Toán 12 - Phương trình mũ

 Phương trình mũ-lôgarit Trang 1 
A.Phƣơng trình mũ cơ bản 
Với 0; 1a a  thì 
0
log
x
a
b
a b
x b
 
   
Lưu ý: Nếu b<0 hoặc b=0 thì pt vô nghiệm 
-Với 10a  , tức 10 logx b x b   hoặc lgx b (với b>0) 
-Với a=e, tức lnxe b x b   (với b>0) 
VD: Giải các phương trình: 
1). 2 3x  2). 2 13 2x  3). 2 110 5x  4). 3 5 5xe   5). 10 3x   
B.Phƣơng pháp giải toán 
Phƣơng pháp 1: Đưa về cùng cơ số: 
-Nếu a không chứa x và 0 1a  thì ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   
-Nếu a chứa biến x thì: ( ) ( )
1
0 1
( ) ( )
f x g x
a
a a a
f x g x
 
    


 (Lưu ý: 11/a a ) 
B1: Giải các phương trình sau 
(1). 
2
3 2 1
2 16
x x x   (2). 
2
6 5 2
2 16 2
x x   
(3). 
2
4 5
7 49
x x x   (4). 
3 2 2
2 2 3
8 4
x x x x    
(5). 
2
8 1 3
2 4
x x x   (6). 
|2 3|
5 125
x x  
(7). 
2
4
3 1 243
x x   
(8). 
5 17
7 332 0,25.128
x x
x x
 
  
(9). 
2
4 2 8/3
5 125
x x x   (10). 
2 1
4 8
x x 
(11). 2 12 .3 .5 12x x x   (12). 
2
2 5 2 1
3 27
x x x   
(13). 
2 9 27
3 8 64
x x
   
   
   
(14). 1 2 14.9 3 2x x  
(15).    
3 1 5 8
2 3 2 3
x x 
   (16).    
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x


   
(17).    
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
 
    (18). 
4
1 2 3 25.4 2 16 3
x
x x

    
(19). 3 3 1 12 .3 2 .3 192x x x x   
(20). 
2
2 3 1 33 9 27 675
x
x x    
(21).  
2
1
2
1 1
x
x x

   (22). 
2 3
3 31
9 27 81
3
x
x x x

   
 
(23). 2 1 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
x x x x     (24). 
4 3 2
3 5 3 5
x x x x     
(25). 1 2 4 37.3 5 3 5x x x x      (26). 1 2 1 22 2 2 3 3 3x x x x x x        
(27).  
2
9
32 2
2 2 2 2
x
x x x x

     (28). 
1
cos cos2 2
2 2
x
x xx
x x

    
 
(29).
2 2
3 5 2 2 4
( 3) ( 6 9)
x x x x
x x x
      
(30).
2
2
3 27
x x x 
4-PHƢƠNG TRÌNH MŨ 
 Phương trình mũ-lôgarit Trang 2 
Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ 
Loại 1. Biến đổi về dạng ( ) 0xf a  (sử dụng công thức lũy thừa, nhân, chia lũy thừa) 
Đặt xa t , t>0. PT=>f(t)=0=>t=>x. 
Loại 2. Phương trình dạng: ( ) ( ). .f x f xma n b p  với a.b=1 
Vì 1 ( )
( )
1 1
. 1
f x
f x
ab b a b
a a
      . PT ( )
( )
1
. . 0
f x
f x
m a n p
a
    . Đặt ( ) , 0f xa t t   
Chú ý: Các cặp số nghịch đảo thường gặp: 2 1;2 3;3 8; 5 2;4 15      
Loại 3. Phương trình đẳng cấp bậc 2 dạng: 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ). . . 0f x f x g x g xma na b pb   
Chia cả 2 vế cho 2 ( )g xb (hoặc ( )f xa ) ta được: 
2
( ) ( )
( ) ( )
0
f x f x
g x g x
a a
m n q
b b
   
     
   
