Ngân hàng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Câu 4

NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 1
Câu 4: ( 2,0 điểm)
Cho DABC nhọn , điểm M di chuyển trên cạnh BC .Gọi P, Q là hình chiếu của M trên cạnh AB , AC . Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để PQ có độ dài nhỏ nhất .
 Đáp án câu 4
Đáp án
Điểm
h.42
A
B
P
Q
C
O
H
M
0,5
Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.
Kẻ OH ^ PQ . Đặt =a thì = a
PQ = 2 PH = 2.OP sina = AM sina
0,5
Do a không đổi nên 
PQ nhỏ nhất Û AM nhỏ nhất
0,5
 Û AM ^ BC Vậy PQ nhỏ nhất khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC
0,5
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 2
Câu 4: ( 2,0 điểm)
Cho (O; R) và hai điểm A, B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R. Tìm vị trí điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+MB đạt GTNN? 
Đáp án câu 4
Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng OA với (O; R). Trên đoạn OC lấy điểm N sao cho 
0,5đ
 Suy ra ~(c.g.c)
0,5đ
 (không đổi)
0,5đ
Dấu “=” xẩy ra khi M thuộc đoạn NB. Vậy M là giao điểm của đoạn NB với đường tròn (O; R)
0,5đ
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 3
Câu 4: ( 2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có đường cao AH (AH = ha), p là nửa chu vi, BC = a. Chứng minh rằng: 
Đáp án câu 4
Ta có
0.5đ
0,5đ
Ta cần chứng minh (*)
Thật vậy, Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với BC, trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là BC chứa điểm A, lấy điểm D sao cho AD = AB = c. Ta có (b + c)2 –a2 = (AD +AC)2 - a2 (1)
Từ A kẻ AE vuông góc với BD ta có EB = AH 
Mà tam giác ABD cân tại A suy ra AE là trung tuyến của tam giác ABD
 0,5đ
Từ (1) và (2) suy ra (b + c )2 – a2 4ha2 Vậy 
Đẳng thức xẩy ra khi A, C, D thẳng hàng => Tam giác ABC cân tại A.
0,5đ
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 4
Câu 4: ( 2,0 điểm)
Cho hình chữ nhật với . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho luôn tạo thành tứ giác. Gọi là chu vi của tứ giác . Chứng minh: .
Đáp án câu 4
Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.
rAEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI= 
 Tương tự MC= 
0,5
IK là đường trung bình của rEFG nên IK=. Tương tự KM= 
0,5
P= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)
0,5
Ta có: AI + IK + KM + MC ³ AC 
Suy ra P³ 2AC= 
0,5
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 5
Câu 4: ( 2,0 điểm
Cho DABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB ,AC sao cho BD = AE . Xác định vị trí các điểm D,E sao cho :
DE có độ dài nhỏ nhất .
Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất .
Đáp án câu 4
 Điểm
A
B
D
C
E
M
I
a)Gọi M là trung điểm của BC .
DBDM và DAEM có BD= AE ,BM =AM
Do đó DBDM = DAEM (cgc) Þ
Þ
0,5
Gọi I là trung điểm của DE .
DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM
Min DE = AM Û I là trung điểm của AM
Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
0,5
 b)Đặt AE = x, AB =AC =a thì AD = a - x , SADE = 
0,5
SBDEC nhỏ nhất Û SADE lớn nhất Û x(a - x) lớn nhất
Do x +( a- x) = a không đổi nên x( a - x) lớn nhất Û x = a - x Û x = a/2
Khi đó D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
0,5