Tài liệu ôn tập học sinh giỏi môn Toán

Phần III: Tính chất chia hết của một tổng, dấu hiệu chia hết.
I/ Sử dụng t/c chia hết của một tổng chứng minh một tổng hoặc một hiệu chia hết cho một số.
1/ Chứng tỏ rẳng thì 60n + 45 15 nhưng không chia hết cho 30
2/ Cho 23! + 19! – 15! Chứng tỏ rằng B 11 , B 110; Chứng tỏ rẳng: 53! – 51! 29.
3/ Cho với k > 1 chứng tỏ rằng: ; 
4/ Chứng tỏ rẳng:; với a > b
5/ Cho Chứng tỏ rẳng .
6/ Chứng tỏ rằng:.
7/ Chứng tỏ rằng nếu: thì .
8/ Biết: thì 
9/ Chứng minh rằng: thì .
10/ Cho thì .
 Cho thì .
 Cho 8 số tự nhiên có ba chữ số trong 8 số đó tồn tại hai số tự nhiên liên tiếp nhau tạo thành số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 7
11/ Cho 3 số tự nhiên khác nhau và khác 0 lập tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số từ 3 chữ số trên. Chứng tỏ rằng tổng của chúng chia hết cho 6 và chia hết cho 37.
12/ Cho n là số tự nhiên chứng tỏ rằng:
13/ Chứng tỏ rằng: Nếu x, y N và thì x + 2y 5.
14/ Một số có ba chữ số và chữ số hàng chục bằng chữ số hàng trăm Chứng tỏ rằng tổng các chữ số của số đó chia hết cho 12.
15/ Chứng minh rằng nếu x, y N thì x, y chia cho 7 dư 3.
16/ Chứng tỏ rằng trong hai số: có một và chỉ một số chia hết cho 3.
17/ Cho a, b N và 5a + 3b và 13a +8b cùng chia hết cho 1995 thì a và b cùng 1995.
18/ Cho a, b N có a + b 11 và .
19/ Chứng tỏ rằng với mọi n N thì không thể chia hết cho 25.
20/ Chứng tỏ rằng với mọi n N thì chia hết cho cả 2 và 5.
20.1/ Chứng tỏ rằng: và .
21.2/ Cho n N CTR .
21.3/ Cho n N CTR không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5
21.4/ CTR n N thì :
21.5/ Cho 
21.6/ Cho hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k CTR a 9.
21.7/ Chứng tỏ rằng một số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27.
21.8/ Cho N biết 
 Giả sử b = ka (k N) Chứng tỏ rằng k là ước của 10
 Tìm 
21.9/ Cho .
21.10/ CMR:
21.11/ Cho : 
21.12/ CTR:
21.13/ Chứng minh rằng số gồm 81 chữ số 1 thì chia hết cho 81.
 Số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
21.14/ Cho a, b là các chữ số khác nhau: Hãy chứng minh:
21.15/ Cho 
21.16/ CTR tổng tất cả các số có 4 chữ số thì chia hết cho đồng thời cho tất cả các số 4;9;125.
21.17/ Biết: là một số chia hết cho 9 chứng tỏ rằng: 
21.18/ Chứng tỏ rằng tổng của hai số tự nhiên không chia hết cho 2 thì tích của chúng 2
21.19/ Cho 4 số tự nhiên không chia hết cho 5 khi chia cho 5 được những số dư khác nhau: CTR tổng của chúng là một 5.
21.20/ Chứng tỏ rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2, tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 còn tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
20.21/ Cho .
II/ Vận dụng t/c dấu hiệu để tìm một số thỏa mãn điều kiện cho trước.
1/ Tìm n để: 
2/ Tìm n N để: 
3/ Tìm n N để: 
4/ Chứng tỏ rằng x và y là các số tự nhiên sao cho 3x – y + 1 và 2x + 3y – 1 đều chia hết cho 7 thì x và y khi chia cho 7 đều có cùng số dư là 3.
