Sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài Toán Hình Học

phẳng (SBC).
Nhận xét: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng chiều cao của hình chóp A.SBC.
Lời giải. 
Ta có . 
(gt) 
 là đường cao của hình chóp S.ABC. Ta có 
Mặt khác (do ),(gt) hay ∆SBC vuông tại B .
 Vậy (đvđd).
Ví dụ 2. (BT 1.18 SBT Hình Học 12)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có . Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho . Tính theo khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C).
Nhận xét: Khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) bằng độ dài đường cao kẻ từ M của hình chóp M.AB’C.
Lời giải. 
Ta có .
Từ . 
. 
Ta có ,, cân tại C. Lấy H là trung điểm của AB’, ta có .
Vậy (đvđd).
Ví dụ 3. ( Trích đề KD - 2012)
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo .
Nhận xét: Khoảng cách từ điểm A đến 
mặt phẳng (BCD’) bằng chiều cao kẻ từ A 	
 của hình chóp A.BCD’.
Lời giải.
Ta có .
.
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp đứng 
có đáy là hình vuông nên 
, ∆ACA’ vuông cân tại A,
. ∆ABC vuông cân tại B, AC =. 
Vậy (đvđd).
Ví dụ 4. ( Trích đề KD - 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC).
Nhận xét: mp(IBC) chính là mp(A’BC). Khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC) bằng độ dài chiều cao kẻ từ A của hình chóp A.BCA’.
Lời giải. Ta có 
..
Ta có (gt), (do AA’) 
vuông tại B
.
Vậy(đvđd).
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , SA = . M và N lần lượt là trung điểm của AB và CB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm H của AN và DM. Tính theo khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDN).	
Nhận xét: Khoảng cách từ điểm H đến mp(SDN) bằng độ dài đường cao kẻ từ H của hình chóp H.SND.
Lời giải. 
Ta có .
+) Gọi H là giao điểm của AM và DN . Từ giả thiết ta có Ta có. vuông tại A có AH là đường cao . 
 vuông tại H ,,. Ta có , .
Vậy (đvđd).
Ví dụ 6. (Trích đề KB - 2011)
Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật . Hình chiếu vuông góc của điểm trên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mp(A1BD) theo .
Nhận xét: 
Khoảng cách từ điểm 
B1 đến mp(A1BD) 
bằng khoảng cách 
từ điểm C đến mặt phẳng 
(A1BD) và bằng độ dài	
đường cao kẻ từ C của 
hình chóp C.A1BD.
Lời giải. 
Ta có B1C // A1D 
= . Gọi O là giao điểm của AC và BD, từ giả thiết suy ra là đường cao của hình chóp A1.CBD.
Ta có .
(đvđd).
Ví dụ 7. (Trích đề KB - 2013) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD).
Lời giải. 
Lấy H là trung điểm của AB. SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. 
= . 
Tính được cân đỉnh S. Lấy I là trung điểm của CD, tính được . Do đó (đvđd).
Ví dụ 8. ( Trích đề KD - 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh , cạnh bên SA 
vuông góc với đáy, , M là trung điểm của cạnh BC và . 
Tính theo khoảng cách từ điểm D đến mp(SBC).
Lời giải. 
Ta có . 
.
 đều 
cân đỉnh S. Tính được 
.Từ đó .
Ví dụ 9. (Trích đề KA,A1 - 2013)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh , mp(SBC) vuông góc với đáy. Tính theo khoảng cách từ C đến mp(SAB).
Lời giải.
Lấy H là trung điểm của BC. đều nên .. vuông tại A 
 cân tại S.
 Ta có ,
Lấy I là trung điểm của AB .
.
Ví dụ 10. (Trích đề KD - 2011)
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , mp(SBC) và mp(ABC) vuông góc với nhau. . Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC) theo a.
Lời giải.
Kẻ đường cao SH của , 
SH là đường cao của hình chóp S.ABC 
,
, 
Tính được vuông cân tại S. (đvđd).
Ví dụ 11. (Trích đề KA,A1 – 2014)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD).
Lời giải. 
Ta có .
Từ gt ta có SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. 
. Ta có 
, 
Tính được 
, Vậy (đvđd).
Ví dụ 12. (Trích đề KB - 2014)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) là trung điểm H cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’A’).
Lời giải. 
Ta có . . Từ gt suy ra A’H là đường cao của hình chóp A’.ABC.Ta có H là hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC), . Ta có . do đó cân tại C. Lấy I là trung điểm của AA’ ta có . Vậy (đvđd).
