Phương pháp giải một số dạng bài tập hình học

 28/11/2015 8:02 CH Trang -1 
Phương pháp giải một số dạng bài tập hình học 
A.Dạng toán chứng minh 
I.Chứng minh hai góc bằng nhau. 
Cách 1: 
 Hai góc so le trong, so le ngoài,hoặc đồng vị của hai đường thẳng // thì bằng 
nhau. (h1) 
Cách2: 
 Hai góc ở vị trí đối đỉnh. (h2) 
Cách 3: 
 Hai góc của một tam giác cân. ( hoặc tam giác đều). 
Cách 4: 
 Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng. 
Cách 5: 
 Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau. 
Cách 6: 
 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung. 
Cách 7: 
 Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ 3. 
Cách 8: 
 Chứng minh hai góc cùng phụ hay cùng bù một góc. 
Cách 9: 
 Là hai góc ở đáy của hình thang cân. 
Cách 10: 
 Là hai góc đối của hình bình hành. 
Cách 11: 
 Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác. 
Cách 12: 
 Hai góc bằng tổng hoặc hiệu hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau 
Cách 13: 
(h1) (h2) 
 28/11/2015 8:02 CH Trang -2 
 Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc. 
Cách 14: 
 Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. 
II.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. 
Cách 1: 
 Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba. 
Cách 2: 
 Hai cạnh bên của tam giác hoặc hình thang cân. 
Cách 3: 
 Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. 
Cách 4: 
 Hai cạnh đối của hình bình hành ( hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông). 
Cách 5: 
 Hai dây căng hai cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường tròn 
bằng nhau. 
Cách 6: 
 Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. 
Cách 7: 
 Sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành. 
Cách 8: 
 Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông. 
Cách 9: 
 Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây. 
Cách 10: 
 Sử dụng tính chất đường trung trực. 
Cách 11: 
 Sử dụng tính chất đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và // với cạnh 
thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. 
Cách 12: 
 Sử dụng quan hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm. 
Cách 13: 
 Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một biểu thức. 
III.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 
Cách 1: 
 Sử dụng tính chất tiếp tuyến. ( vuông góc với bán kinh đi qua tiếp điểm) 
Cách 2: 
 Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính- cung và dây. 
Cách 3: 
B 
M 
A
 28/11/2015 8:02 CH Trang -3 
 Sử dụng định nghĩa đường trung trực. 
B 
Cách 4: 
 Tính chất các đường đồng thời trong tam giác cân. 
Cách 5: 
 Chứng minh là đường cao còn lại của tam giác. 
Cách 6: 
 Là hai tia phân giác của hai góc kề bù 
Cách 7: 
 Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. ( chứng minh tam giác vuông): 
a) áp dụng định lý đảo của định lý Pi – Ta – Go. 
b) Trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng. 
c) Tam giác ABC có tổng hai góc bằng 900. 
Cách 8: 
 Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng // thì 
vuông góc với đường thẳng còn lại. 
Cách 9 : 
 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng 900. 
IV.Chứng minh hai đường thẳng //. 
Cách 1: 
 Chứng minh chúng tạo với một cát tuyến 
hai góc: 
* bằng nhau ở vị trí: 
a) so le trong 
b) so le ngoài 
c) đồng vị 
* bù nhau ở các vị trí: 
 a) trong cùng phía. 
 b) ngoài cùng phía. 
Cách 2: 
 Chứng minh chúng cùng // với đường thứ 3. 
Cách 3: 
 Chứng minh chúng cùng vuông góc với đường thứ 3. 
Cách 4: 
 Là hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau trong một đường tròn. 
Cách 5: 
 Sử dụng tính chất đường trung bình. 
Cách 6: 
 Sử dụng định lý Ta_Lét đảo. 
Cách 7: 
 Là hai cạnh đối của hình bình hành. 
 28/11/2015 8:02 CH Trang -4 
Cách 8: 
 Là hai cạnh đáy của hình thang. 
V.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. 
Cách làm Hình minh họa 
Cách 1: 
 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 
1800 (hình thang cân, hình chữ nhật, hình 
vuông đều là tứ giác nội tiếp) 
Cách 2: (h8) 
 Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng 
nhìn xuống cạnh chứa hai đỉnh còn lại 
dưới một góc  ( hai góc bằng nhau). 
Cách 3: (h9) 
 Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh 
bằng góc trong của đỉnh đối diện. 
Cách 4: (h10) 
 Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một 
điểm ( mà điểm đó có thể xác đinh được). 
Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp 
tứgiác. 
Cách 5 : trường hợp đặc biệt: 
( Khi áp dụng cần phải chức minh) 
 a)Nếu hai cạnh đối của tứ giác 
AB và DC cắt nhau tại M 
thỏa mãn: MA.MB = MD.MC 
 ta có thể chứng minh: 
 tứ giác ABCD nội tiếp. 
A
D
M
C
B
 28/11/2015 8:02 CH Trang -5 
b)Nếu hai đường chéo của tứ giác 
AC và BD cắt nhau tại P thỏa mãn: 
 PA.PC = BD. PB 
 Ta có thể chứng minh : 
 tứ giác ABCD nội tiếp. 
