Toán 12 - Giải toán hình học không gian

00, cạnh bên BB1 = a. Gọi I là trung điểm CC1. Chứng minh rằng tam giác AB1I vuông ở A. Tính
cosin của góc giữa 2 mặt phẳng (ABC), (AB1I).
 Hướng Dẫn: os 30 /10c  
Bài 12 Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b, (BCD)  (ABC), góc BDC = 900. Xác định tâm
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
 Hướng Dẫn: 2 2 2/ 4R a a b 
Bài 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 600,
gọi M là trung điểm cạnh AA1 và N là trung điểm cạnh CC1. Chứng minh rằng 4 điểm B1, M, D, N
cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA1 theo a để tứ giác B1MDN là hình vuông.
 Hướng Dẫn: 1AA 2a
Bài 14 Cho hình lập phương ABC.A1B1C1. Tìm điểm M thuộc cạnh AA1 sao cho mp(BD1M) cắt
hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
 Hướng Dẫn: M là trung điểm của đoạn AA1 .
Bài 15 Cho hình chóp đều SABC đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng b (00 <
b < 900). Tính thể tích khối chóp S.ABC và d[A, (SBC)].
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 8
 Hướng Dẫn: 3 tan / 24V a b , 3 sin / 2d a b
Bài 16 Cho mpP  mpQ có giao tuyến là đường thẳng d. Trên d lấy 2 điểm A, B với AB = a.
Trong mpP lấy điểm C, trong mpQ lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với d và AC = BD =
AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính d[A, (BCD)] theo a.
 Hướng Dẫn: 3 / 2 , 2 / 2R a d a 
Bài 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, SA (ABC), SA
= 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam
giác AMB theo a.
 Hướng Dẫn: 2 2 / 2S a
Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AD (ABC) tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính
diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng 2S  abc a b c  
 Hướng Dẫn: 2 2 2 2 2 21/ 2.S a b b c c a   , sử dụng BĐT Cauchy.
Bài 19 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
b (00 < b < 900). Tính tang của góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo b. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a và b.
 Hướng Dẫn: 32 tan / 6V a b
Bài 20 Cho hình trụ có đáy là 2 hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho: AB = 2a. Tính thể
tích của khối tứ diện OO’AB.
 Hướng Dẫn: 3 3 /12V a
Bài 21 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = 3
2
a và góc
 060BAD  . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ 
mp(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
 Hướng Dẫn: V = 3a3 / 16
Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA  (ABCD).
SB tạo với mặt đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3 / 3a . Mặt phẳng (BCM)
cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
 Hướng Dẫn: 310 3. / 27V a
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 9
Bài 23 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA  (ABC).
Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của
khối chóp A.BCNM.
 Hướng Dẫn: 33 3 / 50V a
Bài 24 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao của hình chóp.
Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
 Hướng Dẫn: 3 2 22 / 3 16V a b a b 
Bài 25 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC’ sao cho:
CK = 2/3a. Mặt phẳng () đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành 2 khối đa
diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
 Hướng Dẫn: V1 = a3 /3, V2 = 2a3 /3
Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với: AB = a, AD = a 2 , SA = a, SA 
(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
rằng mặt phẳng (SAC)  (SMB). Tính thể tích của khối chóp ANIB.
 Hướng Dẫn: 3 2 / 36V a
Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 060BAD  và SA  (ABCD), SA
= a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB,
SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
 Hướng Dẫn: 3 3 /18V a
Bài 28 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh
bên A’A = b. Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính tan và thể tích của khối chóp
A’.BB’C’C.
 Hướng Dẫn: 2 2 2 2 2tan 2 3 / , . 3 / 6b a a V a b a    
Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
Chứng minh AM  BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
 Hướng Dẫn: 3 3 / 96V a
Bài 30 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN 
BD và tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 10
 Hướng Dẫn: 2 / 4d a
Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,  090ABC BAD  , AB = BC = a, AD = 2a.
