Ngân hàng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Câu 2

NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 1
Câu 2(5đ)
1/ Giải phương trình : 
2/ Giải hệ phương trình : 
3/ Cho phương trình : x2+(m2+1).x+m-2=0 (m là tham số)
a/ Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ?
b/ Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm tất cả các giá trị của m sao cho :
ĐÁP ÁN CÂU 2:
Câu
 Nội dung 
Điểm
 1
Giải phương trình : 
Đk :
Biến đổi pt đã cho trở thành:
Chia cả hai vế của pt cho : x2 - 2x + 4 ta được :
 (1) Đặt t = 
Thay vào (1) ta được : t2-3t+2 =0 .Giải pt ta được t =1 hoặc t = 2 (t/m)
-với t=1 ta có =1 .Ta có pt :x2-3x+2 =0 
-với t=2 ta có: =2.Ta có pt : 4x2-9x +14 =0 (VN)
 Vậy tập nghiệm pt đã cho là S=
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
-Biến đổi hệ đã cho trở thành :
-Nếu y=0 hệ pt trở thành :
-Nếu y .Hệ trở thành :
Đặt a = .Thay vào hệ pt (1) ta có :
Giải hệ pt ta được : a=1 ,b = 3 khi đó ta có hệ pt :
Giải hệ pt được nghiệm của hệ là (x,y) = (1;2) và (x,y) =(-2;5)
0,5
0,25
0,5
0,25
3
a/ với mọi m .Vây với mọi m thì pt luôn có hai nghiệm phân biệt.
b/ Theo hệ thức viét ta có :
 Theo gt ta có: (x1x2 khác 0)
Giải pt : 2m4 + 4m2 – 48 =0 (m2 -4 )(m2 +6) =0 vì m2 +6 >0 với mọi m nên m2 =4 (loại m=2 do ) Vây m= -2 là giá trị cần tìm .
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 2
Câu 2(5đ)
1/ Giải phương trình : 
2/ Giải hệ phương trình : 
3/ Cho phương trình : x2 –mx +m – 1 =0 (m là tham số) 
a/ Chứng minh phươg trình luôn có nghiệm với mọi m .
b/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
ĐÁP ÁN CÂU 2
Câu
Nội dung
Điểm
1
Giải phương trình (1)
Đk :
Đặt a = 
Ta có pt : 10ab = 3a2 +3b2 
Với a = 3b . Ta có pt: (2)
Đưa về pt : 9x2 -10x +8 = 0 nên pt (2) vô nghiệm.
Với b = 3a .Ta có pt : 
Vậy pt (1) có hai nghiệm 
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
2
Giải hệ phương trình : 
Nhân (1) với 4 rồi trừ đi (2) từng vế ta có :
4.(x2 –xy +y2 )-(2x2 –xy +3y2 ) = 0 
Chia hai vế của (3) cho y2 khác 0 được : 
Đặt k = x/y .Ta có pt :2k2 – 3k +1 =0 
-Với k=1 thì y =x .Thay vào (1) ta được x2 = 3 
 Khi đó (x,y)= 
-Với k= ½ thì y =2x .Thay vào (1) ta được x2 =1 
 Khi đó (x,y) = (1;2) ;(-1;-2)
Do đó hệ pt đã cho có bốn nghiệm (x,y) = ; (1;2) ;(-1;-2)
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
3
Cho phương trình : x2 –mx +m – 1 =0 (m là tham số) (1)
a/ với mọi m nên pt(1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b/ Ta có x12+x22 = (x1+x2 )2 -2x1x2 = m2 -2m +2
=với mọi m 
Vậy A với mọi m . Dấu bằng xảy ra khi m = 1
Lại có với mọi m .Vậy ,dấu bằng xảy ra khi m= -2
Max A =1 khi m =1 ,min A = khi m = -2
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 3
Câu 2(5đ)
1/ Giải pt : 
2/ Giải hệ phương trình :
3/ Cho phương trình : mx2 –(2m+1).x+ m - 3 = 0 (m là tham số)
	Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm?