   
 . Đặt 
( )
( )
, 0
f x
g x
a
t t
b
  
Lưu ý: Có thể a=b hoặc f(x)=g(x). 
B2: Giải phương trình sau: 
(31). 2.16 15.4 8 0x x   (32). 9 8.3 7 0x x   
(33). 2 8 53 4.3 27 0x x    (34). 1 4 24 2 2 6x x x     
(35). 
2 2
4 6.2 8 0
x x   (36). 
1 3 3
64 12 2
x x  
(37). 
2
7
6.0,7 7
100
x
x
x
  (38).    
10
5 10
3 3 84
x x
  
(39). 
2 2
2 1 2
4 5.2 6 0
x x x x       (40). 
2 2
4 16 10.2
x x   
(41). lg lg525 5 4.x x  (42). 
2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x      
(43). 
2 2
3 3
2log ( 16) log ( 16) 1
2 2 24
x x  
  (44). 
2 6 7
2 2 17
x x   
(45). 2 1 10,5.4 21 13.4x x   (46). 2 23 3 30x x   
(47). 3 2cos 1 cos4 7.4 2x x   (48). 
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x       
(49). 1 35 5 26x x   (50). 
2 2
2
2 2 3
x x x x    
(51). 
2 2
sin cos
9 9 10
x x  (52). 
3| 1| 5 3
5.2 3.2 7 0
x x    
(53). 1 25 5.0,2 26x x   (54). 14 4 3.2x x x x   
(55). 
2 2
cos sin
2 5.2 7
x x  (56). 
2
cos2 cos
4 4 3
x x  
(57). 15 5 4 0x x   (58). 
2 2 2
2 1 2 2 1
9 34.15 25 0
x x x x x x        
(59). 
1 1 1
2.4 6 9x x x  (60). 
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0x x x   
(61). 
3 3 3
25 9 15 0
x x x   (62). 3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x    
(63). 2 22.2 9.14 7.7 0x x x   (64). 6.9 13.6 6.4 0x x x   
(65). 27 12 2.8x x x  (66). 24.3 9.2 5.6x x x  
(67). 
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x   (68). 25 12.2 6,25.0,16 0
x x x   
(69). 3 1125 50 2x x x  (70). 8 18 2.27x x x  
(71).    2 3 2 3 14
x x
    (72). 2 3 2 3 2
x x
         
   
(73). (2 3) (2 3) 4 0x x     (74). ( 2 1) ( 2 1) 2 2 0x x     
 Phương trình mũ-lôgarit Trang 3 
(75). ( 3 2) (7 4 3)(2 3) 4(2 3)x x      (76). (3 5) (3 5) 7.2 0x x x     
(77). 3(3 5) 16(3 5) 2x x x    (78). (7 4 3) 3.(2 3) 2 0x x     
(79).      26 15 3 2. 7 4 3 2. 2 3 1
x x x
      (80).    7 3 5 7 3 5 14.2
x x
x    
(81). (5 24) (5 24) 10x x    (82). 37.(5 21) (5 21) 2x x x    
(83). 3
3
8 1
2 6 2 1
2 2
x x
x x
   
      
   
 (84). 2 2
5
2 2 2 2 20
16
x x x x     
(85). 35 9.5 27.(125 5 ) 10x x x x     (86). 1 13 3 9 9 6x x x x       
Phƣơng pháp 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
B3: Giải các phương trình sau 
(87). 4 9 25x x x  (88). 3 4 5x x x  
(89). 3 4 0x x   (90). 15 1 4x x  
(91). 
2
2 2 2
3 2 2
x x
x x
     (92). 
2
2 3 1
x x  
(93). 3.16 2.8 5.36x x x  (94). 5 4 2 20 9x x x x   
(95). 2 3 2 3 2
x x
x         
   