5/ Cho a, b n N / 5a + 3b và 13a +8b cùng 1995 thì a và b cùng 1995 
6/ Cho a, b n N / và chứng tỏ rằng a, b cùng chia hết cho 11
7/ Chứng tỏ rằng không tồn tại số tự nhiên n để : 
8/ Tìm x, y N sao cho 15x + 20y = 2001
9/ Cho 
III/ Vận dụng t/c chia hết, dấu hiệu chia hết tìm a, b thỏa mãn điều kiện.
1/ Tìm x, y để: 275x cả 5; 25; 125; b) 
2/ Cho tìm chữ số a để 
3/ Thay dấu * Bởi số thích hợp để 
 nhưng không chia hết cho 9; nhưng không chia hết cho 5.
4/ / Tìm a;b N/ 
5/ Tìm các số a, b sao cho: a) a – b = 4 và ; b) a – b = 6 và 
6/ Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng nó chia hết cho 5 và 9 và chữ số hàng chục bằng trung bình cộng hai chữ số kia.
7/ Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn: 
8/ Tìm các chữ số a, b sao cho: cả 5 và 8
9/ Có hai số tự nhiên x, y nào mà (x + y).(x – y) = 2002 không?
10/ Trong các ước của n = 1.2.3.4.5.6...16.17. Hãy tìm số lớn nhất là bình phương của một số TN, Lập phương của một số TN: 
Phần IV: Lũy thừa:
Dạng 1: viết dưới dạng một lũy thừa:
1/ 
2/ Cho .Hãy viết A dưới dạng một lũy thừa:
3/ Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa:
4/ Viết tích sau dưới dạng một lũy thừa:
5/ Viết tích sau dưới dạng một lũy thừa:
6/ Viết gọn các tích sau dưới dạng một lũy thừa:
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức bằng cách nhanh nhất:
Dạng 3: So sánh hai lũy thừa:
1/ với ; với ; với 
2/ với ; với ; với 
3/ với ; với ; với 
4/ với ; với ; với ; với ; với ; 5/ với ; với với 
6/ Tìm x biết:
1/ ; ; ; ; 
; 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
7/ Tìm số tự nhiên a, b sao cho 
8/ Tính xem số có bao nhiêu chữ số trong hệ thập phân.
9/ Biểu diễn số dưới dạng số tự nhiên trong hệ thập phân.
10/ Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho 2n là bình phương của một số tự nhiên còn 3n là lập phương của một số tự nhiên.
11/ Tìm chữ số tận cùng của :
12/ Chứng tỏ rầng: 
13/ Tổng của n số tự nhiên chẵn đầu tiên khác 0 có là số chính phương? vì sao?
14/ Thu gọn tổng sau:
Bài tập phần: Ư, B, SNT, HS, Phân tích một só ra TSNT.Tìm số lượng ước.
1/ Cho .
A là số nguyên tố hay hợp số:
A có là số chính phương không?
2/ Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
1.3.5.7..18 + 20
147.123.347 – 13
3/ Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
 .
C = 10101010. D = 1112111 .
G = 3.5.7.9 – 28; H = 31114111.
4/ a/ Cho n là một số không chia hết cho 3 Chứng tỏ rằng n = 3k + 1
 b/ Cho P là một số nguyên tố P >3. Hỏi P2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp sô.
5/ Cho P và P + 8 đều là số nguyên tố(P >3). Hỏi P + 100 là số nguyên tố hay hợp số:
6/ Cho P và P + 4 đều là số nguyên tố(P >3) CTR P + 8 là hợp số:
7/ Cho P và 10P + 1 là số nguyên tố(P >3) CTR 5P + 1chia hết cho 6
8/ Cho P là số nguyên tố P >3 biết P + 2 là số nguyên tố. CTR P + 1 chia hết cho 6.
