Toán 10 - Ôn tập chương III: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

PHẦN 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy
Dạng 1: Tọa độ của điểm và véctơ trong mặt phẳng Oxy
A. Lí thuyết:
² Cho ba điểm: . Ta có:
 — Tọa độ véctơ 
 — Tọa độ trung điểm I của AB là: . 
 — Tọa độ trọng tâm G của là: .
² Cho hai véctơ: . Ta có:
 — .
 — .
 — .
 — .
 — 
 — 
 — 
 — 
 — 
 — 
 — 
B. Bài tập điển hình : 
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho có A(2;3); B(-2;2); C(1;-1).
a) Chứng minh cân tại A.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Gọi G là trọng tâm của . Chứng minh 
e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông tại A.
C. Bài tập vận dụng:
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho có A(1;5); B(-3;2); C(4;1).
a) Chứng minh cân tại A.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Gọi G là trọng tâm của . Chứng minh 
e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông tại B.
Dạng2: Phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
A. Lí thuyết: 
1. Nhắc lại kiến thức về đường thẳng.
 Đường thẳng d có dạng: y = k.x + b, trong đó k gọi là hệ số góc của đường thẳng.
 Hệ số góc k = tan= ( là góc hợp bởi d với trục Ox, là VTCP của d).
 Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có hsg k1 và k2. Ta có:
 — Nếu thì : k1.k2 = -1 
 — Nếu d1 // d2 thì : k1 = k2 
2. Véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến của đường thẳng:
â Véctơ chỉ phương của đường thẳng là véctơ có phương trùng hoặc song song với đường thẳng. Thường kí hiệu :.
â Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là véctơ có phương vuông góc với đường thẳng .Thường kí hiệu là : .
 Cách suy từ sang hoặc sang  :
 — Giả sử :=()là VTCP của d. 
 hoặc là véctơ pháp tuyến của d.
 — Giả sử :là VTPT của d.
 hoặc là véctơ chỉ phương của d.
 (Đảo vị trí và đổi dấu một trong hai tọa độ)
3. Phương trình của đường thẳng :
 Cho là VTCP của d.
 là VTPT của d .
 Điểm M( thuộc d.
 Ta có :
 — PT tham số của d: = 
 — PT chính tắc của d: 
 — PT tổng quát của d: hoặc:
â Đặc biệt: Đường thẳng d cắt Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(o;b) thì ptđt d viết theo đoạn chắn là: 
4. Góc và khoảng cách:
â Góc giữa hai đường thẳng:
 — 
â Khoảng cách từ M() đến d: 
— d(M;d) = 
5. PT hai đường phân giác của các góc tạo bởi :
; 
 — 
Lưu ý: Dấu tương ứng với một đường phân giác của góc nhọn và một đường phân giác góc tù. Để phân biệt được dấu nào là của đường phân giác góc nhọn và dấu nào là đường phân giác góc tù thì cần nhớ quy tắc sau:
Đường phân giác góc nhọn luôn nghịch dấu với tích hai pháp véctơ, đường phân giác góc tù mang dấu còn lại.
B:Bài tập điển hình: 
1. Trong mp 0xy cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại B. Tính diện tích tam giác ABC.
b) Viết phương trình tham số của đt AB; chính tắc của đt AC; tổng quát của BC.
c) Viết phương trình đường cao BH của tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC.
e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua C và song song với AB.
h) Viết phương trình đường thẳng (h) đi qua A và vuông góc AC.
k) Gọi K là giao điểm giữa (h) và trung trực cạnh BC. Tìm tọa độ điểm K. Chứng minh ABHK là hbh.
l) Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy sao cho tam giác ACD vuông tại C.
m) Viết phương trình đường thẳng DC. Tìm tọa độ giao điểm của DC và trục hoành.
2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; 5) và hai đường thẳng: d1: x – 2y + 1 = 0
 d2: 
a) Viết phương trình đường thẳng qua M và song song d1.
b) Viết phương trình đường thẳng qua M và song song d2.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc d1. 
d) Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc d2.
3. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh lần lượt là: 
 M(2;1); N(5;3); P(3;4).
4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 đi qua điểm A(4;1).
a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc d.
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d.
c) Tìm điểm đối xứng với A qua d.
5. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng : x + 2y – 6 = 0 và : x – 3y + 9 = 0.
a) Tính góc tạo bởi và .
b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến và .
c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi và .
6. Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0 và hai đường cao có phương trình:
 AH: 4x – 3y + 1 = 0; 
 BI: 7x + 2y – 22 = 0.
 Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba của ABC.