 (96).      3 2 3 2 10
x x x
    
(97).  
2
2
4 2 1 .2
x x
x x    
(98). 
6
9.7 1 2
x x  
(99).  
2
4 2 2
3 4 3 1 0
x x
x
     (100). 3 2 1 3 .2
x x
x x   
(101). 2013 2015 2.2014x x x  (102). 3 2x x  
Phƣơng pháp 4: Đưa về phương trình tích và đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
B4: Giải các phương trình sau: 
(103). 2 3 1 6x x x   (104). 8.3 3.2 24 6x x x   
(105). 2 1 15 7 175 35 0x x x     (106). 
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x     
(107). 2 22 4 2 4 4 4 8x x x x x        
 
 (108). 
2 1 2
4 .3 3 2 .3 2 6
x x x
x x x x
     
(109). 112.3 3.15 5 20x x x   (110). 
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x        
(111). 23 (2 9).3 9.2 0x x x x    (112). 2 (3 2 ). 2.(1 2 ) 0x xx x     
(113). 9 2.( 2).3 2 5 0x xx x     (114). 2 23.25 (3 10).5 3 0x xx x      
(115). 
2 2 2
1 ( 1)
4 2 2 1
x x x x     (116). 
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x     
(117). 2 2 2.2 8 2 2x xx x    (118). 2 2 2 2.6 6 .6 6x x x xx x     
(119). 2 1 | 3| 2 2 | 3| 4 1.2 2 .2 2x x x xx x        (120). 3.4 (3 10)2 3 0x xx x     
Phƣơng pháp 5: Lôgarit hóa (Chỉ lôgarit hai vế có dạng tích) 
B5: Giải các phương trình sau: 
(121). 15 .8 100
x
x x  
(122). 
2
2 .3 9
x x  
(123). 228 36.3
x
xx   
(124). 2 14.9 3 2x x 
 Phương trình mũ-lôgarit Trang 4 
(125). 
2
2
2 .3 1,5
x x x  
(126). 
2 1
15 .2 50
x
x x

  
(127). 4 33 4
x x
 (128). 7 55 7
x x
 
(129).    
4 1 3 2
2 5 1 7
x x 
 
(130). 
1
2 .5 10
x
x x

 
(131). 
2
5 6 3
5 2
x x x   (132). 
2
5 .3 1
x x  
(133). 
3
22 3 6
x
xx  
(134). 
2 2
3 2 6 2 5
2 3 3 2
x x x x x x       
(135). 
3
2 log
3 81
x
x

 (136). 
2
log 4
32
x
x

 
(137). 
logx 2
1000x x (138).    
2
3 3 10
2 2
2 2
x x
x x x x

     
***** 
A/Phƣơng trình cơ bản: Với 0 1a  ta có: log b
a
x b x a   
Đặc biệt: *) lg 10bx b x   hay log 10bx b x   
 *) ln bx b x e   
B/Phƣơng pháp giải toán 
Phƣơng pháp 1: Đưa về cùng cơ số 
( ) ( )
log ( ) log ( )
( ) 0
a a
f x g x
f x g x
f x
 
  

Lưu ý: -Một số phương trình ta cần đặt điều kiện, sử dụng các công thức lôgartith và các phép biến 
đưa đưa về phương trình cùng cơ số 
-Sử dụng công thức 
log log
b b
c a
a c  
B1: Giải phương trình sau: 
(1).  
2
log 5 1 4x  (2).  25log 2 65 2x x x    
(3).
      
2 4
2 1
log 4 log 2 log 3
4
x x x    
(4).
   2log 4 9 log 3x x x   
(5). 2
2
log 1
x x
x
 
 (6).    22 1 2log 1 log 1x x   
(7).    5 5log 3 log 2 6x x   (8). 2
3
1
log 3 1 2
2
x
x x
 
    
 
