Sử dụng máy tính cầm tay hổ trợ phân tích thành nhân tử trong việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

 Sử dụng máy tính cầm tay hổ trợ phân tích thành nhân tử trong việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Đào Văn Chánh
Trường THPT Trần Quốc Tuấn, Hòa Định Đông, Phú Hòa, Phú Yên
 T
rong Đề thi Đại học và Cao đẳng môn Toán từ 2014 trở về trước, Đề thi TNTHPT (Từ 2015 đến nay), có câu giải phương trình, hệ phương trình Đại số, (thường đánh số 7 hay 8), là câu tương đối khó đối với đa số học sinh. Để giải được câu này, việc phân tích thành nhân tử một vế của phương trình (vế còn lại là zero) là cách đầu tiên nghĩ tới, trước khi quan tâm tới các cách khác. Vấn đề là rất khó để biết được nhân tử là gì. Nếu biết được thì cũng rất “hên xui”. Bài viết này này nhằm giúp học sinh dùng Máy tính cầm tay (MTCT) (Loại mà Bộ giáo dục cho phép vào phòng thi, gần như học sinh nào cũng có) để hổ trợ việc phân tích thành nhân tử (ở những bài giải được bằng cách phân tích thành nhân tử) một cách chắc chắn và nhanh gọn, không phải mò mẫm mất thời gian và sức lực. Sau khi đã dự đoán được một nhân tử, việc tìm ra nhân tử còn lại cũng có rất nhiều con đường, cả dễ lẫn không dễ, mà tôi tạm phân loại và trình bày sau đây: 
Phân tích thành nhân tử đa thức 1 biến bậc bốn. 
Ví dụ 1: Ví dụ phân tích thành nhân tử biểu thức . 
Nhập trực tiếp phương trình vào MTCT và ra lệnh giải với nghiệm ban đầu là ta được nghiệm .. Rồi lưu các nghiệm đó lần lượt vào các ô nhớ A,B,C(Chỉ có các MTCT plus mới có tính năng này). Muốn lưu nghiệm vào ô nhớ A chẳng hạn thì sau khi MTCT tìm ra , ta bấm các phím (Để lưu vào bộ nhớ tạm X) rồi các phím: (Máy hiện ). Sau đó nhập vào MTCT: AB:AC:BC rồi bấm dấu “=” nhiều lần để kiểm tra tích nào “chẵn”. Ở đây ta có , kiểm tra tiếp . Vậy B, C là nghiệm phương trình dự đoán nhân tử là . Để tìm nhân tử còn lại ta nhập vào MTCT: . Dễ thấy số hạng có bậc cao nhất của thương là nên ta sửa vào MTCT: và ra lệnh tính với ta được kết là là . Kết quả :.
Ví dụ 2: Giải . 
Ta sẽ cố gắng phân tích thành nhân tử bằng cách nhập như thế vào MTCT và ra lệnh giải với nghiệm ban đầu là ta được nghiệm : Nghiệm khi nhớ vào B trở thành . Vậy nó có thừa số là . Tìm thừa số còn lại bằng cách nhập vào MTCT biểu thức Ta dễ thấy số hạng có bậc cao nhất của thương là nên ta sửa vào MTCT: và ra lệnh tính với ta được kết là là . 
Vậy 
Việc giải tiếp theo không có gì khó, dành cho bạn được.
Nhược điểm : Không thể áp dụng nếu phương trình vô nghiệm và chỉ có các máy PLUS mới có chức năng nhớ các nghiệm, đặc biệt là các nghiệm “lẻ” !
Phân tích thành nhân tử đa thức bậc hai hai biến . 
Ta xem nó như tam thức bậc hai của x (hoặc y). Ta tìm x (hoặc y) theo biến còn lại. Nguyên tắc là thế nhưng áp dụng không dễ, do phải đối mặt với các phép tính bằng tay cồng kềnh, rất dễ sai sót.
