Ngân hàng câu hỏi kiểm tra học kì 1 môn: Toán học lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH
NGÂN HÀNG CÂU HỎI KIỂM TRA HỌC KÌ 1
MÔN: TOÁN 9
Bài toán 4 (Hình học): (3 điểm)
- Tính cạnh, đường cao ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông.
- Tính tỉ số lượng giác còn lại của 1 góc nhọn khi biết Sin hoặc Cosin của nó.
- Giải tam giác vuông.
Đường tròn:
- Vận dụng tính chất đường tròn để tính độ dài đoạn thẳng, so sánh độ dài hai đoạn thẳng.
- Chứng minh 4 điểm thuộc cùng một đường tròn.
- Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 1: (3 điểm)
Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A trên đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến Ax, trên đó lấy điểm B sao cho AB = AO
a) Tính độ dài đoạn OB.
b) Gọi I là trung điểm của đoạn OB, AI cắt đường tròn (O) ở C. Tứ giác CBAO là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ
a) DOAB vuông tại A có AO = AB = 3cm
nên tính được 
b) DOAB vuông cân có AI là trung tuyến nên AI là đường cao,
suy ra AI ^ OB
DOCA cân tại O có OI là đường cao nên là đường trung tuyến
Vậy tứ giác CBAO có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau nên là hình thoi.
Lại có nên CBAO là hình vuông
c) Từ câu b) ta có BC ^ CO tại C nằm trên đường tròn (O) 
nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2: (3 điểm)
Cho tam giác vuông ABC có đường cao AH, biết tỉ số hai cạnh góc vuông và độ dài cạnh huyền BC = 34 cm.
a) Tính độ dài hai cạnh góc vuông AB; AC
b) Tính độ dài đường cao AH và các đoạn BH; CH.
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ
a) Ta có :
Suy ra:
Nên AB = 16 cm
AC = 30 cm 
b) 
Bài 3: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = 5 cm; AC = 12 cm; BC = 13 cm.
a) Tam giác ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của tam giác.
b) Tính BH; CH.
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ
a) DABC có AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169
BC2 = 132 = 169
AB2 + AC2 = BC2 Þ DABC vuông tại A
* Ta có: AB.AC = BC.AH
Nên 
b) 
Bài 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC (), các tiếp điểm trên AB, AC theo thứ tự là D, E. Biết AB = 3cm. AC = 4cm
Tứ giác ADIE là hình gì? Vì sao?
Chứng minh rằng 2AD = AB + AC – BC
Tìm bán kính đường tròn (I)
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
a) Ta có : AD, AE là 2 tiếp tuyến theo thứ tự tại D, E của (I) nên:
AD ^ ID, AE ^ IE 
AD = AE (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
Tứ giác ADIE có 3 góc vuông và có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau nên là hình vuông.
b) Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) và BC. Ta có: BD = BF, CE = CF, AD = AE (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó: AB + AC – BC = (AD + DB) + (CE + AE) – (BF + FC)
= (AD + AE) + (DB – BF) + (CE – FC)
= AD + AE = 2AD
Vậy 2AD = AB + AC – BC
c) Từ câu b) ta có: 
Gọi r là bán kính đường tròn tâm (I). 
Do ADIE là hình vuông nên AD = ID = r. 
Tam giác ABC () nên BC2 = AB2 +AC2 
Þ BC2 = 32 + 42 = 25 Þ BC = 5 (cm)
Do đó 
Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có cm và cm.
 a) Tính độ dài đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác ABC.
 b) Xác định tâm I và tính bán kính R của đường tròn đường kính HC. 
 c) Tính khoảng cách từ tâm I của đường tròn đường kính HC đến một dây cung của đường tròn này, biết rằng dây cung này có độ dài bằng cm
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
.
a) Vì vuông tại A và có đường cao do đó ta có: 
Vì vuông tại A và là trung tuyến do đó ta có: 
Mà 
Vậy: 
b) Xác định tâm I và tính bán kính R của đường tròn dường tròn đường kính HC. 
Ta có: 
Trong vuông tại A ta có: Vậy: .
c) Tính khoảng cách từ tâm I của đường tròn đường kính HC đến một dây cung của đường tròn có độ dài .
Gọi PQ là dây cung đã cho và N là trung điểm của PQ ta có: IN là khoảng cách từ I đến PQ.