(9).  2 2log 6 log 3 1x x    (10). 2 4 152
2 2
2
log 36
log 81 log 3
log 4
x x   
(11). 
3 9 27
log log log 11x x x   (12). 
3 3
log log ( 2) 1x x   
(13).    
9 3
log 8 log 26 2 0x x     (14).    22 2log 3 log 6 10 1 0x x     
(15).    3 21lg 1 lg 2 1 lg
2
x x x x     (16). 
3
4 1 16 8
log log log 5x x x   
(17).   32 2log 1 1 3log 40x x    (18).    
2
55
log 4 6 log 2 2 2
x x    
5-PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT 
 Phương trình mũ-lôgarit Trang 5 
(19). 3 4
1 3 33
log log log (3 ) 3x x x   (20). 2
5 0,2 5 0,4
log ( 1) log 5 log ( 2) 2log ( 2)x x x     
(21).  3log log log log 2 0x x   (22). 2 3 3
1 4 0,25 1/4
3
log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6)
2
x x x     
(23). 
4 2
log ( 3) log ( 7) 2 0x x     (24). 2lg 1 3lg 1 2 lg 1x x x      
(25). 
2 1/8
log ( 2) 6log 3 5 2x x    (26). 3
1/2 82
log 1 log (3 ) log ( 1)x x x     
(27). 
2 1/2
2log (2 2) log (9 1) 1x x    (28). 
4
log ( 2).log 2 1
x
x  
(29). 2
9
log 27.log 4
x
x x x  (30). 
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x       
(31). 
2 2
3 3
log ( ) log ( ) 3x x
x x
    (32). 
2
9 3 3
2log log .log ( 2 1 1)x x x   
(33). 
5 2 5 9
log log log 3.log 225x x  (34). 2
3 3
log ( 1) log (2 1) 2x x    
(35). 
5
log (5 4) 1
x
x   (36). 
2 3
4 82
log ( 1) 2 log 4 log ( 4)x x x      
(37). 2
2 2
5
log log ( 25) 0
5
x
x
x

  

 (38). 
2 2 2
2 3 2 3
log ( 1 ) log ( 1 ) 0x x x x
 
      
(39). 2
3
1
log 3 1 2
2
x
x x
 
    
 
 (40). 2 2
9 33
1 1
log ( 5 6) log log | 3 |
2 2
x
x x x

     
(41). 2
6 6
1 1
1 log log ( 1)
7 2
x
x
x

  

 (42). 
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x

     
(43). log9 log9 6xx   (44). 
4 4
2
log ( 2)( 3) log 2
3
x
x x
x

   

(45). log log55 50x x  (46). 2
2 1/2 2
1
log ( 1) log ( 4) log (3 )
2
x x x     
(47). 
2
log
1
log(6 5)
x
x


 (48). 
2
2 2
log( 10) 1 log4
log2
log (3 2) 2 log 5
x x
x
   

  
(49). 2
log (9 2 )
1
3
x
x



 (50). 
3
1 6
3 log 9
log
x
x
x x
 
   
 
(51).   32 2log 4 1 log (2 6)x xx     (52). 8
4 22
1 1
log ( 3) log ( 1) log (4 )
2 4
x x x    
(53). 
2 2
log (2 4) log (2 12) 3
x x
x     (54). 
2 2
1
log (4 15.2 27) 2 log 0
4.2 3
x x
x
   

(55).  
3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
x
x
x
  

 (56).  4 1log 3 2 2 log16 log4
4 2
x x x    
(57). 2 2
3 3
log ( 2) log 4 4 9x x x     (58). 
2 2
3
1
log (3 1) 2 log ( 1)
log 2
x
x x

     
(59). 2
1
log( 10) log 2 log4
2
x x    
(60). 2
2 2
log ( 3) log (6 10) 1 0x x     
(61). 5
1
2log(x 1) log log
2
x x   (62).   4 3 2 3
1
log 2log 1 log 1 3log
2
x     
 Phương trình mũ-lôgarit Trang 6 
(63). 2
2
log ( 2) 3 ( 15)x x TN   (64). 
2 4
log ( 1) 2log (3 2) 2 0 ( 14)x x D     
Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ 
Loại 1. Biến đổi về dạng: (log ) 0
a
f x  . Đặt log
a
x t , được pt (t) 0 t xf    
Loại 2. Phương trình dạng [ ] [ ]
( )
1
.log ( ) .log 0 .log ( ) 0
log ( )
a f x a
a
m f x n a p m f x n p
f x
       