Cạnh bên SA  (ABCD) và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh
SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mp(SCD).
 Hướng Dẫn: d = a/3
Bài 32 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB
= a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính
theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’, B’C’.
 Hướng Dẫn: V = a3/2, cosφ = 1/4
Bài 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM, DN.
 Hướng Dẫn: 3 3 / 3V a , os 1/ 5c  
Bài 34 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA’= a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C.
 Hướng Dẫn: 3 2 / 2 , / 17V a d a 
Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD =
a, góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt
phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo
a.
 Hướng Dẫn: 33 15 / 5V a
Bài 36 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng
600 . ABC vuông tại C và  060BAC  . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mp(ABC) trùng với
trọng tâm của ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
 Hướng Dẫn: V= 9a3/208
Bài 37 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a,
A’C = 3a. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC).
 Hướng Dẫn: V = 4a3 / 9, 2 5 / 5d a
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 11
Bài 38 Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi N, M,
E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC, D là điểm đối xứng của S qua E, I = AD(SMN).
Chứng minh rằng AD  SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.
 Hướng Dẫn: V = a3 / 36
Bài 39 Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho: BC =
4BM, AC = 3AP, BD = 2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính AQ / AD và tỷ số thể tích 2 phần
của khối tứ diện ABCD được chia bởi mp(MNP).
 Hướng Dẫn: AQ / AD = 3/5 , V1 / V2 = 7 / 13
Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 3 , SA  (ABCD).
Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SB, AC.
 Hướng Dẫn: 3 3 / 6 , cos 2 / 4V a  
Bài 41 Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và
BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa 2
đường thẳng AD và BC.
 Hướng Dẫn: 3 2 /12V a , 600 .
Bài 42 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB = a, SA = 2a, SA 
(ABC). Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích khối tứ
diện SAHK.
 Hướng Dẫn: V = 8a3 / 45
Bài 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SH = 3a . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và
SC theo a.
 Hướng Dẫn: 35 3 / 24 , 2 3 / 19V a d a 
Bài 44 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và
(ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
 Hướng Dẫn: 33 3 / 8 , 7 /12V a R a 
Bài 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a hình chiếu
vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng(ABCD) là H thuộc đoạn AC. AH = AC/4. Gọi CM là đường cao
của ∆SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 12
 Hướng Dẫn: 314 / 48V a
Bài 46 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD.
 Hướng Dẫn: 3 5 / 6V a
Bài 47 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng
qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600.
Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
 Hướng Dẫn: 3 3 , 12 / 13V a d a 
Bài 48 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = 3a . Hình
chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai
mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm
B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
 Hướng Dẫn: 33 / 2 , 3 / 2V a d a 
Bài 49 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh
SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a.
 Hướng Dẫn: 3 3 / 36V a
Bài 50 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a mặt phẳng
(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2 3a và SBC = 300. Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
 Hướng Dẫn: 32 3 , 6 / 7V a d a 
B. Các đề thi thử Đại Học ở các trường
Bài 1 Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng  (0°
<  < 90°). Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).
 Hướng Dẫn: 3 tan / 24V a  , 3 .sin / 2h a 
Bài 2 Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD biết rằng: AB = a, AC = b, AD = c và các góc ,
, đều bằng 60°.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 13
 Hướng Dẫn: 2 /12V abc
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, = = 90°, BA = BC = a, AD = 2a.
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
 Hướng Dẫn: d = a/3
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC có AB = AC = 3a, BC = 2a. Các mặt (SAB),
(SBC), (SCA) đều hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 600. SH vuông góc với (ABC) (H ∈ (ABC)).
1. Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SA vuông góc với BC.
2. Tính thể tích V của khối chóp.
 Hướng Dẫn: 32 3 / 3V a
Bài 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của
AA’. Tính thể tích của khói tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuông góc với B’C.
 Hướng Dẫn: 3 3 /12V a
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh
SB, SD sao cho: = = .
1. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P. Tính tỉ số: .