Để thấy ưu thế của phương pháp này so với phương pháp tính trực tiếp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chúng tôi xét ví dụ sau:
Ví dụ. (Trích đề KD – 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, .Cạnh bên SA vuông góc với đáy và. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD).
Lời giải 1. 
Ta có . vuông tại A, có AH là đường cao nên .
. Lấy I là trung điểm của AD tứ giác là hình vuông vuông tại C mà.
Tính được . Do đó .
H
Lời giải 2.
Gọi E là giao điểm của AB và CD. 
Lấy M là trung điểm của EC, N là
 trung điểm của SE, F là trung điểm 
của AD . 
Ta có tứ giác ABCF là hình vuông 
.
có vuông tại C
 , mà . 
MN là đường trung bình của 
.
 cân tại B 
.
Kẻ .
Ta có NB là đường trung bình của tam giác SAE 
. vuông tại B có BJ là đường cao nên 
, mà 
(đvđd).
So sánh hai lời giải chúng tôi thấy: Ở lời giải thứ nhất sau khi chuyển việc tính khoảng cách về tính khoảng cách học sinh chỉ cần sử dụng thuần túy tính toán biến đổi để tính mà không cần phải đi dựng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) mà chúng tôi cho rằng việc dựng này không hề đơn giản cho đa số các học sinh.
*Kết luận.
 Như vậy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoàn toàn có thể sử dụng thông qua việc tính thể tích khối chóp, đồng thời trong quá trình tính khoảng cách đó chúng ta cũng có thể sử dụng kết hợp với các tính chất:
- Nếu thì .
 - Nếu thì .
- Nếu B là trung điểm của OA thì .
1.3. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Bài Toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một trong những bài toán khó đối với học sinh. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có ba con đường: sử dụng định nghĩa, tính bằng con đường gián tiếp, hay sử dụng công thức của hình học tọa độ bằng cách chuyển bài Toán sang bài Toán Hình Học tọa độ.
Như đã nói ở phần trên, việc chuyển bài Toán sang Hình Học tọa độ chỉ nên sử dụng và sử dụng tốt cho một lớp các bài Toán đặc trưng.
Tính bằng cách sử dụng định nghĩa là chúng ta đi dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau rồi tính độ dài đoạn thẳng đó. Tuy nhiên bằng kinh nghiệm bản thân và tìm hiểu thực tiễn cho thấy việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau chỉ được thực hiện khá dễ dàng khi hai đường thẳng đó vuông góc với nhau mà thôi. Chính vì vậy mà con đường này chỉ nên sử dụng khi hai đường thẳng chéo nhau đó là vuông góc hoặc bài toán yêu cầu dựng.
Tính gián tiếp nghĩa là chúng ta không đi dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau mà thay thế khoảng cách cần tính bởi một khoảng cách tương đương khác rồi tính hoặc là sử dụng công thức thể tích. Một trong những con đường gián tiếp đó là chuyển về tính khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại mà song song với nó. Theo cách này chúng ta sẽ phải đi dựng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đây là công việc đã đơn giản hơn nhưng cũng không dễ đối với đa số học sinh nhất là những em yếu khâu vẽ hình và dựng hình, hoặc sử dụng kỹ thuật tính như mục 1.2. Ở đây, chúng tôi muốn hướng học sinh tới một cách tính gián tiếp khác nhờ ứng dụng của bài toán tính thể tích tứ diện. 
Cơ sở của vấn đề này là bài Toán:
Bài Toán. (Bài 38tr10 Bài tập HH 12 nâng cao - NXBGD 2008) 
Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng .
Các lời giải:
Lời giải 1.
Dựng hình bình hành BCDE, ta có:
 Do CD // BE nên CD // mp(ABE)
, ,
. Vậy 
Lời giải 2. 
Dựng hình hộp AMBN.FDEC ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
Ta có,
., .
Bài toán này có một dạng phát biểu khác như sau: Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi. (Bài tập 6 tr26 SGKHH12 - NXB GD 2008).
Vậy thể tích tứ diện bằng một phần sáu tích của một cặp cạnh đối với khoảng cách giữa hai cạnh đó và sin của góc tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cặp cạnh đối nói trên.
Nhận xét: Với AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng được cho bởi công thức . Vậy để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:
B1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
B2. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, CD và .
B3. Áp dụng công thức , ta có khoảng cách cần tính.
Theo cách tính này thì học sinh sẽ tránh được việc phải dựng hình khó khăn.
Sau đây là hệ thống các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = h và 
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) SB và CD 	b) SC và BD	c) SC và AB.
Lời giải.
Ta có .
