Ngân hàng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Câu 3

NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 1
Câu 3: ( 5,0 điểm)
 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) đường cao AH, gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB, AC.
Chứng minh Tứ giác BDEC nội tiếp và OA vuông góc với DE
Chứng minh các góc và có cùng tia phân giác
Cho AH = R chứng minh SABC = 2SADE. (SABC , SADE: Diện tích tam giác ABC, ADE)
Đáp án câu 3 :
3a
2 đ
 có chung, ( Vì AD.AB = AE.AC = AH2)
0,25 đ
 ( c.g.c) 
0,25 đ
0,25 đ
 Tứ giác BDEC nội tiếp
0,25 đ
Kẻ tiếp tuyến Ax của (O) ta có
0,25 đ
 ( Cùng chắn ); ( Cùng bù )
0,25 đ
 Ax // DE 
0,25 đ
 Mà Ax OA DE OA
0,25 đ
3b
1,5đ
Gọi I là điểm chính giữa cung BC ta có
0,25 đ
sđ = sđ AI là tia phân giác của góc (1)
0,25 đ
Tứ giác ADHE nội tiếp ( ) ( Cùng chắn )
0,25 đ
Mà ; 
0,25 đ
 AI là phân giác của (2)
0,25 đ
Từ (1) và (2) và có cùng tia phân giác
0,25 đ
3c
1,5đ
Kẻ đường kính AK ta có ( Vì ; )
0,25 đ
0,25 đ
 Tương tự ta có 
0,25 đ
0,25 đ
Mà 
0,25 đ
0,25 đ
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 2
Câu 3: ( 5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H( D BC; E AC, F AB). Gọi I là trung điểm của BC. Dựng hình bình hành BHCK.
Chứng minh K thuộc đường tròn ( O ) và AH = 2OI
Gọi P, Q, R lần lượt giao điểm của AH, BH, CH với đường tròn. Chứng minh 
Gọi M là giao điểm của AH và EF, N là giao của AK với BC. Chứng minh MN song song với HK
Đáp án câu 3 :
	Đáp án 
Điểm
3a
1,5đ
a) Ta có: BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên ; 
Tứ giác BHCK là hình bình hành nên BH//CK, CH//BK
0,25 đ
 ; 
0,25 đ
 A, B, K, C thuộc đường tròn đường kính AK
Mà A, B, C thuộc (O) K thuộc (O)
0,25 đ
Tứ giác BHCK là hình bình hành , có I là trung điểm của BC nên là trung điểm của HK
0,25 đ
AK là đường kính của (O); nên O là trung điểm của AK
0,25 đ
 OI là đường trung bình của tam giác AHK AH = 2OI
0,25 đ
3b
2 đ
b) Ta có ( Cùng phụ ); ( cùng chắn )
 BHP cân tại B DH = DP
Tương tự ta có EH = EQ; FH = FR 
0,25 đ
Do đó 
0,5 đ
0,25 đ
0, 5 đ
0,25 đ
0,25 đ
3c
1,5
c)
0,25 đ
 (1)
0,25 đ
 ( BCEF nội tiếp); ()
0,25 đ
(2)
0,25 đ
(1), (2) 
0,25 đ
 MN // HK theo định lí Ta-lét đảo
0,25 đ
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 3
Câu 3: ( 5,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R), M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC ( M khác B và C) . Dây AM cắt BC tại D. 
Chứng minh AM = BM + CM
Chứng minh tích AD.AM là một hằng số
Tia CM cắt AB tại K. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKM
Đáp án câu 3 :
3a
1,5đ
Trên đoạn thẳng AM lấy điểm E sao cho ME = MB ta có cân tại M
0,25 đ
Mà ( Góc nội tiếp, tam giác đều) đều
0,25 đ
0,25 đ
Xét và có BA = BC (ABC đều), BE = BM, 
0,25 đ
0,25 đ
Vậy AM = ME + AE = BM + CM
0,25 đ
3b
1,5đ
Xét có
0,25 đ
chung, 
0,25 đ
0, 25 đ
0,25 đ
0,25 đ
AD.AM = AB2 là một hằng số
0,25 đ
3c
2 đ
Ta có: (sđ – sđ) ( Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn )
0,25 đ
Do AC = BC 
0,25 đ
Do đó sđ- sđ = sđ- sđ 
0,25 đ
0,25 đ
Gọi Bx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp , Tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ BM chứa điểm C.