9/ Tìm số nguyên tố sao cho P + 2 và P + 10 đều là số nguyên tố:
10/ Tìm tất cả các số nguyên tố P và Q sao cho 7P + Q và PQ + 11 đều là số nguyên tố:
11/ Cho P; P + 8 là số nguyên tố P >3.CTR P + 10 là số nguyên tố:
12/ Tìm số nguyên tố P sao cho P + 2 và P + 10 đều là số nguyên tố:
13/ Tìm số nguyên tố P để P2 + 44 là số nguyên tố
14/ Tìm số nguyên tố P để P + 94 và P + 1994 đêu là số nguyên tố:
15/ Tìm số nguyên tố P để 4P + 1 là số chính phương:
16/ Tìm các số tự nhiên k để 13k là số nguyên tố:
17/ Có hay không số tự nhiên n để 2014 + n2 là số chính phương.
18/Tìm các ước của 420; 200
19/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 12 ước.
20/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ước.
21/ Cho A là một hợp số khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì A có hai thừa số nguyên tố khác nhau. P1 và P2. Biết A3 có 40 ước tự nhiên. Hỏi A có bao nhiêu ước tự nhiên.
22/ Tìm các số tự nhiên x,y sao cho x2 + 45 = y2
23/ Cho P là số nguyên tố P >3. Hỏi P2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số:
24/ Tìm số nguyên tố P để: P2 + 4 và P2 – 4 đều là số nguyên tố:
25/ Chứng tỏ rằng một số tự nhiên khác 0 có số lượng ước là một số lẻ thì số đó là số chính phương.
26/ Tìm số tự nhiên A biết: a chia hết cho 5, a chia hết cho 9 và a có 10 ước:
Bài tập phần ƯCLN; BCNN.
1/ Tìm ƯC(2n + 1, 3n + 1)
2/ Tìm ƯCLN( 9n + 4; 2n – 1)
3/ Cho a + 5b 7 (a,b N) CTR 10 + b 7 điều ngược lại có đúng không?
4/ Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 : 9 thì dư 38 còn còn 450 chia cho a thì dư 18
5/ Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng là 288 và ƯCLN của chúng là 24.
6/ Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng là 192 và ƯCLN của chúng là 18.
7/ Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 56 và biết hiệu của chúng là 28 và ƯCLN của chúng là 14.
8/ Giả sử hai số tự nhiên có hiệu là 84 ƯCLN của chúng là 12.Tìm hai số đó:
9/ Cho hai số tự nhiên nhỏ hơn 200.Biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN là 15 . Tìm hai số đó.
10/ Tìm hai số tự nhiên biết rằng tích của chúng là 180 và ƯCLN của chúng là 3
11/ Tìm hai số tự nhiên biết rằng tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27/
12/ ƯCLN của hai số là 45 số lớn là 270 Tìm số nhỏ:
12/ ƯCLN của hai số là 4 số lớn là 8 Tìm số lớn:
13/ Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng BCNN(a,b) = 300 và ƯCLN(a,b) = 15.
14/ Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng BCNN(a,b) = 72 và ƯCLN(a,b) = 12.
15/ Tìm hai số tự nhiên biết rằng tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng là 210
16/ Tìm hai số tự nhiên biết rằng tích của chúng là 2700 và BCNN của chúng là 900.
17/ Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho Tổng của ƯCLN và BCNN là 15.
18/ Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho Tổng của ƯCLN và BCNN là 55.
19/ Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho hiệu của BCNN và ƯCLN là 5.
20/ Tìm WCLN( 7n +3, 8n – 1) với (n N*). Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau.
21/ Cho (a,B) = 1 Chứng tỏ rằng: (8a + 3) và (5b + 1) là nguyên tố cùng nhau:.
22/ Tìm số nhỏ nhất để: n + 1; n + 3; n + 7 đều là nguyên tố:
23/ Biết(a,b) = 95 tìm (a + b, a – b).
