiệm của phương trình (1) là 
+) Giải và biện luận (2)
Đây là phương trình bậc 2 với tham số m
Tính (với mọi m) th́ phương tŕnh có 2 nghiệm phân biệt là: 
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương tŕnh (*)
Giải: Ta có:
+) Giải và biện luận (1)
Với m + 1=0 ó m =-1 ð phương tŕnh (1) có dạng 0=1 (vô lư)
ð phương trình (1) vô nghiệm
Với thì nghiệm của phương trình (1) là 
+) Giải và biện luận (2)
Xét (với mọi m) th́ phương tŕnh có 2 nghiệm phân biệt là: 
Vậy với m = - 1thì phương trình có nghiệm x = -1
với m -1 thì phương trình có 3 nghiệm 
Bài tập củng cố:
Giải các phương trình sau:
a, 
	b, |x - 3,5| = |4,5 - x|
c, 
d, 
Giải và biện luận phương trình sau:
 = , với m là tham số.
, với m là tham số.
2.2.3. Kỹ năng xây dựng cách giải phương trình |f(x)| = g(x)
Để giải phương trình |f(x)| = g(x) ta thực hiện theo các cách sau:
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: (Phá dấu giá trị tuyệt đối). Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu f(x) 0 (1)
Phương trình có dạng: f(x) = g(x) ð nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1)
	- Trường hợp 2: Nếu f(x) <0 (2)
	Phương trình có dạng: - f(x) = g(x) ð nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)
Hoặc viết dưới dạng: 
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Cách 2: Thực hiện các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định nếu cần và g(x) ≥ 0
Bước 2: Khi đó: Nghiệm x
	Hoặc viết dưới dạng: 
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình: .
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI: Đây là phương trình dạng |f(x)|=g(x) với f(x) = x + 4 và g(x) = 5 - 3x
Ở đây ta có thể sử dụng hướng biến đổi của cách 1 và cách 2
Cách 1:
Bước 1: Tìm điều kiện (ở đây không cần)
Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối.
	 Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu x + 4 ≥ 0 x ≥ -4 (1)
Phương trình có dạng: x + 4 + 3x = 5 4x = 1 x = (thỏa mãn điều kiện (1))
- Trường hợp 2: Nếu x + 4 < 0 x < - 4 (2)
Phương trình có dạng: -x – 4 + 3x = 5 2x = 9 x = (không thỏa mãn điều kiện (2)) 
Bước 3: Vậy nghiệm của phương trình là x = .
Cách 2:
Bước 1: Tìm điều kiện:
Biến đổi phương trình: 
	Với điều kiện: - 3x + 5 0 - 3x - 5 x (*)
Bước 2: 
 Khi đó phương trình được biến đổi là:
(thỏa mãn (*))
(không thỏa mãn (*))
Bước 3: Vậy nghiệm của phương trình là: x = .
Giải:
Cách 1:
	 Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu x + 4 ≥ 0 x ≥ -4 (1)
Phương trình có dạng: x + 4 + 3x = 5 4x = 1 x = (thỏa mãn điều kiện (1))
- Trường hợp 2: Nếu x + 4 < 0 x < - 4 (2)
Phương trình có dạng: -x – 4 + 3x = 5 2x = 9 x = (không thỏa mãn điều kiện (2)) 
Vậy nghiệm của phương trình là x = .
Cách 2: Với điều kiện: - 3x + 5 0 - 3x - 5 x (*)
Ta có
(không thỏa mãn (*))
(thỏa mãn (*))
Vậy nghiệm của phương trình là: x = .
Ví dụ 2: Xây dựng cách giải phương trình 
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI: Đây là phương trình dạng |f(x)|=g(x)
Bước 1: Tìm điều kiện
Bước 2 Phá dấu trị tuyệt đối và giải
Biến đổi phương trình 
(vô nghiệm)
Cách 1: 
Cách 2:
(vô nghiệm)
Bước 3: Kết luận nghiệm.
Giải: 
(vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình là 
Lưu ý:
Qua ví dụ trên các em học sinh sẽ thấy rằng cả hai cách giải đều có độ phức tạp như nhau. Vậy trong trường hợp nào cách 1 sẽ hiệu quả hơn cách 2 và ngược lại.
Khi vế phải là một biểu thức không là đa thức có bậc 1 ta nên sử dụng cách 1 vì khi sử dụng cách 2 thì việc tìm x thỏa mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp hơn.
Khi biểu thức trong trị tuyệt đối ở dạng phức tạp thì không nên sử dụng cách 1 vì sẽ gặp khó khăn trong việc đi giải bất phương trình f(x) 0 và f(x) 0.
Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục bằng cách không đi giải điều liện mà cứ thực hiện các bước biến đổi phương trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối chiếu.
Đối với một số dạng phương trình đặc biệt khác ta cũng sẽ có những cách giải khác phù hợp chẳng hạn như phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức Côsi.
Bài tập củng cố:
Giải các phương trình sau
a, 
b, 
c, 
d, 
e, 
Giải và biện luận phương trình sau:
2.2.4. Kỹ năng xây dựng cách giải phương trình f(|x|)=a
* CHƯƠNG TRÌNH GIẢI: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để f () xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đó f () = a nghiệm x
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm của phương trình.
* Chú ý: Hàm số F=f(|x|) – a là hàm số chẵn, cho nên nếu là nghiệm của phương trình đã cho thì - cũng là nghiệm của nó. Vì vậy thay việc phải giải tuyển hai phương trình trên ta chỉ giải một hệ và suy ra nghiệm của tuyển, tức là nghiệm của phương trình đã cho.