2. Tính thể tích của hình chóp S.AMPN theo thề tích V của hình chóp S.ABCD.
 Hướng Dẫn: 1. SP/CP = 1 2. Vs.ampn = 1/3. V
Bài 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua
A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình
chóp.
 Hướng Dẫn: 2 . 3 / 6S a
Bài 8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và
SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
 Hướng Dẫn: 33 3 / 50V a
Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng √ . Tính góc
tạo bởi mặt bên với mặt đáy và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 14
 Hướng Dẫn: 1. 600 2. 3125 3 . / 432V a
Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh
rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp
S.ABCD bằng 3 2 / 6a .
 Hướng Dẫn: 2x a x a  
Bài 11 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên
AA’ = a√2 . M là điểm trên AA’ sao cho: AM⃗ = AA'⃗. Tính thể tích của khối tứ diện MA’BC’.
 Hướng Dẫn: 3 2 / 9V a
Bài 12 Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng
d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng
(ABC) một góc bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
 Hướng Dẫn: 210S a
Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với mặt
đáy, hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc α. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
 Hướng Dẫn: 3 tan /16V a 
Bài 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và: ⃗. ⃗ = ⃗. ⃗ =
⃗. ⃗ = . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
 Hướng Dẫn: 3 2 /12V a .
Bài 15 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt đáy một
góc 60 . Một mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt đáy (ABC) tại A và tiếp xúc với đường thằng BS tại H.
Hãy xác định vị trí tương đối giữa H với hai điểm B, S và tính diện tích mặt cầu tâm O.
 Hướng Dẫn: 1. H nằm giữa S và B 2.   219 8 3 / 3S a 
Bài 16 Tính thể tích của hình chóp S.ABCD biết SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a và
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SCD).
 Hướng Dẫn: 3 / 3 2V a
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và = 60 . Các cạnh
bên SA, SB, SC nghiêng đều trên đáy góc α. Tình khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và α.
 Hướng Dẫn: 23.sin / 4 osd a c  
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 15
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a; SA vuông góc với
(ABCD). Trên các cạnh AD, CD lần lượt lấy các điểm M, E sao cho: AM = CE = . Gọi N là trung
điểm của BM, K là giao điểm của AN và BC. Tính thể tích khối tứ diện SADK theo a và chứng minh
rằng (SDK) vuông góc với (SAE).
 Hướng Dẫn: V = a3/6
Bài 19 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
các đoạn thẳng AA’, AB. Biết góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích
khối chóp NAC’I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC’.
 Hướng Dẫn: V= a3 / 32, 3 / 8d a .
Bài 20 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm
của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng . Tính thể tích của lăng trụ theo a.
 Hướng Dẫn: 33 2 /16V a
Bài 21 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên nghiêng với
đáy một góc 60 . Một mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) cắt SC, SD lần lượt
tại C’ và D’. Tính thể tích hình chóp SABC’D’.
 Hướng Dẫn: 33 /16V a
Bài 22 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc nhọn =∝ bán kính đường tròn nội
tiếp hình thoi là r, các mặt bên nghiêng đều trên đáy góc 60 . Tính: . .
 Hướng Dẫn: 34 3 / 3sinV r 
Bài 23 Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là ∆ cân, AB = BC = 3a, AC = 2a. Các mặt phẳng (B’AB),
(B’AC), (B’BC) cùng tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 . Tính . ’ ’ ’ .
 Hướng Dẫn: 32 3V a
Bài 24 Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB = a và một điểm C di động trên đường
tròn đó (C ≢ A và C ≢ B). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, ta lấy điểm S sao
cho SA = h. Mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với SB cắt SB, SC lần lượt tại B’, C’. Tìm giá trị lớn
nhất của thể tích hình chóp S.AB’C’.