7. Lập ptđt d đi qua M(2;5) đồng thời cách đều hai điểm P(6;2) và Q(5;4) .
8. Lập ptđt đi qua A(2;1) và tạo với đt d: 2x + 3y + 4 = 0 góc 450.
9. Lập pt đường thẳng d đi qua A(3 ;1) và cách điểm B(1 ;3) một khoảng bằng .
10. Lập pt các cạnh của ABC biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có pt : 5x + 3y – 4 = 0 
 3x + 8y + 13 = 0.
11. Hai cạnh của hbh có pt : x - 3y = 0 và 2x+5y+6=0 .Một đỉnh của hbh là C(4 ;-1)Viết pt hai cạnh còn lại và đường chéo AC.
12. Lập pt các cạnh của ABC ,biết A(1 ;3) và hai đường trung tuyến có pt : x - 2y + 1 = 0 ;y – 1 = 0.
13. Cho đt : x = 2 + 2t
 y = 3 + t
Tìm M nằm trên và cách điểm A(0 ;1) một khỏang bằng 5.
C:Bài tập vận dụng :
1. Cho ABC, M(-1 ;1) là trung điểm của một cạnh còn hai cạnh kia có pt: x+2y-2=0 và 2x+6y+3=0
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
2. Cho hình vuông đỉnh A(-4 ;5)và một đường chéo đặt trên đt :7x-y+8=0. Lập pt các cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông.
3. Một hình bình hành có 2 cạnh nằm trên 2 đt : x + 3y – 6 = 0 ; 2x - 5y – 1 = 0. Tâm I(3 ;5).
 Viết pt hai cạnh còn lại của hình bình hành.
4. Trong mp 0xy cho 3 đt: d1: 3x + 4y – 6 = 0 ; d2: 4x + 3y – 1 = 0 ; d3: y = 0.
a. Xác định tọa độ 3 đỉnh A,B,C biết: A= d1d2 ; B= d2d3 ;C= d1d3.
b. Viết pt đường phân giác trong của các góc A,B.
c. Tìm tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp ABC.
5. Tìm quỹ tích các điểm cách đt : 2x - 5y + 1 = 0 một troảng bằng 3.
6. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai đt d1: 4x - 3y + 2 = 0
 d2: y – 3 = 0.
7. Lập ptđt qua P(2 ;-1) sao cho đt đó cùng với 2 đt d1: 2x - 4y + 5 = 0 ; d2: 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d2.
8. Cho ABC cân tại A biết AB : x + y + 1 = 0 và BC : 2x - 3y – 5 = 0.
 Lập pt cạnh AC biết nó đi qua M(1 ;1).
9. Cho ABC cân tại A(3 ;0) tìm tọa độ B và C biết B,C nằm trên đt d :3x + 4y + 1 = 0 và SABC = 18.
10. Cho ABC có B(2 ;-1). Đường cao đi qua A có pt : 3x - 4y + 27 = 0, đường phân giác trong của gód C là : x + 2y – 5 = 0. Hãy tìm tọa độ các đỉnh của ABC .
11. Viết pt các cạnh ABC biết tọa độ của chân ba đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C là M(-1 ;-2), N(2 ;2), K(-1 ;2).
------------- bâa -------------
Bài 3: Phương trình của đường tròn trong mặt phẳng Oxy
A. Lí thuyết :
1. Phương trình đường tròn :
 Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R có phương trình :
 — Dạng 1 : 
 — Dạng 2 : 
 Trong đó : , điều kiện : 
2. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C):
 — 	d không có điểm chung với (C).
 — 	d tiếp xúc với (C).
 — d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
3. Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm có dạng :
4. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x0 ;y0) có dạng :
B. Bài tập điển hình : (Giáo viên trực tiếp giải)
1.Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
2. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a) (C) có tâm I(1 ;-3) và bán kính R=7.
b) (C) có tâm I(1;3) đi qua điểm A(3;1).
c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5).
d) (C) có tâm I(-2;0) và tiếp xúc với d: 2x + y – 1 = 0.
e) (C) đi qua 3 điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2).
f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d1 : x – 3y +1 = 0 với đường thẳng d2 : x = -4 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d3 : x + y -1 = 0.
3. Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (T) tại A(-1 ;0).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó // d : 2x – y = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó vuông góc với d’ : 4x – 3y + 1 = 0.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đi qua B(3 ;-11).
e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (T).
4. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 2y - 2 = 0.
a) d1 : x + y = 0.
b) d2 : y + 1 = 0. c) d3 : 3x + 4y +5 = 0.
5. Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn :
(C1) : x2 + y2 – 2x + y – 1 = 0.
(C2) : x2 + y2 + 3x - 4y – 3 = 0.
6. Cho hai đường tròn có phương trình :
 (Tm) : x2 + y2 – 2mx +2(m+1)y – 1 = 0.
 (Cm) : x2 + y2 – x + (m – 1)y + 3 = 0.
a) Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn theo tham số m.
b) Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, trục đẳng phương luôn đi qua một điểm cố định.
7. Lập phương trình đường tròn qua A(1 ;-2) và các giao điểm đường thẳng d: x – 7y + 10 = 0 với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0.
8. Viết phương trình đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường thẳng d1 : x – 3y + 1 = 0 và 
d2 : x + 4 = 0 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 1 = 0.
9. Viết phương trình đường tròn đi qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ.
10. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0, d2 : 7x – y + 4 = 0.
11. Cho (Cm) : x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y – m + 6 = 0.
a) Tìm m để (Cm) là đường tròn.
b) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn.
12. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
 (T1) : x2 + y2 – 1 = 0.
 (T2) : .
13. Viết phương trình đường tròn (T), biết (T) đi qua hai điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) và có tâm ở trên đường thẳng d : 3x – y + 10 = 0.
14. Cho điểm M(2 ;4) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 6y + 6 = 0.
a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Viết phương trình đường thẳng d  qua M, cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.
15. Cho đường tròn (C) : 
a) Tìm giao điểm A, B của đường tròn với trục ox.
b) Gọi B là điểm có hoành độ dương, viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại B.
c) Viết phương trình đường thẳng d qua O cắt (C) tạo thành một dây cung có độ dài bằng AB.
16. Cho điểm A(8 ;-1) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x - 4y + 4 = 0.
a) Tìm tâm và bán kính của (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A.
c) Gọi M, N là các tiếp điểm, tìm độ dài đoạn MN.
17. Cho hai đường tròn :
 (C1) : x2 + y2 – 2x + 4y - 4 = 0
 (C2) : x2 + y2 + 4x - 4y - 56 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C1) và (C2).
b) Chứng minh (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
18. Trong mp Oxy cho điểm A(-1 ;1) và đường thẳng d : x – y + 1 - = 0. Viết phương trình đường tròn qua A, qua gốc O và tiếp xúc với d.
C:Bài tập vận dụng : 
1. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2;1) và bán kính R = 
b) (C) có tâm I(0;2) và đi qua điểm A(3; 1).
c) (C) có đường kính AB với A(1; 3) và B(5; 1).
d) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng 
e) (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3).
f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0 với trục Ox đồng thời tiếp xúc với đường thẳngd/: 2x + 3y + 7 = 0.
2. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4.
a) b) c) .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (T): x2 +y2 = 4 trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tiếp điểm A(0; 2).
b) Biết tt song song 
c) Biết tt vuông góc 
d) Biết tt đi qua M(2; 2).
e) Biết tt tạo với trục Ox một góc 
f) Tìm m để đường thẳng d : x +my – 1 = 0 Tiếp xúc đường tròn (T).
4. Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0. Viết pttt của (T) biết tiếp tuyến đó :
a) Tiếp xúc với đương tròn tại A(-1 ; 0).
b) Vuông góc với đường thẳng d: x + 2y = 0.
c) Song song với đường thẳng d/: 3x - 4y – 9 = 0.
d) Đi qua B(3; -11).
e) Tìm m để đường thẳng có điểm chung với (T).
------------- bâa ------------- 
ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy
1. ĐH KA 2004 : 
 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0 ; 2), B(. Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
2. ĐH KB 2004:
 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6.
3. ĐH KD 2004: 
 Trong mặt phẳng Oxy cho có các đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với . Tìm tọa độ trọng tâm G của theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
4. ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 , d2: 2x + y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết và B, D thuộc trục hoành.
5. ĐH KB 2005: 
 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4). Viết phương trình đường tròm (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm I của (C) đến điểm B bằng 5.
6. ĐH KD 2005: 
 Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): và điểm C(2; 0). Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.
7. ĐH KA 2006: 
 Trong mặt phẳng Oxy cho các đường thẳng: d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
8. ĐH KB 2006: 
 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-3; 1). Gọi T1, T2 là các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình T1T2.
9. ĐH KD 2006 : 
 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x – y + 3=0.
Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M ó bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngời với (C). 
10. ĐH KA 2007 :
 Trong mặt phẳng Oxy cho có A(0; 2), B(-2;-2), C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lâng lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm H, M, N.