Toán 12 - Hệ thống các phương pháp tính khoảng cách

Biên soạn: Huỳnh Văn Lượng 0918.859.305-0967.859.305-01234.444.305-0996.113.305-0929.105.305 
O 
d 
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH ĐIỂM ĐẾN MP 
 www.huynhvanluong.com 
NƠI LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO TẠI TÂY NINH 
- Download tại website: www.huynhvanluong.com 
- Góp ý gửi mail về: hvluong@hcm.vnn.vn 
- Phone: 0918.859.305 – 01234.444.305 – 0933. 444.305 
0996.113.305 -0967.859.305-0929.105.305 -666.513.305 
Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P): d(O, (P))=? 
Cách 1: Phương pháp trực tiếp (dựng hình để xác định khoảng cách) 
 
 Trường hợp 1: O là hình chiếu của S∈(P) lên (Q) chứa O 
 - Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) 
 - Từ O, dựng OK ⊥ d (K ∈ d) 
 - Từ O, dựng OH ⊥ SK (H ∈ SK) 
 ⇒ d(O, (P)) = OH 
 (lưu ý phải chứng minh OH ⊥ (P)) 
 
 Trường hợp 2: O là điểm bất kỳ (không phải hình chiếu của S lên (Q)) 
 - Bước 1: Chọn điểm để tính khoảng cách 
 + Tìm điểm M là hình chiếu của S∈(P) lên (Q) chứa O 
 + Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) 
 + Từ M, dựng MK ⊥ d (K ∈ d) 
 + Từ M, dựng MH ⊥ SK (H ∈ SK) 
 ⇒ d(M, (P)) = MH (phải chứng minh MH ⊥ (P)) 
 - Bước 2: Suy ra khoảng cách cần tính 
 + OM // (P) ⇒ d(O, (P)) = d(M, (P)) 
 + OM cắt (P) tại I ⇒ d(O, (P)) = IO
IM
d(M, (P)) 
Cách 2: Phương pháp thể tích (sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách) 
 - Chọn khối đa diện hợp lý (tạo bởi O và (P)) để tính thể tích: V= 1
3
 Sđáy.cao 
 - Tính khoảng cách theo công thức: d(O, (P)) = 3V
S
Cách 3: Phương pháp giải tích (chuyển bài toán sang tọa độ để tích khoảng cách) 
 - Chọn hệ trục Oxyz gắn lên hình sao cho Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một, 
trong đó mặp phẳng Oxy là mặt đáy của đa diện 
 - Tìm tọa độ các điểm cần thiết 
 - Viết phương trình mp (P) qua ( )0 0 0; ;x y x và có vectơ pháp tuyến ( )=


; ;n A B C : 
 ( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = 
 - Tính khoảng cách theo công thức: ( )( )α + + +=
+ +2 2 2
, M M M
Ax By Cz D
d M
A B C
(tài liệu được biên soạn theo kinh nghiệm, không được sao chép) 
d 
Biên soạn: Huỳnh Văn Lượng 0918.859.305-0967.859.305-01234.444.305-0996.113.305-0929.105.305 
M
N
b
a
P
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐT 
 www.huynhvanluong.com 
NƠI LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO TẠI TÂY NINH 
- Download tại website: www.huynhvanluong.com 
- Góp ý gửi mail về: hvluong@hcm.vnn.vn 
- Phone: 0918.859.305 – 01234.444.305 – 0933. 444.305 
0996.113.305 -0967.859.305-0929.105.305 -666.513.305 
Bài toán: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b 
Cách 1: Phương pháp trực tiếp (dựng hình để xác định khoảng cách) 
 
 Trường hợp 1: a và b vuông góc với nhau 
 - Tìm hoặc dựng (P) chứa b và vuông góc a 
 - Từ giao điểm M của a và (P), dựng MN ⊥ b (N ∈ b) 
 ⇒ d(a, b) = MN 
 (MN được gọi là đường vuông góc chung của a và b) 
 
 Trường hợp 2: a song song với mặt phẳng (P) chứa b 
( ) ( , ) ( ,( ))( ) / /
P b
d a b d a P
P a
⊃
⇒ =

 
 Trường hợp 3: a, b chứa trong hai mặt phẳng (P)//(Q) 
( )
( ) ( , ) (( ),( ))
( ) //( )
P b
Q a d a b d P Q
P Q
⊃

⊃ ⇒ =


 
 Trường hợp 4: a và b bất kỳ 
 - Chọn (P) chứa b và cắt a tại A 
 (thường (P) là mặt đáy hình chóp hoặc mặt bên lăng trụ) 
 - Từ A, dựng đường thẳng b’// b 
 ⇒ d(a, b) = d(b, (Q)) 
 (với (Q) là mặt phẳng chứa a và b’) 
Cách 2: Phương pháp giải tích (chuyển bài toán sang tọa độ để tích khoảng cách) 
 - Chọn hệ trục Oxyz gắn lên hình sao cho Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một, 
trong đó mặp phẳng Oxy là mặt đáy của đa diện 
 - Tìm tọa độ các điểm cần thiết 
 - Tính khoảng cách theo công thức: 
, .
,
 
 
=
 
 



 



 






 




AB CD' AC
d(AB,MN)
AB CD'
. 
(tài liệu được biên soạn theo kinh nghiệm, không được sao chép) 
b 
P
a 
b 
P 
a 
Q (rất ít gặp) 
(gặp trong đề đại học) 
A 
b 
a 
P 
b’
Q