Từ giả thiết ta có SA là đường cao 
của hình chóp S.ABCD.	
 . 
Tam giác SAB vuông tại A. 
.
AB // CD 
. Từ đó (đvđd).
b) Ta có 
, .
Ta có .
Vậy (đvđd).
c) Ta có ., .
AB// CD . Ta có . Vậy (đvđd).
Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau:
a) OA và BC	b) AI và OC.
Lời giải.
a) Ta có 
 là 	
đường cao kẻ từ A của tứ diện OABC.
Ta có , 
OA = , 
.Vậy .
c)Ta có . 
,.
Lấy J là trung điểm của OB , .
Ta có .
Vậy (đvđd).
Ví dụ 3. (Trích đề KA - 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN với MD. Biết SH , . Tính khoảng cách giữa DM và SC theo a.
Lời giải. 
Ta có . 
Từ gt ta có SH là đường cao của hình chóp SDCM. 
Do ABCD là hình vuông M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD 
(c-g-c).Ta có , , , Từ gt 
.Vậy (đvđd).
Ví dụ 4. (Trích đề KB - 2002)	
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a. Tính theo a khoảng cách giữa 
các đường thẳng A1B và B1D.
Lời giải. 
Ta có 
.
 Ta có 
Vậy (đvđd).
Ví dụ 5. (Trích đề KA – 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, mp(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp(ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N. Biết . Tính khoảng cách giữa AB và SN theo a.
Lời giải. 
Ta có 
Từ gt nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC
, .
Do 
Vậy 
. 
 vuông tại A nên .
Ta có mp qua SM song song với BC cắt mp(ABC) theo giao tuyến qua M và song song với BC, giao tuyến này cắt AC tại N. M là trung điểm của AB nên N là trung điểm của AC .
Ta có .
Dựng hình bình hành AMND, ta có
. 
Vậy (đvđd).
Nhận xét: Ta cũng có 
Ví dụ 6. (Trích đề KB - 2007)
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Lời giải. Ta có 
Gọi SO là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Dễ thấy 
Lấy I là trung điểm của SA. 
Tứ giác MNCI là hình bình hành, 
(O’ là giao điểm của SO với CI )
Ta có 
Vậy (đvđd).
Ví dụ 7. (Trích đề KA,A1 - 2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mp(ABC) bằng .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Lời giải. 
Ta có 
Từ giả thiết ta có SH là đường cao của hình chóp S.ABC nên , 
Do H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC)
. 
Ta có ,
, ,.
Vậy (đvđd).
Ví dụ 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có kich thước tương ứng là AB = 10, AD = 15, AA1 = 20. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng B1D1 và AC, AB và A1C.
Lời giải.
+) : Ta có 
,
. Vậy 
(đvđd).	
+) :
Ta có ,
Vậy (đvđd).
Ví dụ 9. (Trích KD - 2014)
Cho hình chóp S.ABC có dáy ABC là tam giác vuông cân tại A mặt bên SBC là tam giác đều cạnh và mp(SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Lời giải. 
Ta có . 
Gọi H là trung điểm của BC, đều nên SH là đường cao của tam SBC, , mà 
SH là đường cao của hình chóp S.ABC 
.
Ta có . 
Vậy(đvđd).
Để thấy ưu điểm của phương pháp này ta so sánh các lời giải trong ví dụ sau:
Ví dụ. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau AI và OC.
Lời giải 1. (Sử dụng định nghĩa).
Lấy J là trung điểm của OB thì 
do đó . Vậy mp(AIJ) chứa AI 
và song song với OC. Do IJ // OC, 	
. 
Dựng OK vuông góc với AJ tại K 
. 
Từ K kẻ đường thẳng song song với OC 
cắt AI tại E. Từ E dựng đường thẳng song song 
với OH cắt OC tại F.
Khi đó EF là đoạn vuông góc chung của AI và OC, đường thẳng EF là đường vuông góc chung của AI và OC. Ta có vuông tại O nên 
Vậy (đvđd).
Lời giải 2. (Chuyển về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng).
Lấy J là trung điểm của OB thì do đó . Vậy mp(AIJ) chứa AI 
và song song với OC .
Ta có , vuông tại J (do IJ//OC, OC , , . 
. Vậy (đvđd).
Lời giải 3.(sử dụng công thức tính thể tích tứ diện)
Ta có .
, .
Lấy J là trung điểm của OB , .
Ta có .
Vậy (đvđd).
