Một số bài toán thực tế liên quan đến hàm số mũ - Logarit

Một số bài toán thực tế liên quan đến hàm số mũ - logarit
I. 	Các dạng toán về lãi suất ngân hàng:
1. 	Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra.
a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng đồng với lãi đơn /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau kì hạn ( ) là: 
	 	(0.1)
Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ là .
b) Ví dụ: Chú Nam gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng với lãi đơn 5%/năm thì sau 5 năm số tiền chú Nam nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Giải:
Số tiền cả gốc lẫn lãi chú Nam nhận được sau 5 năm là: (triệu đồng)
2. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng đồng với lãi kép /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau kì hạn ( ) là: 
	 	(0.2)
Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được: 
	 	(0.3)
	 	(0.4)
	 	(0.5)
b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm.
a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.
b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép /tháng thì sau 10 năm chú Việt nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn?
Ví dụ 2: 
Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ?
Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì bạn An sẽ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tình lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn, lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu chưa đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng dư so với kỳ hạn sẽ được tính theo lãi suất không kỳ hạn.
Ví dụ 3: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng? 
3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.
a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền đồng với lãi kép /tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau tháng ( ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là .
Ý tưởng hình thành công thức:
Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là 
Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền đồng thì số tiền là 
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là 
Từ đó ta có công thức tổng quát 
	 	(0.6)
Chú ý: Từ công thức (1.6) ta có thể tính được: 
	 	(0.7)
	 	(0.8)
b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Sau 10 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi ngân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?
Ví dụ 2: Ông Nghĩa muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ khi gửi ngân hàng với lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi số tiền ít nhất bao nhiêu?
Ví dụ 3: Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng ( khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh Thắng được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?
Ví dụ 4: Đầu mỗi tháng bác Dinh gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng sau 1 năm bác Dinh nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 40 triệu. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?
4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng: 
a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là đồng với lãi suất /tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là đồng. Tính số tiền còn lại sau tháng là bao nhiêu? 
Ý tưởng hình thành công thức:
Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là và sau khi rút số tiền còn lại là 
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là 
và sau khi rút số tiền còn lại là 
Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau tháng là 
	 	(0.9)
Chú ý: Từ công thức (9) ta có thể tính được:
	 	(0.10)
b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến đến ngân hàng rút 300 nghìn đồng để chi tiêu. Hỏi sau 2 năm số tiền anh Chiến còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?
Ví dụ 2: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến rút một số tiền như nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng anh Chiến rút là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?
5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là đồng với lãi suất /tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là đồng và trả hết tiền nợ sau đúng tháng.
a) Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có
	 	(0.11)
Để sau đúng tháng trả hết nợ thì nên
	 	(0.12)
và 
	 	(0.13)
b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chị Năm vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng trong vòng 2 năm thì mỗi tháng chị Năm phải trả số tiền bao nhiêu?
Ví dụ 2: 
a) Ạnh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng , mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ?
b) Mỗi tháng anh Ba gửi vào ngân hàng số tiền 15 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng thì sau thời gian trả nợ ở câu a), số tiền cả gốc lẫn lãi anh Ba nhận được là bao nhiêu?
6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là đồng/tháng. Cứ sau tháng thì lương người đó được tăng thêm /tháng. Hỏi sau tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu? 
Công thức tính: Tổng số tiền nhận được sau tháng là 	(0.14)
Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì lương người đó được tăng thêm /tháng. Hỏi sau 36 năm người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu? 
Giải:
đồng
III. 	Một sô bài toán tăng trưởng (suy giảm)mũ
1. Bài toán lãi kép liên tục 
Gửi vào ngân hàng đồng với lãi kép /năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau năm là: . Giả sử ta chia mỗi năm thành kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là thì số tiền thu được sau năm là 
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là: 	(3.1)
Công thức (3.1) còn gọi là công thức tăng trưởng mũ (khi r dương), suy giảm mũ (khi r âm)
Ví dụ 1: gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8%/ năm. Sau hai năm số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu nếu tính lãi theo các định kỳ sau đây.
a) 1 năm
b) 6 tháng
c) quý
d) tháng
e) tuần.
 2. Bài toán tăng trưởng dân số
Dạng 1. Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ .
Với A là dân số tại thời điểm lấy làm mốc, n là số năm, r là tỉ lệ tăng dân số tự nhiên theo năm. S là số dân sau n năm. 