Ta có: Vậy khoảng cách từ I đến PQ bằng 
Bài 6: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A ; AH). Gọi HD là đường kính của đường tròn đó. Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt tia CA ở E. Gọi I là hình chiếu của điểm A trên BE.
a) Chứng minh tam giác BEC cân.
b) Chứng minh AI = AH
c) Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn (A ; AH)
Giải: Hình vẽ, GT-KL 
a) Ta có: D AHC = D ADE (g-c-g)
Þ ED = HC
 AE = AC
Vì: AB^CE (gt)
Do đó: AB vừa là trung tuyến, vừa là đường cao D BEC. 
Þ D BEC cân
b) Xét D vuông ABI và D vuông ABH:
 AB: cạnh huyền chung
Do đó: D ABI = D ABH (cạnh huyền góc nhọn)
Þ AI = AH
c) Ta có: AI = AH (CMT)
 mà AH = R
 Þ AI = R
 BE ^ AI tại I
Þ BE là tiếp tuyến của đường tròn tâm A, bán kính AH. 
Bài 7: (3 điểm)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng OAMN
b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
a) AM = AN, AO là tia phân giác của góc A (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A)
Tam giác AMN cân tại A, AO là tia phân giác của góc A nên OAMN
b) Gọi H là giao điểm của MN và AO.
Ta có MH = HN, CO = ON 
nên HO là đường trung bình của tam giác MNC. 
Suy ra HO//MC, do đó MC//AO
c) AN2 = AO2 – ON2 = 52- 32 = 16 Þ AN = 4(cm)
Ta có AO.HN = AN.NO 
Þ 5HN = 4.3 Þ HN = 2,4 (cm)
Do đó : MN = 4,8cm
Vậy AM = AN = 4cm; MN = 4,8cm
Bài 8: (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa măt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax, Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N
a) Tính số đo góc MON
b) Chứng minh rằng MN = AM + BN
c) Chứng minh rằng AM.BN = R2 (R là bán kính của nửa đường tròn)
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
a) Gọi H là tiếp điểm của MN với nửa đường tròn. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau :
OM là tia phân giác của góc AOH, ON là tia phân giác của góc BOH, 
Hai góc đó kề bù nên = 90o
b) Cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau :
AM =HM, BM = HN	(1)
Nên MN = HM + HN = AM +BN 
c) Từ (1) suy ra AM.BN = HM.HN
Ta lại có HM.HN = OH2 = R2 (hệ lượng thức trong tam giác MON vuông tại O) do đó AM.BN = R2 
Bài 9: (3 điểm)
Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có AO = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
a) Gọi . Tính các tỷ số lượng giác của góc a.
b) Tính độ dài OH
c) Qua điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
a) Tam giác ABO vuông tại B nên: AB2 = OA2 – OB2 = 52 – 32 = 16
Þ AB = 4
Ta có: 
b) Tam giác ABC cân tại A có AO là tia phân giác của góc A nên AO BC
OB2 = OA.OH
Þ 32 = 5.OH
Þ OH = 1,8 (cm)
c) Chu vi tam giác ADE bằng 2AB = 8 (cm)
Bài 10: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Vẽ một phần tư đường tròn tâm A bán kính bằng 1 nằm trong hình vuông, trên đó lấy điểm K khác B và D. Tiếp tuyến tại K với đường tròn cắt cạnh BC ở E, cắt cạnh CD ở F.
a) Chứng minh rằng: 
b) Gọi P là giao điểm của AE và BK, Q là giao điểm của AF và DK. Chứng minh PQ // BD
c) Tính độ dài đoạn PQ
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :
AE là đường phân giác của :
Þ 	(1)
AF là đường phân giác của :
Þ 	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra :
Vậy .
b) Cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :
AE là đường trung trực của BK Þ P là trung điểm của BK (3)
AF là đường trung trực của DK Þ Q là đường trung trực của DK (4)
Từ (3) và (4) suy ra PQ là đường trung bình của DBKD.
Do đó PQ // BD
c) ABCD là hình vuông có cạnh bằng 1 nên AB = AD = BC = CD = 1.
Xét DABD vuông tại A nên BD2 = AB2 + AD2 = 1 + 1 = 2 Þ BD = .
Vì PQ là đường trung bình của DBKD nên PQ = .
Bài 11: (3 điểm)
Cho đường tròn (O; 2cm) các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A (B và C là các tiếp điểm)
a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao? 
b) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ BC, Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE
c) Tính số đo góc DOE.