P
A
D
C
B
VI.chứng minh dẳng thức hình học. 
 Chứng minh a.b = c.d ( chứng minh đẳng thức tích). Chuyển về chứng minh tỷ 
lệ thức: 
a d
c b
 hoặc 
a c
d b
 
Cách 1:Gắn vào hai tam giác đồng dạng. 
Cách 2: Sử dụng định lý Talét, hệ quả của định lý Talét. 
Cách 3: Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác. 
Cách 4: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. 
Cách 5: Lập hai tỷ số từ tích chứng minh chúng cùng bằng một tỷ số thứ ba. 
VII.Chứng minh hai tam giác bằng nhau. 
 1.Trường hợp tam giác thường: 
 a) Ba cạnh bằng nhau đôi một ( c-c-c). 
 b) Một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau (c-g-c). 
 c) Một cặp cạnh bằng nhau kề giữa hai cặp góc bằng nhau (g-c-g). 
 2.Trường hợp tam giác vuông: 
 a) Cạnh huyền – góc nhọn tương ứng bằng nhau. 
 b) Cạnh huyền – cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau. 
VIII.Chứng minh hai tam giác đồng dạng. 
 1.Trường hợp tam giác thường: 
 a) Có hai góc bằng nhau. 
 b) Có một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ. 
 c) Có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ. 
 2.Trường hợp tam giác vuông. 
 a) Có một cặp góc nhọn bằng nhau. 
 b) Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ. 
IX.Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của (O;R). 
Cách 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. 
Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính. 
 28/11/2015 8:02 CH Trang -6 
Cách 3: Chứng minh góc tạo bởi tia MT với một dây của đường tròn bằng nửa số đo 
của cung bị chắn. 
MT là tiếp tuuyến của (O;R) 
*Hoặc 
MT là tiếp tuuyến của (O;R) 
Cách 4: Đặc biệt: 
 Nếu MT2=MA.MB đi chứng minh: 
MT là tiếp tuuyến của (O;R) 
X.Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng. 
Cách 1: 
 Chứng minh AB,AC cùng // với một đường thẳng 
Cách 2: 
 Chứng minh BC, BA cùng vuông góc với một đường thẳng. 
Cách 3: 
 Chứng minh ba điểm đó tạo thành một góc bẹt. ( = 1800) 
Cách 4: 
 Chứng A, B, C cùng thuộc thuộc một đường nào đó: đường trung trực của đoạn 
thẳng, đường phân giác của một góc. 
Cách 5: 
 Chứng minh AB, AC là hai tia trùng nhau. 
XI. Chứng minh ba đường đồng qui. 
Cách 1: 
 Chứng minh đó là 3 đường trung tuyến,3 đường cao, 3 đường trung trực, 3 
đường phân giác trong (hoặc một phân giác trong và hai phân giác ngoài của hai góc 
còn lại) trong một tam giác. 
Cách 2: 
 Gọi giao điểm của hai đường là Q chứng minh đường còn lại cũng đi qua Q. 
B Dạng bài tập tính toán. 
C 
B 
T 
A 
B 
T 
M 
A 
 . . . 
B C 
a 
A 
 28/11/2015 8:02 CH Trang -7 
I.Tính số đo góc. 
Dựa vào các kiến thức sau: 
1.Gắn vào giải tam giác vuông (Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông) 
2.Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 1800. 
3.Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 900. 
3.Tính chất các góc trong đường tròn. 
5.Góc này bằng góc kia đã biết số đo. 
II.Tính độ dài đoạn thẳng. 
 Cách 1: Gắn vào giải tam giác vuông. 
 Cách 2: áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông. 
 Cách 3: Gắn vào tỷ lệ thức (xem các cách như chứng minh dẳng thức hình 
học). 
III. Tính diện tích chu vi các hình. 
 *Có thể chuyển về bài toán tính độ dài các đoạn thẳng 
 * Chú ý : 
 -Tỷ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỷ số đồng 
dạng. 
 - Tỷ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỷ số đồng dạng. 
 - Hai tam giác có chung đường cao thì tỷ số diện tích bằng tỷ số cạnh tương 
ứng. Hai tam giác có chung cạnh thì tỷ số diện tích bằng tỷ số hai đường cao tương 
ứng. 
 - Khéo léo khi phân chia hình. 
C.Tìm điều kiện để hình A là hình B 
*Giả sử hình A là hình B cần thêm điều kiên gì? Điều kiện đó có liên quan gì 
đến điều kiện bài ra? 
D.Dạng quĩ tích hay tập hợp điểm 
1.Nếu M cách đều hai đầu đoạn thẳng AB cố định thì M nằm trên trung trực của AB. 
2.Nếu M cách đều hai cạnh của một góc thì M nằm trên tia phân giác của góc đó. 
3.Nếu M cách O cố định một khoảng không đổi R thì thuộc (O;R). 
4.Nếu M nhìn xuống AB cố định một góc không đổi thì M nằm trên cung chứa góc 
 dựng trên đoạn AB. 
5.Nếu M cách đường thẳng cố định a một khoảng bằng h thì M nằm trên 2 đường 
thẳng // với a và cách a một khoảng bằng h.