ĐÁP ÁN CÂU 2:
Câu
Nội dung
Điểm
1
Nhân và chia biểu thức trong dấu ngoặc với biểu thức lien hợp ta có :
Vậy biểu thức trong ngoặc thứ hai dương à x-2 =0 
Vậy phương trình (1) có một nghiệm x=2
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
2
Giải hệ phương trình :
Từ (1) ta có: x3- 2x2y + x = y3 -2xy2 +y 
Do x2-xy+y2+1>0 với mọi x,y .Vậy x = y thay vào (2) ta có :
Dấu bằng xảy ra khi x =3 
Dấu bằng xảy ra khi x =3 .Do đó VT=VP =2 khi x=3 nên y=3
Nghiệm của hệ là (x,y)=(3;3)
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
3
Cho phương trình : mx2 –(2m+1).x+ m - 3 = 0 (m là tham số)
Để pt đã cho có hai nghiệm phân biệt cùng âm khi 
Vậy: là giá trị cần tìm.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 4
Câu 2(5đ)
1/ Giải phương trình: 
2/ Giải hệ phương trình với x,y không âm : 
3/ Cho pt : x2 +mx –m -1 = 0 ( m là tham số) (1)
a/ Chứng minh pt (1) luôn có nghiệm với mọi m
b/ Tìm m để pt có ít nhất một nghiệm không dương .
ĐÁP ÁN CÂU 2:
Câu
Nội dung
Điểm
1
Giải phương trình: (1)
 đặt y = 1/x(x+1)
Ta có pt : 4y2 +8y -5 =0 
-Với y=1/2 ta có pt : x2 +x-2=0 
-Với y= -5/2 ta có pt : 5x2 +5x +2 =0 (VN)
Vậy pt có hai nghiệm là 1 và -2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Giải hệ phương trình với x,y không âm : 
Cộng (1) với (2) ta được :x2 +y2 +xy(x+y) +(x+y) -6xy =0 
Do x,y không âm nên :
(áp dụng bđt Côsi cho các cặp số dương)
Nên (x+y)(x+1)(y+1)
Do (3) nên ở (4) phải xảy ra dấu đẳng thức ,tức là x = y =1 
Nghiệm (x,y) là (1;1)
0,25
0,5
0,5
0,25
3
Cho pt : x2 +mx –m -1 = 0 ( m là tham số) (1)
a/ với mọi m
Do đó pt(1) luôn có nghiệm với mọi m
b/ Pt có ít nhất một nghiệm không dương nên có các trường hợp :
+ pt có hai nghiệm trái dấu P = -m-1 < 0
+Pt có một nghiệm = 0 P=0 
+Pt có hai nghiệm âm 
Vậy là giá trị cần tìm.
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 5
Câu 2(5đ)
1/ Giải phương trình : 2.(8x+7)2.(4x+3)(x+1) =7 
2/ Giải hệ phương trình : 
3/Tìm m để pt (m2+1)x2 +(2m2+1)x +m2 =0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1<x2) sao cho : 
ĐÁP ÁN CÂU 2 :
Câu
Nội dung
Điểm
1
Giải phương trình : 2.(8x+7)2.(4x+3)(x+1) =7 
Nhân hai vế của pt với 8 ta được :
(8x+7)2.(8x+6).(8x+8) = 56 
Đặt y = 8x +7 ta có pt : y2(y-1)(y+1)=56
0,25
0,5
0,5
0,25
2
Giải hệ phương trình : 
Đk x+y khác 0 .Hệ pt đã cho tương đương với 
Ta có hệ pt :
Ta có pt :2b2-13b+11=0
Giải pt tìm được a =3 ,a = 1/3 (t/m) ,ta có hệ pt :
Giải hệ pt được x =2 ,y=1 hoặc x =2/3 ,y = -1/3
-với b= 11/2 ta có a+1/a =-7/6 .Ta có pt 6a2 +7a+6=0 (vn)
Vây nghiệm (x,y) của hệ pt là (2;1),(2/3;-1/3)
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Tìm m để pt (m2+1)x2 +(2m2+1)x +m2 =0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1<x2) sao cho : 
nên pt luôn có hai nghiệm pb với mọi m.
Ta có a-b+c =m2+1-2m2-1 +m2 =0 nên pt đã cho có hai nghiệm x1=-1
x2= -m2/m2+1
Do –m2/m2+1 >-1 nên x1=-1 , x2= -m2/m2+1
Theo bài ra ta có x2=x12-3/2
0,25
0,5
0,25
0,5