0,25 đ
Ta có ( Hệ quả của góc tạo bởi tt và dây cung)
0,25 đ
Do đó BC và Bx trùng nhau
0,25 đ
Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 
0,25 đ
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 4
Câu 3: ( 5,0 điểm)
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R), M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC ( M khác B và C) . Dây AM cắt BC tại D. 
Chứng minh AM = BM + CM
Chứng minh tích AD.AM là một hằng số
Tia CM cắt AB tại K. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKM
Đáp án câu 3 :
3a
1,5đ
Trên đoạn thẳng AM lấy điểm E sao cho ME = MB ta có cân tại M
0,25 đ
Mà ( Góc nội tiếp, tam giác đều) đều
0,25 đ
0,25 đ
Xét và có BA = BC (ABC đều), BE = BM, 
0,25 đ
0,25 đ
Vậy AM = ME + AE = BM + CM
0,25 đ
3b
1,5đ
Xét có
0,25 đ
chung, 
0,25 đ
0, 25 đ
0,25 đ
0,25 đ
AD.AM = AB2 là một hằng số
0,25 đ
3c
2 đ
Ta có: (sđ – sđ) ( Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn )
0,25 đ
Do AC = BC 
0,25 đ
Do đó sđ- sđ = sđ- sđ 
0,25 đ
0,25 đ
Gọi Bx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp , Tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ BM chứa điểm C.
0,25 đ
Ta có ( Hệ quả của góc tạo bởi tt và dây cung)
0,25 đ
Do đó BC và Bx trùng nhau
0,25 đ
Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 
0,25 đ
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 5
Câu 3: ( 5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi (O’) là đường tròn bất kỳ tiếp xúc ngoài với (O) tại D trên cung BC không chứa A các đường thẳng AD, CD, BD kéo dài cắt đường tròn (O’) lần lượt tại A’, B’, C’.
	a) Chứng minh rằng 
	b) Chứng minh rằng AD.BC = AC.BD + AB.CD
 c) Gọi AM, BN, CP là các tiếp tuyến của (O’) lần lượt kẻ từ A, B, C. chứng minh 
 AM.BC = BN.AC + CP.AB
Đáp án câu 3 :
3a
1,5đ
Kẻ tiếp tuyến chung xy tại D ta có
0,25 đ
( Cùng chắn ); ( cùng chắn ); = ( đ đ)
0,25 đ
=A’B’ // AB
0,25 đ
A’B’D ABD (1)
0,25 đ
Chứng minh tương tự ta có (2)
0,25 đ
Từ (1) và (2) ta có 
0,25 đ
3b
1,5đ
Trên BC lấy điểm E sao cho 
0,25 đ
Vì , ( Góc nội tiếp chắn ) DAB DCE ( g-g ) 
 (3)
0,25 đ
( cùng chắn ) 
0, 25 đ
DBE DAC (g-g) (4)
0,25 đ
Từ (3) và (4) ta có AC.BD + AB.CD = AD.BE + AD.CE = AD(BE + CE) = AD.BC
0,25 đ
Vậy: AD.BC = AC.BD + AB.CD
0,25 đ
3c
2,0đ
Vì chung; (Cùng chắn DM) AMD AA’M 
0,25 đ
0,25 đ
Tương tự ta có 
0,25 đ
Mà ( theo câu a) 
0,25 đ
Do ta có AD.BC = AC.BD + AB.CD
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Vậy; AM.BC = BN.AC + CP.AB
0,25 đ