Toán 12 - Tương giao của đồ thị hàm số bậc 3

á trị m tìm được thoả mãn bài toán.
Kết luận:
B - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.
Bài toán 8: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.
HD: 
Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm)
Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt. 
Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm)
	Bài toán trở thành tìm m sao cho 
Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế).
Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m).
Bài toán trở thành tìm m sao cho đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt.
Bài toán 9: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn a < x1< x2 .
HD: 
Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm).
Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn a < x1< x2 .
Chuyển về giải bài toán theo tam thức bậc hai bậc hai.
Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm)
	Bài toán trở thành tìm m sao cho 
Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế)
	Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m).
Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn a < x1< x2 .
Bài toán 10: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1< a < x2 .
HD: 
Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm)
Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x1< a < x2 .
Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm)
Bài toán trở thành tìm m sao cho 
Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế)
Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m).
Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1< a < x2 .
Bài toán 11: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < a.
HD: 
Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm)
Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < a.
Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm)
Bài toán trở thành tìm m sao cho 
Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế)
Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m).
Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < a.
C - Đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục Ox. 
Bài toán 12: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) tiếp xúc với trục Ox.
HD: (C m) tiếp xúc với trục Ox khi hệ phương trình sau có nghiệm.
D - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại một điểm.
Bài toán 13: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm.
HD: 
Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm)
Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm . 
Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm)
Bài toán trở thành tìm m sao cho 
Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế)
Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m).
Bài toán trở thành tìm m sao cho đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại một điểm.
Bài toán 14: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm có hoành độ x1 thoả mãn a < x1 .
HD: 
Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm)
Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm x1 thoả mãn a < x1.
Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm)
Bài toán trở thành tìm m sao cho 
Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế)
Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m).
Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 thoả mãn a < x1.
Bài toán 15: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm có hoành độ x1 thoả mãn x1 < a .
HD: 
Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm)
Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm x1 thoả mãn x1 < a .
Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm)
Bài toán trở thành tìm m sao cho 
Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế)
Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m).
Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 thoả mãn x1 < a .
III - Bài tập:
A - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
Bài tập 1: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
a) (C m): y = f(x) = x3 + (1 - 2m)x2 - (3m - 2)x - m + 2.
b) (C m): y = f(x) = x3 +3x2 - 9x + m.
c) (C m): y = f(x) = x3 + x2 + mx + 3.
d) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - 7x - 4.
Giải:
a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm (x2 – 2mx – m + 2)(x + 1) = 0.
	Bài toán trở thành tìm m sao cho phương trình x2 – 2mx – m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác – 1.
	Û 
b) y’ = 3x2 +6x – 9
	yCĐ = y(- 3) = m + 27
	yCT = y(1) = m – 5
	Bài toán trở thành tìm m sao cho yCĐyCT < 0 Û (m + 27)(m - 5) < 0 Û - 27 < m < 5
c) Phương trình hoành độ giao điểm x3 + x2 + mx + 3 = 0 Û - m = 
	Xét hàm số g(x) = ; Ta có g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = 1
	Bảng biến thiên	
x
-Ơ	0	1	+Ơ
y’
	-	-	0	+
y
+Ơ	+Ơ	+Ơ
	-Ơ	5
	Từ bảng biến thiên ta có giá trị của m là - m > 5 Û m < - 5
d) Ta có phương trình hoành độ giao điểm x3 + mx2 – 7x – 4 = 0 Û - m = 
	Xét hàm số g(x) =; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = - 1
Bảng biến thiên
x
-Ơ	- 1	 0	+Ơ
y’
	+	0	-	+
y
	2	+Ơ
-Ơ	- Ơ	-Ơ
Từ bảng biến thiên ta có giá trị của m là - m - 2
Bài tập 2: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3.
a) (C m): y = f(x) = x3 + (2 - 2m)x2 + (3 - 6m)x - 4m + 6 với - 3 < x1 < x2 < x3.
b) (C m): y = f(x) = x3 - 3x2 - 24x + m với - 4 < x1 < x2 < x3.
c) (C m): y = f(x) = x3 - 3x2 +(m + 2)x + 4 với - 2 < x1 < x2 < x3.
d) (C m): y = f(x) = x3 + (m + 1)x2 - 4x - 8 với - 4 < x1 < x2 < x3.
Giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm 
(x2 – 2mx – 2m + 3)(x + 2) = 0 Û 
Bài toán trở thành tìm m để PT: x2 – 2mx – 2m + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác – 2 thoả mãn - 3 < x1 < x2.
b)	y’ = 3x2 – 6x – 24
	yCĐ = y(- 2) = m + 28
yCT = y(4) = m – 80
af(- 4) = m – 16
Bài toán trở thành tìm m sao cho 
c) Phương trình hoành độ giao điểm – m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = 2
	Bảng biến thiên
x
-Ơ	-2	0	2	+Ơ
y’
	-	-	0	+
y
+Ơ	+Ơ	+Ơ
	10
	-Ơ	2
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả của m là 2 < - m < 10 Û - 10 < m < -2
d)	Phương trình hoành độ giao điểm - m = 
	Xét hàm số g(x) =; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = -2
	Ta có bảng biến thiên.
	x
-Ơ	- 4	- 1	 0	+Ơ
y’
	+	0	-	+
y
	-1	+Ơ
	- 5/2
-Ơ	- Ơ	-Ơ
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả - 5/ 2 < - m < - 1 Û 1 < m < 5/2.
Bài tập 3: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3.
a) (C m): y = f(x) = x3 + (2m - 3)x2 - (5m + 2)x - 3m + 6 với x1 < 1 < x2 < x3.
b) (C m): y = f(x) = x3 + (3 - 2m)x2 - (5m -2)x + 3m +6 với x1 < - 2 < x2 < x3.
c) (C m): y = f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + m với x1 < 1 < x2 < x3.
d) (C m): y = f(x) = x3 - 2x2 + mx - 4 với x1 < - 3 < x2 < x3.
e) (C m): y = f(x) = x3 + (m + 1)x2 - 3x - 2 với x1 < - 2 < x2 < x3.
f) (C m): y = f(x) = x3 + 2x2 + mx - 8 với x1 < - 1 < x2 < x3.
Giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm (x – 3)(x2 + 2mx + m - 2) = 0
	Bài toán trở thành tìm m sao cho pt x2 + 2mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác 3 thoả mãn x1 < 1 < x2 .
	Û 
b) Phương trình hoành độ giao điểm (x + 3)(x2 – 2mx +m + 2) = 0
	Bài toán thành tìm m sao cho PT: x2 – 2mx +m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho – 2 <x1 < x2.
	Û 
c) y’ = 6x2 – 6x – 12
	yCĐ = y(-1) = m + 7 
	yCT = y(2) = m – 20
	af(1) = m – 13
	Bài toán trở thành tìm m sao cho 
d) Phương trình hoành đọ giao điểm – m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = -1
	Bảng biến thiên
x
-Ơ	-3	- 1	 0	+Ơ
y’
	-	0	+	+
y
+Ơ	+Ơ	+Ơ
	 49/3
	7	 - Ơ
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 49/3 Û m < - 49/3
e) Phương trình hoành độ giao điểm - m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = - 1
	Bảng biến thiên
	x
-Ơ	- 2	- 1	 0	+Ơ
y’
	+	0	-	+
y
	1	+Ơ
	0
-Ơ	- Ơ	-Ơ
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m 0.
f) Phương trình hoành độ giao điểm - m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = - 2
	Bảng biến thiên
x
-Ơ	- 2	-1	 0	+Ơ
y’
	-	0	+	+
y
+Ơ	+Ơ	+Ơ
	7
	4	 - Ơ
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 7 Û m < - 7
Bài tập 4: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3.
a) (C m): y = f(x) = x3 - (2m + 3)x2 + (8m + 3)x - 6m - 9 với x1 < x2 < 2 < x3.
b) (C m): y = f(x) = x3 + (2m + 2)x2 + (7m + 4)x + 6m + 8 với x1 < x2 < 1 < x3.
c) (C m): y = f(x) = x3 - 6x2 - 15x + m với x1 < x2 < 3 < x3.
d) (C m): y = f(x) = x3 + 2x2 + mx + 4 với x1 < x2 < 2 < x3.
e) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - 3x + 18 với x1 < x2 < 1 < x3.
Giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm (x - 3)(x2 – 2mx + 2m + 3) = 0
	Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2 – 2mx + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 < x2 < 2.
