Một hướng chứng minh các bất đẳng thức dạng phân thức

Một hướng chứng minh các bất đẳng
thức dạng phân thức 
Nguyễn Thanh Toàn – THCS Vũ Vân – Vũ Thư – Thái Bình
Trong một cuốn sách lớp 8 có bài toán: 
	Chứng minh bất đẳng thức : (*) với a, b, c là ba số dương.
ở bài viết này tôi xin trình bày một hướng vận dụng kết quả của bài toán trên vào chứng minh một số bất đẳng thức có dạng phân thức
Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số dương, chứng minh: 
Giải: 
Chia hai vế của (*) cho b được: 
 Tương tự ta có: 
 Cộng các vế của các bất đẳng thức trên thu được:
 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c 
Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba số dương, chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Từ kết quả (*) chia hai vế cho tích a.b được:
 tương tự ta có:
Cộng các vế của các bất đẳng thức trên được:
hay Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 3: Cho a, b, c là ba số dương, chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Từ kết quả (*) cộng vào hai vế với abc được:
Suy ra: tương tự có:
Cộng vế các bất đẳng thức trên và quy đồng vế phải thu được:
Û 
Suy ra: Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số dương, chứng minh:
Giải: 
Với a, b dương ta có: dấu bằng xảy ra khi a = b Kết hợp với (*)
 Nhân hai vế của hai bất đẳng thức trên thu được: (**)
 Chia hai vế của (**) cho b2 được: tương tự có:
 Cộng vế các bất đẳng thức trên và thu gọn ta được:
 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức sau:
 với a, b, c là ba số dương
Giải:
 Từ (**) chia hai vế cho b3 được: 	 tương tự có:
Cộng vế và thu gọn ta được: . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 6: Chứng minh bất đẳng thức sau:
 với a, b, c là ba số dương
Giải:
 Từ (**) chia hai vế cho a2b2 được: tương tự ta có:
 Cộng các vế của các bất đẳng thức trên được:
 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau:
 với a, b, c là ba số dương
Giải:
 Cộng vào hai vế của (**) với ab thu được: 
Suy ra:	 
Û (Vì abc = 1 )
Tương tự ta có: 
 Cộng các vế của các bất đẳng thức trên được:
. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Bài tập luyện:
Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c là các số dương
1/ 
2/ 
3/ 
Điều cuối cùng mà tác giả bài viết này muốn nói là nếu khéo léo vận dụng thì kết quả của bài toán lại định hướng cách giải cho bài toán khác, rất mong được trao đổi cùng bạn đọc vấn đề này
Nguyễn Thanh Toàn – THCS Vũ Vân – Vũ Thư – Thái Bình