Ta cũng làm như thế, nhưng không biến đổi gì cả mà ra lệnh cho MTCT giải. Do máy chỉ giải được với hệ số là các số cho nên ta gán 1 biến cho 1000 chẳng hạn, và giải biến còn lại theo 1000 này. Ví dụ ta gán 1000 cho biến y và giải được chẳng hạn thì ta đoán được và ta có thừa số là 
Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử biểu thức (Đề ĐH khối B 2013)
Giải: Ta xem như là một tam thức bậc hai của x: . Gán . Giải phương trình bậc hai tìm x ta có . 
Vậy đoán 
Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử biểu thức . Ta cũng làm như trên, ta có . Vậy đoán .
Việc kiểm tra các điều dự đoán (thường đúng) bên trên không có gì khó khăn !
Phân tích thành nhân tử biểu thức lượng giác.
Ví dụ 5: Giải: .
Giải : Dùng MTCT giải được nghiệm nên đoán nhân tử có thể là Nếu đi theo hướng nhân tử là , ta phân tích được phương trình tương đương: . 
Giải tiếp theo dành cho bạn đọc.
Nếu đi theo hướng nhân tử là , ta có (do không thỏa). Đặt ,
Ví dụ 6: (Đề AA1-2014): Giải : .
Giải: Dùng MTCT nhẩm nghiệm được nên đoán nhân tử là và ta được kết quả là 
Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn: 
Ví dụ 7: Giải phương trình (1). 
Đặt . Bây giờ ta giải t theo x. PT (1) trở thành (1’). Vấn đề quan trọng ở đây là tìm để giải được t theo x “chẵn” (Còn nếu như “lẻ” thì coi như “bằng không” !)
Sử dụng MTCT : 
Với mỗi , ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số: . Để giải tự động, ta nhập vào máy như sau:
(không nhập được nghiệm thứ hai vì MTCT không đủ bộ nhớ)
Bấm phím , cho (tùy) và rồi bấm dấu “=” nhiều lần. Nếu với m nào đó gặp thông báo “Math ERROR” thì bấm phím hoặc (để “go to” vượt qua) rồi lại bấm phím để tính toán với m “Tiếp theo” . Ta thấy chỉ có khi thì phương trình có hai nghiệm “đẹp” là và (cũng dễ tìm ra sau khi đã biết ).
Vậy ta có dự đoán: 
Ví dụ 8: Giải (2).
Đặt . Phương trình viết lại Sử dụng MTCT :
Với mỗi , ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số: 
 Để giải tự động, ta nhập vào máy:
. Ta tìm được khi thì được nghiệm “chẵn” là và 
(cũng dễ tìm ra sau khi đã biết ). 
Vậy ta có dự đoán: 
Ví dụ 9: Giải hệ 
Đặt , ta có Sử dụng MTCT : 
Với mỗi , ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số: 
Ta tìm được khi thì được nghiệm “chẵn” là và .
Vậy ta có dự đoán : Kiểm tra dự đoán thì khá dễ dàng (và thường là đúng). Việc giải tiếp theo dành cho bạn đọc.
Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa căn bằng cách nhân liên hiệp.
Ví dụ 10: Giải . 
ĐK: . 
Dùng MTCT giải phương trình cuối thì nó có nghiệm là . Vậy dự đoán nhân tử là . Trước hết ta tìm sao cho có nghiệm là , có nghĩa là 
Tương tự cho có nghiệm là 
Ta viết phương trình lại : 
Dễ thấy phương trình (4’) vô nghiệm vì điều kiện .
Ví dụ 11: Giải (ĐH khối B năm 2014)
Giải: ĐK: . Ta phân tích thành nhân tử (a). Cho x=1000. Cho máy giải phương trình tìm y được hai nghiệm là . Vậy ta dự đoán (a) có nhân tử là 
Do vô nghiệm.
Nếu thì đơn giản. Bạn đọc tự giải
Nếu thì ĐK trở thành và (b) trở thành 
. 
(Xem ví dụ Phân tích thành nhân tử đa thức một biến bậc bốn)
Để kết thúc bài viết, xem như rèn luyện, mời các bạn giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau:
 .
.
.
 MTCT không chỉ hổ trợ có bấy nhiêu vấn đề trong bài viết, bạn đọc có thể tìm thấy nhiều sự hổ trợ khác của MTCT trong giải toán.