Đặt log ( )
a
t f x =>Được pt bậc hai của t 
Tổng quát: 
( ) ( )
m.log ( ) .log ( ) 0
f x g x
g x n f x p   . Đặt đk. Đặt 
( )
log ( )
f x
g x t  
Loại 3. Sử dụng công thức log logb bc aa c ; log 1 log
b a
a b  
B2: Giải các phương trình sau: 
(65). 2 3log log 2 0x x   (66). 2
2 2
log 2log 2 0x x   
(67). 
3 3
2 2
4
log log
3
x x  
(68).
2 2 2
3 3 2
2log ( 4) 3 log ( 2) log ( 2) 4x x x     
(69). 
2 2
3 log log (8 ) 3 0x x   (70).  
2 4 2
1
2 log 1 log log 0
4
x x   
(71).    13 3log 3 1 .log 3 3 6x x   (72).    15 25log 5 1 log 5 5 1x x   
(73). 3 3
2 2
4
log log
3
x x  (74). 
4 2 2 3
log ( 1) log ( 1) 25x x    
(75). 
9
4log log 3 3
x
x  (76). 
1 2
log 16 log ( 1)
x
x   
(77).  
2 1
1 log 1 log 4
x
x    (78). 2 2log 16 log 64 3xx   
(79). 2 2
3
log (3 ).log 3 1
x
x  (80). 2
2
log ( 2) log 2
x x
x x

   
(81). 2
5 5
5
log log 1
x
x
x
 
  
 
(82). 
2 2
log 2 log 4 log 8
x x x
  
(83). 2
2
327
16log 3log 0
xx
x x  (84). 2 3
/2 4 2
4log 2log 3log
x x x
x x x  
(85). 
2
2
1/2 2
log (4 ) log 8
8
x
x   
(86). 
16 2
3log 16 4log 2log
x
x x  
(87). 
2
log(10 ) log log(100 )
4 6 2.3
x x x  (88). 
2 3
/2 4 16
log 40log 14log 0
x x x
x x x   
(89). 
2
2 2 2
log (2 ) log 6 log (4 )
4 2.3
x x
x  (90).    2 21 2 1 3log 6 5 1 log 4 4 1 2 0x xx x x x        
(91). 
2/ 2
log 2 log 4 3
x
x  (92). 2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x      
(93).  2 22log 4 log 12x x x  (94). 2 23 7 2 3log (4 12 9) log (6 23 21) 4x xx x x x       
(95). 
2 4
log | | 4 log | | 5 0x x   (96). 
3 3
log 3 log log 3 log 1/ 2
x x
x x    
(97). 2 2
3 3
log log 1 5x x   (98). 4 2 2 4log log log log 2x x  
(99). 82
3loglog
2 2 5 0
xx
x x

   (100). 
2
2 2
log ( 1) 6log 1 2 0x x     
(101). 
1 2
1
4 log 2 logx x
 
 
 (102). 
2
1 log( 1) 2
2
1 log( 1)1 log ( 1)
x
xx
 
 
  
 Phương trình mũ-lôgarit Trang 7 
Phƣơng pháp 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
B3: Giải các phương trình sau 
(103). 
5
log ( 3) 4x x   (104). 
3
log ( 3) 8x x   
(105). 
0,5
1 1
log
4 2
x x
 
    
 
 (106). 
2
2 2
log ( 6) log ( 2) 4x x x x      
(107). 2log( 12) log( 3) 5x x x x      (108). 2log2.3 3
x
x  
(109). 
2 3
log (2 1) log (4 2) 2
x x    (110). 2 3log ( 1) log ( 1) 2x x    
(111). 
3 5
log ( 1) log (2 1) 2x x    (112). [ ]
3 2
4( 2) log ( 2) log ( 3) 15( 1)x x x x      
(113). 2
2 log ( 2) 6
2 1
x
x x
 


