Ngân hàng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Câu 1

NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 1
Câu 1: ( 5,0 điểm)
1.Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P = 1
2. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:
Đáp án câu 1:
ý
Đáp án
Điểm
1a
ĐK: 
Ta có: 
= 
== .
 Vậy P = 
0,25+
0,25
0,5
0,5
0,25+
0,25
1b
Ta thấy P = 1 
(thỏa ĐK) 
Vậy với x = 25 thì P = 1
0,25
0,25*3
2
Ta có: x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 
= [(x + y)2 – 2xy]2 – 2x2y2 
= (1 – 2xy)2 – 2x2y2= 2x2y2 – 4xy + 1.
 Vì x > 0 và y > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:
.
 Dấu bằng xảy ra khi .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25+
0,25
0,25
0,25
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 2
Câu 1: ( 5,0 điểm)
1.Cho biểu thức: 
Rút gọn biểu thức .
Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.d 
2.Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dương và 
 = 
Đáp án câu 1:
ý
Đáp án
Điểm
1a
Ta có: , nên điều kiện để A có nghĩa là 
. 
. 
 ()
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
1b
Với là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì (vì và ). 
Thử lại với x = 3 ta thấy 
0,25
0,25+
0,25
0,25
2
Vì a ; b ; c là các số dương áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 2 = và 2 = 2 và 2 = 
 . 2 . = 
 = 
0,25*3
0,5
0,25
0,25+
0,25
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 3
Câu 1: ( 5,0 điểm)
1.Cho biểu thức: 
Rút gọn P
Tính giá trị của P tại 
2. Cho 3 số x, y, z thoả mãn x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 ³ 3
Đáp án câu 1:
ý
Đáp án
Điểm
1a
ĐKXĐ: 
0,25+
0,25
0,5*3
1b
 Thay x = 2 vào P ta có 
0,25*3
0,25
2
Ta có x2 + y2 + z2 ³ 3 3(x2 + y2 + z2) ³ 9
 3(x2 + y2 + z2) ³ 2 ( x + y + z + xy +yz + zx)- 3
 (x2 – 2xy + y2) + (y2 – 2yz + z2) + (x2 – 2zx + z2)
+ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (z2 – 2z + 1) ³ 0
( x – y)2 + (y – z)2 + (x – z)2 +(x -1)2 + (y – 1)2 +(z – 1)2 
³ 0 đúng
0,5
0,5
0,5
0,5
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 4
Câu 1: ( 5,0 điểm)
1.Cho biểu thức: 
 a) Rút gọn B.
 b) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Đáp án câu 1:
ý
Đáp án
Điểm
1a
 Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 16	0,75đ
0,5
0,25
0,25*2
0,25*2
1b
Để B nhận giá trị nguyên khi 	
Vì nên trường hợp 1: 	
 Trường hợp 2:	
Vậy x = 0; x=4 thì biểu thức B nhận giá trị nguyên.	
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
ĐK: x≠0, y≠0
Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:
=> 
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là Q = – 5/2 khi x2 = y2 = 1
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 5
Câu 1: ( 5,0 điểm)
1. Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức khi x = 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
2. Cho a, b ≥ 0 thỏa :. Chứng minh rằng: ab(a + b)2 ≤ . 
Dấu = xảy ra khi nào ? 
Đáp án câu 1:
ý
Đáp án
Điểm
1a
ĐKXĐ : x0 ; 
A = 
A = 
A = 
A = = = 
0,25
0,25
0,25
0,25
1b
x = 
0,25
0,25
0,25
0,25
1c
A = 
do và áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Do giả thiết a, b ≥ 0; nên:
 ab(a + b)2 ≤ó 64.ab(a + b)2 ≤ 1
 ó 64ab(a + b)2 ≤ 
 ó 64ab(a + b)2 ≤ (a+b+2)4.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số không âm ta có:
 (a+b+2) 2 
=> (a+b+2)4 (2)4 = 64.ab(a+b)2. (đpcm)
Dấu = xảy ra ó a+b = 2ó a = b = 1/4. 
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25