24/ Cho số tự nhiên a, b (a>b) 
a/ CTR: a b thì (a,b) b.
b/ Nếu a không chia hết cho b thì (a,b) = (b,r).
25/ Tìm ƯCLN (a,b) biết a gồm 1991 chữ số2 còn b gồm 8 chữ số 2.
26/Tìm ƯCLN(187231; 165148) 
27 Tìm ƯCLN.
18/ Tìm n để 9n + 24 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau:(n N).
19/ Tìm n để: 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau:
20/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 thì dư 1 còn chia cho 7 thì dư 5.
21/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số khi chia cho 131 thì dư 112 còn chia cho 132 thì dư 98.
22/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số khi chia cho 11 thì dư 5 còn chia cho 13 thì dư 8.
23/Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 thì dư 7 còn chia cho 31 thì dư 28.
24/ Một số tự nhiên biết răng khi chia cho 7 thì dư 15 chia cho 13 thì dư 4 còn chia cho 91 thì dư ?
26/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 17 thì dư 5 còn chia cho 19 thì dư 12.
Phần V Số nguyên.
I/ Giá trị tuyệt đối của một số nguyên.
1/ Tìm x biết:
2/ Tìm xZ biết: - 2014 < 2
3/ Tính tổng các giá trị của các số nguyên x biết: - 2014 < 2014
4/ Tìm x, y, z Z biết: + + = 0
5/ Tìm a, b, c Z biết: + + 0
6/ Tìm x, y biết: 
7/ CTR:
8/ Tìm x Z để đạt giá trị nhỏ nhất:
9/ với giá trị nào của a thì: a + = 0; a + = 2a
10/ Tìm x Z để 
11/ Tìm x Z để: 
12/ các số a và b phải thỏa mãn điều kiện gì để: 
a/ a + b = 
b/ a + b = - ()
13/ Tìm hai số nguyên x và y biết: x và y là hai số nguyên cùng dấu và 
14/ Cho hãy tính x - y
15/ . Tìm x, y.
16/ Tìm x Z biết : 
17/ Tìm x Z biết : 
18/ Tìm x Z biết : 
19/ Tìm x Z biết : 
 Tìm x Z biết : . Hãy tính x – y
20/ Tìm x Z biết : 
21/ Tìm x Z để: Trùng bài 11
22/ Cho x, y Z.
a/ Với giá trị nào của x thì: A = 100 - có giá trị lớn nhất: tìm giá trị đó:
b/ Với giá trị nào của y thì: B = có giá trị lớn nhất tìm giá trị đó:
II/ Các phép tính trên tập số nguyên:
1/ Tính nhanh:
a/ 1 – 2 + 3 – 4 +  + 999 – 100
b/ 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8 +  + 97 – 98 – 99 + 100
2/ Cho: S1 = 1 + (-3) + 5 + (-7) + + 17
 S1 = (-2) + 4 + 6 + (-6) + 8 + + (-18)
Tính S1 + S2
3/ Tìm x biết: (x + 153) – (48 – 193) = - 1 - 2 - 3 - 4
4/ Tìm x biết: 10 = 10 + 9 + 8 + 7 +  + x Trong đó vế phải là tổng các số nguyên liên tiếp giảm giần:
4’/ Tìm x biết: 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 +  + x = 12 Trong đó vế trái là tổng các số nguyên liên tiếp giảm giần:
5/ Tìm x biết: x + (x+1) + (x+2) + (x+3) +  + 19 + 20 = 20 Trong đó vế trái là tổng các số tự nhiên liên tiếp tăng dần:
6/ Cho a + b = 11; b + c = 3; c + a = 2 Tìm a, b, c
7/ Cho a, b, c, d Biết: a + b + c + d = 1(1)