Nói về ưu điểm tuyệt đối của cách dùng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau so với hai cách hay dùng trước đây là chuyển về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và dựng đường vuông góc chung thì không phải mà nó còn tùy thuộc vào đặc thù của từng bài toán, chẳng hạn như trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc vơí nhau thì việc dựng đường vuông góc chung là khá dễ dàng. Tuy nhiên chắc chắn đây cũng là một hướng giải tốt cho bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đối với đại đa số học sinh thì cách giải quyết này dễ sử dụng hơn nhiều so với việc phải dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau rồi tính khoảng cách giữa chúng.
*Kết luận: Có thể sử dụng việc tính thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1.4. Sử dụng thể tích để tính diện tích thiết diện
Để tính diện tích thiết diện sau khi đã dựng được thiết diện chúng ta có thể thực hiện theo một trong các con đường sau:
+) Xác định thiết diện là các đa giác đặc biệt như đa giác đều hoặc các tam giác hoặc tứ giác đặc biệt và tính diện tích thiết diện đó.
+) Chia thiết diện cần tính thành các đa giác đặc biệt tính được diện tích.
+) Sử dụng phương pháp thêm bớt, nghĩa là chúng ta thêm vào thiết diện cần tính các đa giác thích hợp để được đa giác lớn hơn tính được diện tích rồi trừ đi diện tích các đa giác thêm vào sẽ được diện tích cần tính.
+) Sử dụng công thức hình chiếu: , trong đó S và S’ lần lượt là diện tích của thiết diện và diện tích hình chiếu của thiết diện trên mặt phẳng chiếu, là góc giữa mặt phẳng chứa thiết diện và mặt phẳng chiếu.
+) Sử dụng công thức thể tích khối chóp.
Cơ sở của vấn đề này là chúng ta gắn thiết diện cần tính vào đáy của một khối chóp nào đó đã biết hoặc tính được thể tích và chiều cao, khi đó diện tích thiết diện cần tính được bởi công thức: . Trong đề tài này chúng tôi sử dụng công thức thể tích để giải các bài toán về tính diện tích thiết diện.
Sau đây là các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (ĐH giao thông vận tải KA-2001) Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a. Qua AB dựng một mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h.
Lời giải. 
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có khi đó , gọi M là trung điểm AB do tam giác ABC đều nên vậy . Trong mp(SMC) kẻ MH ^ SC ta có mặt phẳng (AHB) ^ SC. Thiết diện là tam giác AHB. Ta có SH là đường cao của hình chóp S.ABH. . 
Mà (đvdt). 
Ví dụ 2. (CĐSP Quảng Ninh KB - 2005) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a. chiều cao SO = . Dựng thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện vừa dựng.
Lời giải. 
Ta có . 
(P) là mặt phẳng qua A và song song với BD. 
Trong tam giác SAC kẻ AH ^ SC, AH cắt SO tại E.
Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB tại M, N. Nối AM, AN, MH, NH được thiết diện là tứ giác AMHN. nên tam giác SAC đều H là trung điểm của SC nên E là trọng tâm tam giác SAC. 
Ta có:, ,, .
Vậy (đvdt).
Ví dụ 3. (BT52 tr12 SBT Hình học 12 nâng cao)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy là tam giác vuông tại B, ,
. Một mp(P) đi qua A và vuông góc với CA’. Tính diện tích của thiết diện tạo thành khi cắt lăng trụ bởi mặt phẳng (P).
Lời giải. 
Trong mp(AA’C’C), dựng đường thẳng qua A vuông góc với CA’ lần lượt cắt CC’ tại I và M.
Vì nên , do đó M thuộc đoạn CC’. Ta có 
. Trong mp(A’B’BA), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với A’B cắt BB’ tại N. Vậy thiết diện là tam giác AMN.
Ta có: ( do NB// AA’, MC// AA’).
Mặt khác: .
Xét tam giác vuông A’AC ta có: 
.
Vậy (đvdt).
Nhận xét: Những bài toán trên đây về tính diện tích thiết diện thuộc loại thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng. Khi vận dụng cách tính thể tích khối chóp để tính diện tích chúng ta nên lựa chọn áp dụng cho những bài tập mà đường cao, ứng với đáy là thiết diện cần tính, tính được một cách dễ dàng, nếu không con đường này sẽ trở nên phức tạp.
Kết luận: Có thể sử dụng thể tích khối chóp để tính diện tích thiết diện.
1.5. Sử dụng thể tích để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Hình Học
Để sử dụng việc tính thể tích khối chóp vào việc chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Hình học ta dựa trên cơ sở các kết quả sau:
+) Hai khối chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số hai đường cao bằng tỉ số thể tích của hai khối chóp.
+) Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số hai diện tích đáy bằng tỉ số thể tích của hai khối chóp đó.
+) Hai khối chóp S.ABC và S.A’B’C’ có A’, B’, C’ lần lượt nằm trên ba đoạn thẳng SA, SB, SC. Ta có . 
Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác BCD. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC).
Chứng minh rằng:
a) 	b) .
(Trong đó tương ứng là đường cao kẻ từ B, C, D của tứ diện ABCD; tương ứng là diện tích các mặt đối diện với các đỉnh B, C, D; V là thể tích khối tứ diện ABCD).
Lời giải. 
a)Ta có 
.
b) Ta có 
(đpcm).
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh , h là độ dài đường cao của tứ diện, O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác BCD. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC).
a) Chứng minh rằng: .
b) Tìm vị trí của điểm O trong tam giác BCD sao cho tứ diện có thể tích lớn nhất.
Lời giải. Áp dụng ví dụ 1. 
Khi ABCD là tứ diện đều cạnh ta có 
Từ đó ta có .
Gọi là góc tạo bởi các mặt của tứ diện ABCD, H là hình chiếu vuông góc 
của trên mp. Ta có 
.
(do ). Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay O là trọng tâm tam giác BCD.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác BCD. Qua O kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) tương ứng tại . Chứng minh rằng: .
Lời giải. 
Ta có: 
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. O là một điểm nằm trong tứ diện. Gọi là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC). 
Chứng minh rằng:
a) .	
b) 
Lời giải.
a) Ta có: 
.
b)	
 .
Hay 
Nhận xét: Đặc biệt khi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD ta có .
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD. O là môt điểm nằm trong tứ diện. 
.
Chứng minh rằng
 a) 	 
	b) .	
Lời giải. 
 a)Ta có: 
b)Ta có
Ví dụ 6. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng (α) đi qua trọng tâm G’ của tứ diện cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’.
 Chứng minh rằng .
S
A’
A
B
C
I’
C’
G
B’
I
G’
Lời giải. 
Ta c ó .
 .
Tương tự , 
mà . 
Ví dụ 7. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA, SB, SC, SG tại A’, B’, C’, G’. 
S
A’
A
B
C
I’
C’
G
B’
I
G’
Chứng minh rằng .
Lời giải. 
Ta có .
 . 
Tương tự , 
mà 
 . 
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC, SD tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng . 
 Lời giải.
Các tam giác ABC, ABD, 
BCD, ACD bằng nhau 
.
Ta có 
.
Ví dụ 9. (BT 51 tr12 SBT Hình học 12 nâng cao- NXB GD 2008)
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong lăng trụ đều đến các mặt của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong lăng trụ đó.
Lời giải.
Gọi lăng trụ đều đã cho là H. Gọi I là điểm nằm trong lăng trụ. Dễ thấy tông các khoảng từ I đến hai đáy của lăng trụ bằng chiều cao h của lăng trụ, là cạnh đáy của lăng trụ.
Kí hiệu lần lượt là khoảng các từ I đến hai mặt đáy và các mặt bên của lăng trụ, , S, tương ứng là diện tích của một mặt bên và diện tích của một mặt đáy của lăng trụ, V là thể tích lăng trụ. Do lăng trụ là đều nên h bằng cạnh bên và 
Ta có lăng trụ được chia thành n+2 hình chóp đỉnh I, gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp đỉnh I, ta có:
 .
Vậy tổng khoảng cách từ I đên các mặt của lăng trụ là không đổi. Tỏng này bằng .
Sau khi chứng minh được các đẳng thức trên, bằng cách vận dụng kết hợp các BĐT cổ điển như Cauchy, Bunhiacopxki chúng ta sẽ có được một hệ thống các bài tập về BĐT Hình học thú vị mà để giải quyết chúng thì chúng ta có thể vận dụng công thức tính thể this khối chóp để chứng minh đẳng thức rồi từ đó mới chứng minh BĐT. Chẳng hạn, bài Toán:
 Cho tứ diện ABCD. O là môt điểm nằm trong tứ diện.
. Chứng minh rằng:
1) 	2) .
3)	4)	
5) 	6)	
7) 	8)
9)	10)	
11)	12) 
13) 	14)
15)	16) 
17)	18)
19) .
(Trong đó tương ứng là đường cao kẻ từ B, C, D của tứ diện ABCD; tương ứng là diện tích các mặt đối diện với các đỉnh B, C, D; V là thể tích khối tứ diện ABCD).
*Kết luận chương 1.
 Trong chương 1 chúng tôi đã hệ thốn