(vô nghiệm)
*Một số ví dụ:
Ví dụ 1 : Xây dựng cách giải phương trình sau: x 2 - | x |= 6
CHI TIẾT HÓA BƯỚC GIẢI: Đây là phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng f(|x|)=a
Bước 1: Tìm điều kiện của phương trình (không cần)
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối và chú ý để phá trị tuyệt đối: 
Ta giải : x 2 - | x |= 6 ( với x 0) (1)
Bước 3: Kết luận nghiệm.
Giải: 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=3; x=-3
Ví dụ 2: Xây dựng cách giải phương trình sau: 2 x2 -| - x + 3 | =0
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI:
Bước 1: Tìm điều kiện cho phương trình( không cần).
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối:
Do 2 x2 -| - x + 3 | là hàm chẵn nên giải phương trình:
 2 x2 -( - x + 3 ) = 0 (với x 0) để tìm nghiệm và suy ra nghiệm còn lại.
Bước 3: Kết luận nghiệm.
Giải:
 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=1; x=-1
Bài tập củng cố :
Giải các phương trình sau :
a, 
b, 
c, 
d, 
2.2.5. Kỹ năng xây dựng cách giải phương trình dạng f(|x|)=g(x)
* CHƯƠNG TRÌNH GIẢI:
Để giải phương trình |f(x)| = g(x) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để f() xác định (nếu có).
Bước 2: Khi đó f () = g(x) nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
* Một số ví dụ
Ví dụ 1: Xây dựng cách giải phương trình: x 2 - | x |= x -1
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI:
Bước 1: Đặt điều kiện cho phương trình. Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối.
Giải (1) và (2)
(Vô nghiệm)
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình
Giải:
(vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm là x=1
Ví dụ 2: Xây dựng cách giải phương trình 
CHI TIẾT HÓA BƯỚC GIẢI:
Bước 1: Tìm điều kiện Điều kiện: x 0
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối
(vô nghiệm)
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình.
Giải: Đặt điều kiện: x 
(vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình là: 
Bài tập củng cố
Giải các phương trình sau:
a, 
b, 
c, 
d, 
e, 
2.2.6. Kỹ năng xây dựng cách giải phương trình dạng:
 (với k là hằng số không âm)
* CHƯƠNG TRÌNH GIẢI: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định các biểu thức trong phương trình.
Bước 2: Lập bảng phá dấu các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa
vào định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
Sắp xếp các nghiệm của các phương trình vào bảng phá dấu trị tuyệt đối sau đó phá dấu trị tuyệt đối của các biểu thức trong từng khoảng.
Giải ( hoặc biện luận ) trên mỗi khoảng.
Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Điều kiện xác định của phương trình là x -1
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đặt t = điều kiện t 0
Khi đó (1) 
Vậy nghiệm của phương trình là x = - 4 và x = 2
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
VT = =2
Ta thấy dấu bằng xảy ra (Tức là ) 
khi 
Vậy nghiệm của phương trình là x = - 4 và x = 2
Đối với những phương trình có từ giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối. Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x làm mốc để xác định biểu thức trong trị tuyệt đối âm hay không âm. Những giá trị x này sẽ chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số các trị tuyệt đố là 1. Khi đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình tìm được.
Ví dụ 2: Giải phương trình + = 2
Ta thấy x - 1 0 x 1
 x - 3 0 x 3
Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trường hợp.
+Trường hợp 1: Nếu x < 1
 Khi đó phương trình có dạng: 
 - x + 1 - x + 3 = 2 -2x = - 2 x = 1 (không t/m đk)
+Trường hợp 2: Nếu 1 x < 3.
 Khi đó ta có phương trình:
 x - 1 - x + 3 = 2 0x = 0 luôn đúng => 1 x < 3 là nghiệm.
+ Trường hợp 3: Nếu x 3 
 Khi đó phương trình có dạng: 
 x - 1 + x - 3 = 2 2x = 6 x = 3 (t/m đk)
 Vậy nghiệm của phương trình là 1 x 3
Ví dụ 3 : Xây dựng chương trình giải phương trình: |x-1|+|x-3|+|x-5|= 4
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚC GIẢI: Đây là phương trình dạng với 
Bước 1: Tìm điều kiện của phương trình.
Bước 2: Phá dấu trị tuyệt đối
Ta có bảng sau:
x
- 
1
3
5
+ 
x-1
-x+1
x-1
x-1
x-1
x-3
-x+3
-x+3
x+3
x-3
x-5
-x+5
-x+5
-x+5
x-5
Phương trình 
-3x+9=4
-x+7=4
x+1=4
3x - 9=4
Nghiệm
 x=3
x=3
Giải phương trình trên các khoảng (-; 1); [1;3); [3;5]; (5;+)
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình
Giải:
Ta có: 
Ta có bảng sau:
x
- 
1
3
5
+ 
x-1
-x+1
x-1
x-1
x-1
x-3
-x+3
-x+3
x+3
x-3
x-5
-x+5
-x+5
-x+5
x-5
Phương trình 
-3x+9=4
-x+7=4
x+1=4
3x - 9=4
Nghiệm
 x=3
x=3
Kết luận nghiệm của phương trình.
x 1 nghiệm của phương trình là (không thỏa mãn)
 nghiệm của phương trình là x = 3 (thỏa mãn)
x > 5 nghiệm của phương trình là (không thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Ví dụ 4: Xây dựng cách giải phương trình:
CHI TIẾT HÓA CÁC BƯỚ