 a + c + d = 2(2)
 a + b + d = 3(3)
 a + b + c = 4(4)
8/ Cho x1 + x2 + x3 ++ x50 + x51 = 0 và x1 + x2 = x3 + x4 =  = x50 + x51 = 1
9/ Tính tổng sau: S1= 2 – 4 + 6 – 8 +  + 1998 – 2000
 S2= 2 – 4 - 6 + 8 + 10 – 12 – 14 + 16 +  +1994 – 1996 - 1998 + 2000
10/ Tính tổng sau:
a/ S = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 +  + 98 – 99 – 100 + 101 + 102
b/ S = - 1 + 3 – 5 + 7 -  - 101 + 103
c/ S = 1 – 2 + 22 – 23 + . + 21000
11/ Tính tổng: T = 3 – 32 + 33 – 34 + 35 + . + 31999 - 32000
12/ Tìm x biết:(x + 17) – 18 = - 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 -  + 28 – 29 + 30
13/ Tính:
a/ 1 + 2 – 3 + 4 – 5 +  + 199 – 200
b/ 1 + 2 – 3 – 4 + 5 – 6 – 7 + 8 -  + 97 + 98 – 99 – 100
c/ - 1 + 3 – 5 + 7 -  - 101 + 103
14/ Tính tổng S = 1 + 2 + 3 – 4 – 5 – 6 + 7 + 8 + 9 +  + 56 + 57 – 58 – 59 - 60 
15/ Tính: D = 2100 - 299 – 298 -  - 22 – 2 - 1
III/ Phép nhân trong Z: 
1/ Tìm a, b Z biết: a.b = 24; a + b = -10
2/ Tìm tất cả các cặp số nguyên x,y sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng:
3/ Tìm x Z biết: 
a/ x(x + 3) = 0
b/ (x - 2).(5 – x) = 0
c/ (x – 1).(x2 + 1) = 0
d/ (x – 3).(2y + 1) = 7
e/ (2x – 1).(3y – 2) = - 56
g/ (x – 7).(x + 3) < 0
h/ (x – 5).(x2 – 9) = 0
i/ (x2 – 7).(x2 – 51) < 0
4/ Cho A = (5m2 – 8m2 – 9m2).(- n3 + 4n3). Với giá trị nào của m, n thì A > 0.
5/ Cho các số nguyên a, b, c, d, e, g, h thỏa mãn.
a + b = c + d = e + g = h + a = 5 và a + b + c + d + e + g + h = - 23 tính a.
6/ Tìm x Z biết:
a/ (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) +  + (x + 99) = 0
b/ (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) +  + 10 + 11 = 11
7/ Cho biết A < B hãy so sánh m với n
8/ Cho a, b, c, d Z biết: ab – ac + bc – c2. CTR: a và b là hai số đối nhau:
9/ Tìm GTNN của: (x – 11)2 + 2015
 Tìm GTLN của: - (x + 81) + 2015
10/ Tìm x, y biết: 3x + 4y – xy = 15
Bội và ước của một số nguyên:
1/ Các số sau có bao nhiêu ước nguyên: 64; -196
2/ Cho a, b, x, y Z trong đó x, y không đối nhau nếu ax – by x + y thì ay – bx x + y 
3/ Tìm các số nguyên x, y nhỏ hơn 10 sao cho 3x – 4y = - 21
4/ Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 +  + 398 - 399
Chứng tỏ rằng S là bội của (-20)
Tính S rồi từ đó suy ra 310 0 chia cho 4 dư 1
5/ Tìm số nguyên dương n sao cho n + 2 là Ư(111) còn n – 2 là bội của (11)
6/Tìm n Z để: 
a/ 4n – 5 n
b/ -11 là B(n – 1)
c/ 2n – 1 Ư(3n +2)
7/ Tìm n Z để: n – 1 là và n + 5 lầ bội của n - 1 
8/ Tìm n Z để: 
a/ n2 – 7 B(n + 3)
b/ n + 3 B(n2 – 7)
9/ Tìm các số nguyên x, y sao cho:
a/ (x + 2)(y – 3) = 5
b/ (x + 1)(xy – 1) = 3
10/ Tính A + B biết A là tổng các số nguyên âm lẻ có 2 chữ số còn B là tổng các số nguyên dương chẵn có hai chữ số.