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
a)Tứ giác ABOC cỏ 3 góc vuông nên là hình chữ nhật, lại có 
2 cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông .
b) Chu vi tam giác ADE bằng AB + AC = 4cm
c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau : 
Vậy 
Bài 12: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D,E là các tiếp điểm khác H)
Chứng minh rằng ;
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng
b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau :
Vậy D, A, E thẳng hàng
b) Gọi M là trung điểm của BC 
MA là đường trung bình của hình thang BDEC nên MA // BD
Do đó MADE
Bài 13: (3 điểm)
Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b/ Hạ OI ^ MN Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c/ Chứng minh: AM. BN = R2
Giải: GT-KL 
Hình vẽ
a/ Xét DAOM và DBOP có:
OA = OB = R
(đối đỉnh)
Þ D AOM = D BOP (g-c-g)
Þ OM = OP
D NMP là tam giác cân vì có NO vừa là đường cao (NO^ MP), vừa là đường trung tuyến ( OM = OP )
b/ Trong tam giác cân NMP có NO là đường cao xuất phát từ đỉnh 
Þ NO đồng thời là đường phân giác.
Mà OI ^ NM (gt)
 OB ^ NP	(gt)	Þ OI = OB = R (t/c tia phân giác của 1 góc)
Có MN vuông góc với bán kính OI tại điểm I thuộc đường tròn (O)
Þ MN là tiếp tuyến của (O)
c/ Trong D vuông MON có OI là đường cao
Þ IM . IN = OI2 ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông )
Mà IM = AM, IN = BN ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau )
OI = R
Do đó AM . BN = R2
Bài 14: (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ nửa đường tròn tâm O’ đường kính OA, trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn (O). Vẽ cát tuyến AC của (O) cắt (O’) tại điểm thứ 2 là D.
a) Chứng minh DA = DC
b) Vẽ tiếp tuyến Dx với (O’) và tiếp tuyến Cy với (O). Chứng minh Dx // Cy
c) Từ C, hạ CH ^ AB . Cho OH = OB. Chứng minh rằng khi đó BD là tiếp tuyến của (O’).
Giải: -GT-KL 
-Hình vẽ
a) Chứng minh DA = DC
Do O’A = O’O = O’D (= R(O’)) 
Þ DADO vuông tại D. 
Nên hay OD ^ AC
Do đó DA = DC
b) Chứng minh Dx // Cy
O’D là đường trung bình của DAOC nên O’D // OC
Từ (1), (2) và (3) Þ . Từ đó suy ra Dx//Cy
c) Chứng minh BD là tiếp tuyến của (O’)
Bài 15: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB, AC. Biết BH = 4cm, CH = 9cm.
Tính độ dài DE.
Chứng minh AD.AB = AE.AC.
Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC tại M và N. Chứng minh M và N là trung điểm của BH và CH
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
a) Xét D ABC vuông có AH ^ BC nên AH2 = BH.HC = 4.9 Þ AH = 6cm
AHDE là hình chữ nhật nên DE = AH = 6 cm
b) Xét D ABH vuông có HD ^ AB nên AD.AB = AH2
Tương tự AE.AC = AH2
Vậy AD.AB = AE.AC
c) Gọi O là giao điểm của AH và DE 
Chứng minh được: DOHN = D OEN 
Þ HN = NE Þ 
Do đó 
Vậy HN = NC hay N là trung điểm của HC.
Tương tự N là trung điểm của CH
Bài 16: (3 điểm)
Cho (O, R). hai dây cung AB và CD. Tia BA và DC cắt nhau tại M nằm ngoài (O).
a/- CMR : Nếu AB = CD thì MA = MC.
b/- Kẻ , . CMR : Nếu AB > CD thì MH > MK.
Giải:
	 Vẽ hình, giả thiết, kết luận (0,5đ)
 a, Kẻ 
+BA = DC => OH = OK
	 	HA = KC 
Ta có : Tam giác vuông OHM = tam giác vuông OKM (Cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> MA = MC
=> MH = MK 
mà AH = CK 
 b, Nếu AB > CD => OH OH2 < OK2
	Tam giác vuông OMH có : 
MH2 = OM2 – OH2 > OM2– OK2 = MK2
=> MH2 > MK2 => MH = MK 
Bài 17: (3 điểm)
Cho (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB sao cho = 900 . Từ điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến (O) cắt MA, MB lần lượt ở P và Q Biết R = 10cm
a/ CMR Tứ giác AMBO là hình vuông
b/ Tính chu vi tam giác MPQ
c/ Tính góc POQ
Giải: 	vẽ hình + gt+ kl (0.5đ) 
	 a, Tứ giác AMBO là hình chữ nhật vì có :
	Hình chữ nhật AMBO lại có OA = OB =R nên AMBO là hình vuông (0,5đ)
	 b, Theo tính chất hai tiếp tuyến của hai đường tròn cắt nhau, ta có : 
	PA = PC, QB = QC 
	Chu vi tam giác MPQ bằng : 
MP + PQ + QM = (MP + PC) + (CQ + QM)
 	 = (MP + PA) + (QB + QM)
 	 = MA + MB 
 	 = 2OA = 20cm (1đ)
	 c, OP, OQ lần lượt là tia phân giác của góc AOC, COB nên :
	Do đó : (1đ)
Bài 18: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm.
a, Tính BC, góc B, góc C.
b, Kẻ phân giác góc A cắt BC ở D. Tính BD, CD.
c, Từ D kẻ . Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và
 diện tích tứ giác AEDF.