(114). 
2
2
log 16 log 64 3
xx
  
(115).
2 2
5 5
log ( 2 2) 1 log 3x x x x x     
(116).
3 2 3 2 3
8 ( 3 6).4 2( 3 6) 0
x x
x x x x      
Phƣơng pháp 4: Phương trình tích và đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
B4: Giải các phương trình sau: 
(117). 2
2 2
log ( 1)log 6 2x x x x    (118).   221 1 2 .log ( ) 0x x x x      
(119).  29 3 32log log .log 2 1 1x x x   (120). 6 3 2 2 2
2 2 2 2
1
log (3 4) .log 8log log (3 2)
3
x x x x    
(121). 
2 3 2 3
log .log 1 log logx x x x   (122). 2
3 3
( 3)log ( 2) 4( 2)log ( 2) 16x x x x      
(123). 2
3 3
(log 2) 4 log 0x x x x     (124). 2 2 2
4 5 20
log ( 1).log ( 1) log ( 1)x x x x x x       
(125). 2
2 2
log ( 3)log 2 0x x x x     (126). 2
3 3
log ( 1) ( 5)log ( 1) 2 6 0x x x x       
(127). 2
3 3
log ( 2)log 11 0x x x x     (128). 2 2 2 2 2( 1)log ( 1) 4 2( 1).log( 1) 0x x x x      
(129). 
2 7 2 7
log 2log 2 log .logx x x x   (130). 2 2
log log 2
(2 2) (2 2) 1
x x
x x     
(131). 2
2 2
log 2( 1)log 4 0x x x x    (132). 3
2 3 3 2
log .log log log 3x x x x   
Phƣơng pháp 5: Mũ hóa 
B5: Giải các phương trình sau 
(133). 2
2 2
log ( 1)log 6 2x x x x    (134).   221 1 2 .log ( ) 0x x x x      
(135).  29 3 32log log .log 2 1 1x x x   (136). 6 3 2 2 2
2 2 2 2
1
log (3 4) .log 8log log (3 2)
3
x x x x    
(137). 
2 3 2 3
log .log 1 log logx x x x   (138). 2
3 3
( 3)log ( 2) 4( 2)log ( 2) 16x x x x      
(139). 2
3 3
(log 2) 4 log 0x x x x     (140). 2 2 2
4 5 20
log ( 1).log ( 1) log ( 1)x x x x x x       
(141). 2
2 2
log ( 3)log 2 0x x x x     (142). 2
3 3
log ( 1) ( 5)log ( 1) 2 6 0x x x x       
(143). 2
3 3
log ( 2)log 11 0x x x x     (144). 2 2 2 2 2( 1)log ( 1) 4 2( 1).log( 1) 0x x x x      
(145). 
2 7 2 7
log 2log 2 log .logx x x x   (146). 2 2
log log 2
(2 2) (2 2) 1
x x
x x     
(147). 2
2 2
log 2( 1)log 4 0x x x x    (148). 3
2 3 3 2
log .log log log 3x x x x   
 Phương trình mũ-lôgarit Trang 8 
Công thức cơ bản và công thức biến đổi lôgarith 
(1). log ,x
a
a x x   
(2). 
log
, 0a
x
a x x   
(3). log ( . ) log log
a a a
xy x y  với , 0x y  
(4). log log log
a a a
x
x y
y
 
  
 
 với , 0x y  
(5). log .logm
a a
b m b với mọi b>0 và m- số lẻ; (5’). log .log | |m
a a
b m b với m-chẵn. 
(6). 
1
log logn aa
b b
n
 ; (5)+(6) ta có: log logn
m
aa
m
b b
n
 
(7). 
log
log
log
c
a
c
b
b
a
 . Khi b=c, ta có: 
1
log
log
a
b
b
a
 
(8). 
log log
b b
c a
a c 
Lưu ý: điều kiện 2 vế của (4), (5), (6) là khác nhau.