11/ Cho A = 2 – 5 + 8 – 11 + 14 – 17 +  + 98 – 101
Viết dạng tổng quát số hạng thứ n của A.
Tính giá trị của A.
12/ Cho A = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 -  - 99 – 100 
a/ A có chia hết cho 2 ; 3 ; 5 Không? vì sao?
b/ A có bao nhiêu ước nguyên bao nhiêu ước là tự nhiên. 
13/ Tìm các số nguyên n sao cho: 
a/ n + 5 n – 2; b/ 2n + 1 n – 5; c/ n2 – 3n - 13 n + 2; d/ n2 + 3 n - 1
14/ Tìm n Z để: n2 + n – 17 B(n + 5)
15/ Tìm n Z để: a) (a – 7)(b + 3) = - 8; b) (ab – 2)(b + 5) = 6; c) (a – 15)(b + 8) = - 9
16/ Tìm n Z để: và 
17/ Tìm n Z để: n2 + 3n – 5 B(n – 2); n2 + 9n + 7B(n + 2); n2 + 5n + 9 B(n + 3); 
18/ Cho x, y Z thỏa mãn: 1003x + 2y = 2008
CTR x 2; b.Tìm x, y
19/ CTR nếu n là số nguyên dương thì: 20 + 21 + 22 + 23 + + 25n – 3 + 25n- 2 + 25n – 1 31
20/ Tìm x biết x + (x + 1) + (x + 2) +  + 2008 + 2009 = 2009
Phần phân số:
1/ Tìm điều kiện của n để là phân số:
2/ Cho Chứng tỏ rằng B là số tự nhiên:
3/ Cho Tìm giá trị của số tự nhiên n để P có giá trị là số nguyên tố:
4/ Cho và Chứng tỏ rằng a và b không đồng thời là số nguyên tố với cùng một giá trị của n
5/ Tìm x Z để các số sau đồng thời là số nguyên:.
6/ Cho Tìm n Z để A là số nguyên:
7/ Tìm x, y Z biết: = và x – y = 5.
8/ Tìm tất cả các số a, b, c, d nhỏ nhất sao cho .
9/ Cho CMR: nếu: thì:.
10/ Cho CMR và:
11/ Tìm x biết:
12/ Tìm x,y,z biết: 
a. và x. y. z = 20
 và x2 + y2 + z2 = 585
13/ Tìm x, y Z biết:
 với x > y
 với x < 0 < y
 và x – y = 5
14/ Lập các cặp số bằng nhau từ 4 trong 5 số sau: -18; -4; 8; 9; 36
Bài tập về nhà: 
1/ Cho phân số 
Tìm n để B là phân số:
Tìm n để B là số nguyên âm, số nguyên dương.
Tính giá trị của B tại n = -3; 0 ; 12
2/ Chứng tỏ rằng: là phân số:
3/ Tìm n để: là số tự nhiên: (nN)
 Tìm n để: là số nguyên tố:
4/ Cho và chứng tỏ rầng a và b không đồng thời là số nguyên tố với cùng một giá trị của n
5/ Tìm n để các phân số sau có cùng một giá trị nguyên: 
6/ Tìm x để 
7/ Tìm x, y để .
8/ Lập các phân số bằng nhau từ các phân số sau (-2); (-3); (-6); 3; 4
9/ Tìm x, y biết: và x – y = 1
10/ CTR: các phân số sau bằng nhau:
Phần Phân số bằng nhau. tính chất cơ bản của phân số:
1/ Rút gọn các phân số sau:
2/ Cho 
Rút gọn A
Nêu cách xóa một số hạng ở tử và một số hạng ở mẫu để được một phân số bằng phân số đã cho.