Giải: Viết GT, KL, vẽ hình 	(0,5đ)
a, BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 => BC = 10cm 	(0,5đ)
 	(0,25đ)
	(0,25đ)	
b, AD là phân giác => 
 => 
	 (0,75đ)
	(0,25đ)
c, AEDF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông mà AD là phân giác góc A => AEDF là hình vuông (0,25đ)
	Tam giác ABC có DF // AB =>
	Chu vi tứ giác AEDF : 	(0,5đ)
	Diện tích tứ giác AEDF : 	(0,5đ)
Bài 19: (3 điểm)
Cho nửa đường tròn (O, R )đường kính AB, 2 tiếp tuyến Ax và By trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB .Từ điểm H trên nửa đường tròn ( H không trùng với A,B ) kẻ tiếp tuyến thứ 3 với nửa dường tròn cắt Ax, By lần lượt ở C và D.
a/ Tứ giác ACDB là hình gì ? Vì sao ?
b/ CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác COD tiếp xúc với AB tại O
c/ Chứng minh AC.BD = R2 
Giải:
	Viết GT, KL, vẽ hình (0,5đ)
	 a, AC // BD vì cùng vuông góc với AB. Tứ giác ABCD là hình thang vuông. (0.5đ)
 b, Gọi Q là trung điểm của CD thì OQ là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền CD của tam giác vuông COD.
	 Nên QC = QO = QD 
	Do đó : QO là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác COD. (0.5đ
	Mặt khác : OQ là đường trung bình của hình thang ABCD nên OQ // AC 
	Do đó : tại O. Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác COD tiếp xúc với AB tại O. (0.5đ)
	c, Ta có : CH = CA ( hai tiếp tuyến xuất phát từ C)
	 DH = DB (hai tiếp tuyến xuất phát từ D)
	=> AC. BD = CH. DH = OH2 = R2 (0.5đ)
Bài 20: (3 điểm)
Cho (O, 5cm), M nằm ngoài (O), kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Biết AMB = 600.
CMR tam giác AMB đều.
Tính chu vi tam giác AMB.
AO cắt (O) tại C. CMR tứ giác BMOC là hình thang.
Giải: Vẽ hình + GT +KL (0.5đ)
a, MA và MB là hai tiếp tuyến đường tròn tâm O (gt) 
	Nên MA = MB 
Do đó : Tam giác AMB cân ở M 
Ta lại có : 
Vậy tam giác AMB là tam giác đều. (0,5đ)
b, MO là tia phân giác của góc AMB 
nên :
 MA là tiếp tuyến đường tròn tâm (O) ở A (gt) 
nên 
Tam giác MOA vuông ở A, có 
Nên OM = 2OA = 10cm 
Theo định lý Pytago, ta có : 
MA2 = OM2 – OA2 = 4OA2 – OA2 = 3OA2 = 3.52 = 75
=> MA = 
	Chu vi tam giác AMB = MA + AB + BM = 3MA = 3.= (1đ)
 c, MO là tia phân giác của góc AMB trong tam giác đều AMB 
Nên MO là đường cao của tam giác 
Do đó : 
Tam giác ABC có trung tuyến BO bằng 
nên tam giác ABC vuông ở B
Do đó : 
MO và BC cùng vuông với AB 
Do đó : BC // Om 
Vậy tứ giác BMOC là hình thang. (1đ)
Bài 21: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 5cm, AB = 2AC.
a) Tính AC.
b) Từ A hạ đường cao AH, trên tia AH lấy điểm I sao cho AI = AH. Từ C kẻ đường thẳng Cx song song với AH. Gọi giao điểm của BI với Cx là D. Tính diện tích tứ giác AHCD.
c) Vẽ hai đường tròn (B ; AB) và (C ; AC). Gọi giao điểm khác A của hai đường tròn này là E.Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Giải: Hình vẽ, GT-KL đúng
Þ CE là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Bài 22: (3 điểm)
Giải: Hình vẽ, GT-KL đúng
Bài 23: (3 điểm)
Giải: Hình vẽ, GT-KL đúng
Bài 24: (3 điểm)
Giải: Hình vẽ, GT-KL đúng