Ví dụ 1: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2013 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người. Khi đó dự đoán dân số thế giới năm 2020 sẽ là bao nhiêu?
Ví dụ 2: Biết rằng đầu năm 2010, dân số Việt Nam là 86932500 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được tính theo công thức tăng trưởng mũ. Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người? Đến năm nào thì dân số VN tăng gấp đôi so với năm 2010.
Ví dụ 3. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức (3.1). A là số vi khuẩn ban đầu, t là thời gian tăng trưởng, r là tỉ lệ tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu là 100 con, sau 5 giờ là 300 con. Hỏi 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn. Sau bao lâu thì số vi khuẩn tăng gấp đôi ban đầu?
Dạng 2. Công thức tính tăng trưởng dân số 	(4.1)
Trong đó: 
% là tỉ lệ tăng dân số từ năm đến năm 
 dân số năm 
 dân số năm 
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là 	(4.2)
Ví dụ: Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người):
Năm
1976
1980
1990
2000
2010
Số dân
49160
53722
66016,7
77635
88434,6
Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1976-1980, 1980-1990, 1990-2000, 2000-2010. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi trong mỗi giai đoạn.
Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2015 và 2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu?
Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm phấn đấu giảm bớt ( không đổi) so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là ). Tính để số dân năm 2015 là 92,744 triệu người. 
3) Bài toán về thời gian phân hủy của các chất phóng xạ
Bài toán : sự phân hủy của một chất phóng xạ tuân theo công thức S = ert. Trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm, t là thời gian phân hủy, s là lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian phân hủy t.
Ví dụ 1: Chất phóng xạ radium có chu kỳ bán hủy là 1550 năm. Hỏi tỉ lệ phân hủy là bao nhiêu? 
Ví dụ 2: chất phóng xạ Pu239 có thời gian bán hủy là 24360 năm. Nếu ban đầu có 10g chất Pu239 thì sau bao nhiêu năm lượng chất phóng xạ còn lại 1g.
Ví dụ 3: Trong quá trình quang hợp của cây xanh sẽ hấp thụ một lượng nhỏ cacbon 14. Khi cây chết thì cây không hấp thụ cacsbon 14 nữa và phân hủy dần thành Nito 14. 
Khi đó gọi P là số phần trăm cacbon 14 còn lại sau t năm(kể từ khi cây ko hấp thu nữa) thì 
P = 100.(0,5)t/5750(%). Phân tích mẫu gỗ của một công trình kiến trúc người ta thấy tỉ lệ cacbon 14 còn lại là 65%. Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc trên.
IV. Một số bài toán ứng dụng hàm số logarit
1. bài toán tìm số chữ số của một số
Số chữ số của một số a khi viết trong hệ số 10 là [loga] +1
Ví dụ: khi viết số 22008 trong hệ cơ số 10 thì gồm bao nhiêu chữ số.
2. Bài toán tính độ PH của dung dịch
Trong mỗi dung dịch người ta dùng độ pH để đánh giá dung dịch có tính axit hay bazo. Độ pH của dung dịch được tính dựa vào nồng độ [H3O+](mol/lit), theo công thức 
pH = -log[H3O+]
pH < 7 thì dung dịch có tính axit.
pH = 7 thì dung dịch trung hòa.
pH > 7 thì dung dịch có tính bazo.
Ví dụ nồng độ [H3O+] trong bia và rượu lần lượt là 0,00008(mol/l) và 0,0004(mol/l). Hỏi các dung dịch trên có tính axit hay bazo.
3. Bài toán về cường độ âm thanh
Đặc trưng cho độ to nhỏ của âm thanh người ta đưa ra khái niệm mức cường độ âm thanh, ký hiệu là L, đợn vị đo là (dB) – đề xi ben. Được tính bằng công thức 
L(dB) = 10log(I/ I0)
I là cường độ âm (tức là năng lượng truyền đi bởi sóng âm trong một đơn vị thời gian qua 1 đơn vị diện tích bề mặt vuôn góc với phương sóng truyền. Đơn vị là W/m2), I0 là cường độ âm ở ngưỡng nghe. I0 = 10-12 W/m2. 
Ví dụ : tính mức cường độ âm trong các trường hợp sau
stt
Loại âm thanh
I/I0
Độ lớn L
1
Ngưỡng nghe
1
2
Nhạc êm dịu
4000
3
Nhạc mạnh phát ra từ loa
6,8.108
4
Tiếng máy bay phản lực
2,3.1012
5
Ngưỡng đau tai
1023