2.1/ Cho 
Rút gọn A
Nêu cách xóa một số hạng ở tử và một số hạng ở mẫu để được một phân số bằng phân số đã cho.
3/ Tìm phân số biết: 
Và ƯCLN(a,b) =15
 BCNN(a,b) = 180 
4/ Tìm phân số có giá trị là: biết: (a.b).[a,b] = 486 với a, b N
5/ CMR:
a/ 
b/ với n N*
5/ Tìm số tự nhiên n để là phân số tối giản 
Phần chứng tỏ rằng phân số sau là phân số tối giản:
1/ Chứng tỏ rằng Phân số: nhận giá trị là số tự nhiên với mọi n thì các phâ số và là các số tự nhiên: 
2/ CTR là phân số tối giản với mọi n N.
3/ Tìm số tự nhiên n để phân số là phân số tối giản.
4/ Tìm số tự nhiên n để: 
Có giá trị là số tự nhiên.
là phân số tối giản.
là phân số rút gọn được.
5/ Tìm số tự nhiên n để 
có giá trị là số tự nhiên.
Là phân số tối giản.
Với giá trị nào của n trong khoảng 150 - 170 thì phân số rút gọn được.
6/ Tìm tất cả các số nguyên n để là phân số tố giản.
7/ Tìm n để là phân số tối giản.
8/ Tìm n để: 
9/ Chứng tỏ rẳng: là phân số tối giản:
Dạng tìm n để phân số rút gọn được, rút gọn được cho những số nào?
1/ phân số rút gọn được cho số nào?
2/ Tìm n để 
a/ có gia trị là số tự nhiên.
b/ là phân số tối giản.
c/ Là phân số rút gọn được.
3/ Cho các phân số:
Tìm số n nhỏ nhất để các phân số trên đồng thời là phân số tối giản.
3.1/ Cho các phân số:
Tìm số n nhỏ nhất để các phân số trên đồng thời là phân số tối giản.
4/ Tìm n để: là phân số rút gọn được.
5/ Cho A có thể rút gọn được cho số nào. 
6/ Cho 
a/ Với . Tìm n để A Z
b/ Với . Tìm n để A là phân số tối giản.
7/ Cho A = 
8/ Tính giá trị biểu thức.
9/ Tìm x, y N biết: và x + y = 20
10/ Cho phân số biết có giá trị là và ƯCLN (a, b) = 12 với a, b N
 Cho phân số biết có giá trị là và BCNN (a, b) = 90 với a, b N
 Cho phân số biết có giá trị là và a + b = 132 với a, b N
Dạng so sánh phân số: 
1/ Cách 1 xét tích chéo.
2/ Đưa về cùng tử để so sánh.
3/ Đưa về cùng mẫu để so sánh.
4/ So sánh với 1
5/ Dùng phần thừa đối với phân số lớn hơn 1
6/ Dùng phần thiếu so với phân số nhỏ hơn 1
7/ Dùng phân số làm phân số trung gian.
8/ Dùng xấp xỉ.
10/ Dùng tính chất:
Bài tập so sánh phân số:
1/ So sánh hai phân số sau: với 
2/ So sánh hai phân số sau: với với n N*
3/ So sánh hai phân số sau: với 
4/ So sánh hai phân số sau: với với n N*
5/ So sánh hai phân số sau: với 
6/ So sánh phân số sau: và 
 So sánh phân số sau: và 
7/ So sánh phân số sau: và 
8/So sánh phân số sau: và 
9/ So sánh phân số sau: và 
Dạng chứng minh đẳng thức:
1/ Cho 
a. CMR: 
b. CMR: 
2/ Cho . CMR: 
3/ Cho 
4/ Cho . CTR: 
5/ Cho: 
6/ Chứng minh rầng luôn tồn tại số tự nhiên n để: 
Bài tập về nhà phần chứng minh đẳng trhwcs:
1/ CMR: 
2/ CMR: 
3/ Cho không là số tự nhiên với mọi n 
4/ Cho 
5/ Cho: 
6/ Cho : CTR: A Không là số tự nhiên 
Cho : CTR: 3 < A < 6
Hình học:
1/ Cho 4 đường thẳng a,b,c,d và 6 điểm A, B, C, D, E, F như hình vẽ hãy cho biết: 
Điểm A thuộc những đường thẳng nào?