 Hướng Dẫn:  
32 4 2 2ax /12M V a h a h 
Bài 25 Cho hình chóp SABCD có SA = a và vuông góc với (ABCD). Đáy ABCD là hình thang
vuông ở A và B, AB = BC = a, AD = 2a. E là trung điểm AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại
tiếp SCED.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 16
 Hướng Dẫn: 11 / 2R a
Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SC tạo với mặt phẳng đáy góc 45 và tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30 . Biết độ dài cạnh AB = a.
Tính thể tích khối của chóp S.ABCD.
 Hướng Dẫn: 32 / 3V a
Bài 27 Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = BC = CD =
a. Gọi C’ và D’ lần lượt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD. Tính thể tích tứ diện ABC’D’.
 Hướng Dẫn: V= a3 / 36
Bài 28 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên nghiêng với
đáy một góc 60 . Một mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) cắt SC, SD lần lượt
tại C’, D’. Tính thể tích hình chóp SABC’D’.
 Hướng Dẫn: 33 /16V a
Bài 29 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng (P) chia hình lập phương ra làm hai
phần có thể tích bằng nhau, chứng minh rằng (P) đi qua tâm của hình lập phương (Tâm của hình lập
phương là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương).
 Hướng Dẫn:
Bài 30 Tính thể tích của hình chóp S.ABCD biết: SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a và
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SCD).
 Hướng Dẫn: 3 / 3 2V a
Bài 31 Cho tứ diện OABC có các độ dài: OA = 4cm, OB = 5cm, OC = 6cm và có các góc == = 60 . Tính thể tích tứ diện OABC.
 Hướng Dẫn:  35 8V cm
Bài 32 Cho tứ diện ABCD, điểm M ở trong cạnh AC, một mặt phẳng (P) song song với hai cạnh AB
và CD, (P) cắt các cạnh AC, BD, BC tại các điểm tương ứng M, N, E, F. Mặt phẳng (P) chia tứ diện
đã cho thành hai khối đa diện. Hãy tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó theo: k = .
 Hướng Dẫn:    3 21 2/ 3 / 3 1V V k k k  
Bài 33 Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đểu cạnh a. Điểm A’ cách đều các điểm A, B,
C và đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 . Tính thể tích hình chóp B’.ACC’A’ .
 Hướng Dẫn: 3 3 / 6V a
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 17
Bài 34 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB =∝. Gọi O là giao điểm
hai đường chéo của đáy ABCD. Hãy xác định góc α để mặt cầu tâm O đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
 Hướng Dẫn: 060 
Bài 35 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy một
góc bằng 30 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 Hướng Dẫn: 28 / 3S a
Bài 36 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a√2 , CD = 2a. Cạnh SA vuông
góc với đáy và 3 2SA a ( > 0). Gọi K là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh mặt phẳng(SBK)
vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a.
 Hướng Dẫn: V= a3
Bài 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (a > 0). Góc ABC = 120 , cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi C’ là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng (α) đi qua
AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích khối của chóp
S.AB’C’D’.
 Hướng Dẫn: 3 3 /18V a
Bài 38 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông góc tại A và D, AB = AD = a, DC
= 2a. Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SD = a√3 (a là số dương cho trước).
1. Tính thể tích khối chóp SABCD theo a.
2. Gọi G là trọng tâm tam giác DBC. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) theo a.
 Hướng Dẫn: 31. 3 / 2 2. 30 /15V a d a 
Bài 39 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a, góc giữa đường
thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C) bằng α.
1. Tính độ dài đoạn thẳng AB’ theo a và α.
2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và α.
 Hướng Dẫn:  2 2' 3 / 2sin , 4 3 / 16sin 1/12AB a S a    
Bài 40 Tam giác MNP có đỉnh P nằm trong mặt phẳng (α), hai đỉnh M và N nằm về một phía của
(α). Lần lượt lấy M’, N’ sao cho PM’N’ là tam giác đều cạnh a. Giả sử: MM’ = 2NN’ = a. Tính diện
tích tam giác PMN, từ đó suy ra giá trị của góc giữa hai mặt phẳng (α) và (MNP).
 Hướng Dẫn: 2 06 / 4 ,