Toán 10 - Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Bất đẳng thức.
a) Tính chất:
a > b và b > c 
a > b 
a > b 
a > b và c > d 
a + c > b 
a > b 
 (a > 0)
a > b 
b) Bất đẳng thức Cô-si.
* 
* 
* Bất đẳng thức Cô -si cho n số không âm: cho n số không âm : 
Ta có: 	
Dấu bằng xảy ra .
c) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: 
 Cho hai bộ số thực :
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra .
d) Bất đẳng thức Svac-sơ: 
 với 
	Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 
B. BÀI TẬP. 
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương
Ví dụ: Chứng minh các BĐT sau:
a2+b2-ab≥0 ; ∀a,b∈R
 2a3+b3≥a+b(a2+b2;∀a,b và a+b>0
4x2+y2≥4x+4y-5 ; ∀x,y
x2-4xy+5y2+2x-8y+5≥0 ; ∀x,y
x-1+9-x≤4, ∀x∈[1;9]
a3+b3≥a2b+ab2 ; ∀a,b≥0
a4+b4≥a3b+ab3 ; ∀a,b∈R
a+b+c2≤3a2+b2+c2 ; ∀a,b,c∈R
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức bằng BĐT Cô –si
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
x-15-x≤2 ; ∀x∈[1,5] 	c) x+9x-1≥7 ; ∀x>1
x-4x+5≤16 ;∀≥4 	d) 4x2+8x+1x≥12 ; ∀x>0
Ví dụ 2: Chứng minh các BĐT sau:
a2b2+b2c2+c2a2≥ac+cb+ba ; ∀a,b,c ≠0
a+bb+cc+a≥8abc ;∀a,b,c≥0 
a+b+c1a+1b+1c≥9; ∀a,b,c>0
Dạng 3: Chứng minh BĐT chứa giá trị tuyệt đối
Ví dụ 1: a) Chứng minh: 5-x+x+10≥15 ; ∀x
 b) Giải BPT: x-3≤5
 c) Giải BPT : 2x-3≥x2
Ví dụ 2: Với các số a,b,c tùy ý, chứng minh:
a+b≥a-b 	c) a-b+b-c≥ a-c
a+b+c≤ a+b+c
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức bằng BĐT Bunhiacopxki (B)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
Nếu x2+y2=1 thì x+2y≤5
Nếu x2+y2=1 thì 3x+4y≤5
Nếu x2+2y2=8 thì 2x+3y≤217
Nếu 3x+4y=1 thì x2+y2≥125
Nếu 2x+3y=5 thì 2x2+3y2≥5
Nếu 3x-5y=8 thì 7x2+11y2≥2464137
Ví dụ 2: Chứng minh các BĐT sau:
Nếu x∈1;3thì A=6x-1+83-x≤102
Nếu x∈1;5thì B=3x-1+45-x≤10
Nếu x∈-2;1thì C=1-x+2+x≤6
Dạng 5: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
Cách 1: (Phân tích)
Để tìm GTNN của N, ta viết biểu thức N dưới dạng: N=f2x+m trong đó m là giá trị không đổi. Do đó N≥m ;∀x
Tìm x để N = m ( đẳng thức xảy ra)
Kết luận GTNN của N là m.
Để tìm GTLN của N, ta viết biểu thức N dưới dạng: : N=-f2x+M trong đó M là giá trị không đổi. Do đó: N≤M ; ∀x
Tìm x để N = M ( đẳng thức xảy ra)
Kết luận GTLN của N là M.
Cách 2: ( Dùng BĐT)
Tương tự, ta đi tìm M (hay m) sao cho : N≤M (hay N≥m)
Ví dụ 1: a) Tìm GTNN của biểu thức T=2x2+y2-2xy-4x
Tìm GNLN của biểu thức T = 2x+x2 – x4
Ví dụ 2:
Tìm GTNN của N=4x4-3x2+9x2 ;x≠0
Tìm GNLN của N=2x+3(5-3x) ;( -32≤x≤53)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
	M=1a-11b-11c-1
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức: fx=x-2015+x-2016
Ví dụ 4: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = x-1+5-x
Luyện tập
Bài 1: Cho a, b, c, d là 4 số dương và ab<cd. Chứng minh rằng:
a+bbc+dc
Bài 2: Cho a, b, c, d là 4 số dương. Chứng minh rằng: 
1<aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b<2
Bài 3: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh; A, B, C là số đo ba góc tương ứng của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
a-bA-B≥0;khi nào đẳng thức xảy ra?
600≤aA+bB+cCa+b+c<900;khi nào đẳng thức xảy ra?
(Gợi ý: Sử dụng bất đẳng thức tam giác)
Bài 4:
 Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương k ta đều có:
1(k+1)k<2(1k-1k+1)
Áp dụng: Chứng minh rằng
12+132+143++1(n+1)n<2
Bài 5: 
Cho k> 0, chứng minh: 1k3<1k-1-1k
Từ kết qura trên, hãy suy ra: 113+123+133++1n3<2
Bài 6: 
Cho 2 số a, b (a≠b). Tìm GTNN của biểu thức:
 fx=x-a2+x-b2
Cho 3 số a, b, c đôi một khác nhau. Tìm GTNN của biểu thức:
 gx=x-a2+x-b2+x-c2
Bài 7: Cho 3 số không am a, b, c. Chứng minh các BĐT sau và chỉ ra đẳng thức xảy ra khi nào:
a+bab+1≥4ab 	b) a+b+cab+bc+ca≥9abc 
Bài 8: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng: 
1+ab1+bc1+ca≥8
Bài 9: Tìm GTNN của các hàm số sau:
fx=x2+16x2 	b) gx=1x+21-x với 0<x<1
Bài 10: Cho a> 0, hãy tìm GTLN của: y=xa-2x2 với a≤x≤a2
Bài 11: Cho a, b, c là 3 số dương. Tìm GTNN của:
A=ab+c+bc+a+ca+b
Bài 12: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a < b thì:
a<21a+1b<ab<a+b2<b