Điểm A không nằm trên đường thẳng nào?
Có những đường thẳng nào chứa điểm C.
Có những đường thẳng nào không chứa điểm C.
Có bao nhiê đường thẳng đi qua F.
Tập hợp các đường thẳng chứa E là gì?
Đường thẳng d còn gọi theo bao nhiêu cách.
2/ Cho 6 đường thẳng a, b, c, d, e, f và 7 điểm A, B, C, D, E, F, M như hình vẽ. 
Nêu các bộ ba điểm thẳng hàng.
Có bao nhiêu bộ ba điểm thẳng hàng.
 Trong mỗi bộ ba điểm thẩng hàng nêu mối quan hệ giữa các điểm .
Có ? bộ ba điểm đồng quy, đồng quy tại điểm nào. 
3/ Cho 4 điểm phân biệt.A, B, C, D có bao nhiêu đường thẳng kẻ được qua từng cặp hai trong 4 điểm ấy.
4/ Cho 4 đường thẳng phân biệt a, b, c, d. Hỏi 4 đường thẳng này cắt nhau tại bao nhiêu giao điểm.
1/ Cho hình vẽ. Có 7 điểm A, B, C, D, E, F, M và 6 đường thẳng a, b, c, d, e, f. Hãy cho biết: 
a. Qua điểm A có mấy đường thẳng là những đường thẳng nào?
b. Điểm C thuộc đường thẳng nào?
c. Có mấy bộ ba điểm cùng thuộc đường thẳng.
d. Có mấy đường thẳng đi qua ba điểm A, B, M.
e. Có mấy bộ ba đường thẳng đồng quy tại một điểm, đồng quy tại điểm nào.
2/ Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và ba điểm B, C, D thẳng hàng. Có thể kết luận gì về ba điểm A, B, D.
3/ Trên đường thẳng a có bốn điểm A, B, C, D biết điểm C nằm giữa hai điểm A và B. D nằm giữa hai điểm A và C. CTR điểm C nằm giữa hai điểm B và D. Điểm D nằm giữa hai điểm A và B.
4/ Cho ba đường thẳng a, b, c đôi một cắt nhau tại các điểm A, B, C và một điểm M như hình vẽ.
a. Tìm một điểm D sao cho ba điểm A, M, D thẳng hàng và ba điểm B, M, C thẳng hàng. Có ? điểm D như vậy.
b. Tìm một điểm N sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng và ba điểm B, N, C thẳng hàng. Có ? điểm N như vậy.
6/ Cho 6 điểm phân biệt. Trong đó không có bất kì ba điểm nào thẳng hàng. Có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp hai trong 6 điểm ấy.
7/ Cho n điểm trong đó có đúng ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng.
8/ Trên một mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của bốn đường thẳng đó là bao nhiêu.
8’/ Cho n điểm (n > 2) nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đường thẳng. 
Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng.
 Có đúng ba điểm thẳng hàng.
Tính n nếu tất cả có 1770 đoạn thẳng. 
9/ Cho n điểm. Cứ qua hai điểm ta có một đường thẳng.
hỏi có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng nếu trong n điểm đó không có bất kì ba điểm nào thẳng hàng. 
 Có đúng 5 điểm thẳng hang.
Tính n biết rằng tổng số có 210 đường thẳng.
10/ Cho n đường thẳng. Trong đó không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy.
a. Tìm số giao điểm của n đường thẳng đó.
b. áp dụng cho trường hợp 2014 đường thẳng. 2015 đường thẳng