	Û 
b) Phương trình hoành độ giao điểm (x + 2)(x2 + 2mx + 3m + 4) = 0
	Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2 + 2mx + 3m + 4 = 0 có hai nghiẹm phân biệt x1, x2 khác - 2thoả mãn x1 < 1 < x2 .
	Û 
c) y’ = 3x2 -12x – 15
	yCĐ = y(- 1) = m + 8
	yCT = y(5) = m – 100
	af(3) = m – 72
	Bài toán trở thành tìm m sao cho 
d) Phương trình hoành độ giao điểm - m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = 1
	Bảng biến thiên
x
-Ơ	0	1	2	+Ơ
y’
	-	-	0	+
y
+Ơ	+Ơ	+Ơ
	10
	-Ơ	7
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 10 Û m < - 10
e) Phương trình hoành độ giao điểm: - m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = 3
	Bảng biến thiên
x
-Ơ	0	1	3	+Ơ
y’
	-	-	0	+
y
+Ơ	+Ơ	+Ơ
	 16	
	-Ơ	4
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 16 Û m < - 16
Bài tập 5: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3.
a) (C m): y = f(x) = x3 + (2m - 2)x2 - (6m - 8)x + 4m - 16 với x1 < x2 < x3 < 3 .
b) (C m): y = f(x) = 2x3 - 3x2 - 36x + m với x1 < x2 < x3 < 5 .
c) (C m): y = f(x) = x3 - 3x2 + mx + 27 với x1 < x2 < x3 < 4 .
d) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - 8x - 12 với x1 < x2 < x3 < 2 .
Giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm (x – 2)(x2 + 2mx – 2m + 8) = 0
	Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2 + 2mx – 2m + 8 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 2 thoả mãn x1 < x2 < 3.
	Û 
b) Ta có y’ = 6x2 – 6x – 36
	yCĐ = y(- 2) = m + 44
	yCT = y(3) = m – 81
	af(5) = m – 5
	Bài toán trở thành tìm m sao cho 
c) Phương trình hoành độ giao điểm - m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = 3
	Bảng biến thiên
x
-Ơ	0	3	4	+Ơ
y’
	-	-	0	+
y
+Ơ	+Ơ	+Ơ
	43/4
	-Ơ	9
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả 9 < - m < 43/4 Û - 43/4 < m < - 9 
d) Phương trình hoành độ giao điểm - m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = - 2
	Bảng biến thiên	
x
-Ơ	- 2	 0	2	+Ơ
y’
	+	0	-	+
y
	-1	+Ơ
	-5
-Ơ	- Ơ	-Ơ
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m 5
Bài tập 6: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
a) (C m): y = f(x) = x3 - 6x2 + 11x + m.
b) (C m): y = f(x) = x3 - 6x2 + (m + 6)x - 6.
c) (C m): y = f(x) = x3 - 6x2 + (m2 + m + 5)x - 3m. 
d) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - (3m + 7)x - 6. 
e) (C m): y = f(x) = x3 - 9x2 + 23x + m.
f) (C m): y = f(x) = x3 - 9x2 + (m + 20)x - 4m - 3.
g) (C m): y = f(x) = x3 - 9x2 + (m2 + m + 3)x - 5m + 5. 
h) (C m): y = f(x) = x3 - 3mx2 + (3m + 14)x - 2m - 9. 
Giải:
a) Điều kiện cần: 
	Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + 11x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.
	áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có.
 ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = - 6
Điều kiện đủ:
Ta có phương trình x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 Û x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận : m = - 6.
b) 
Điều kiện cần : Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + (m + 6)x - 6 = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.
áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có.
 ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 5
Điều kiện đủ:
Ta có phương trình x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 Û x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận : m = 5.
c) 
Điều kiện cần :Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + (m 2 + m + 5)x – 3m = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.
áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có.
 ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 2 v m = - 3/2
Điều kiện đủ:
Khi m = 2 Ta có phương trình x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 Û x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mãn yêu cầu bài toán.
Khi m = - 3/ 2 Ta có phương trình x3 - 6x2 + x + = 0 Û x = v x = 2 v x = Thoả mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận : m = 2 và m = - 3/2.
d) 
Điều kiện cần : Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + (m 2 + m + 5)x – 3m = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.
áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có.
 ị x2 = - thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = - 6 v m = - 9 v m = 3/ 2. 
Điều kiện đủ:
Khi m = - 6 Ta có phương trình x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 Û x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mãn yêu cầu bài toán.
Khi m = - 9 Ta có phương trình x3 – 9x2 + 20x – 6 = 0 Û x = 3 v x = 3 ± Thoả mãn yêu cầu bài toán.
Khi m = 3/2 Ta có phương trình x3 + x2 - x - 6 = 0 Û x = - 4 v x = 3 v x = - Thoả mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận : m = - 6 , m = - 9 và m = 3/ 2
e) Ta có y’ = 3x2 – 18x + 23 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
	y’’ = 6x – 18; y’’ = 0 Û x = 3
	Ta có điểm uốn I(3; m + 15)
Bài toán Û Û m = - 15
f) Ta có y’ = 3x2 – 18x + m + 20
	Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D’> 0 Û 21 – 3m > 0 Û m < 7
	Ta có y’’ = 6x – 18; y’’ = 0 Û x = 3 
	Điểm uốn I(3; - m + 3)
	Bài toán Û Û m = 3 
g) Ta có y’ = 3x2 – 18x + m2 + m + 3
	Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D’ > 0 Û m2 + m – 24 < 0 
	y’’ = 6x – 18 ; y’’ = 0 Û x = 3
	Điểm uốn I (3; 3m2 – 2m - 40)
Bài toán Û Û m = 4 v m = - 
h) Ta có y’ = 3x2 – 6mx + 3m + 14
	Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D’ > 0 Û 3m2 - 3m – 14 > 0
 	Ta có y’’ = 6x - 6m ; y’’ = 0 Û x = m
Điểm uốn I(m ;- 2m3 + 3m2 + 12m - 9 )
Bài toán Û Û m = 3 v m = 
Bài tập 7: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
a) (C m): y = f(x) = x3 - 7x2 + mx - 8.
b) (C m): y = f(x) = x3 - (3m + 1)x2 + (8m - 2)x - 8.
c) (C m): y = f(x) = x3 - (m2 - m + 1)x2 + (m2 + m + 2)x - 8.
d) (C m): y = f(x) = x3 - (3m + 1)x2 + (m + 12)x - m3.
e) (C m): y = f(x) = x3 - 7x2 + mx + 27.
f) (C m): y = f(x) = x3 + (3m - 1)x2 + (8m - 5)x + 27.
g) (C m): y = f(x) = x3 - (m + 3)x2 - (m2 + m +1)x + 27.
h) (C m): y = f(x) = x3 - (m + 4)x2 - (5m + 6)x + m3.
Giải:
a) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 – 7x2 + mx - 8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân.
	áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình
	 ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 14
	Điều kiện đủ: 
Khi m = 14 ta có phương trình x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 Û x = 1 v x = 4v x = 2 thoả mãn 
Kết luận: m = 14
b) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 – (3m + 1)x2 + (8m - 2)x -8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân.
	áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình
	 ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 2
	Điều kiện đủ: 
Khi m = 2 ta có phương trình x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 Û x = 1 v x = 4 v x = 2 thoả mãn 
Kết luận: m = 2
c) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm
 x3 – (m2 – m + 1)x2 + (m2 + m + 2)x - 8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân.
	áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình
	 ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 3 v m = 0
	Điều kiện đủ: 
Khi m = 3 ta có phương trình x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 Û x = 1 v x = 4 v x = 2 thoả mãn
Khi m = 0 ta có phương trình x3 – x2 + 2x – 8 = 0 Û x = 2 không thoả mãn 
Kết luận: m = 3
d) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm
 x3 – (3m + 1)x2 + ( m + 12)x – m3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân.
	áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình
	 ị x2 = m thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 2 v m = - 2 v m = 0
	Điều kiện đủ: 
Khi m = 2 ta có phương trình x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 Û x = 1 v x = 4 v x = 2 thoả mãn
Khi m = - 2 ta có phương trình x3 + 5x2 + 10x + 8 = 0 Û x = - 2 không thoả mãn 
Khi m = 0 ta có phương trình x3 – x2 + 12x = 0 Û x = 0 không thoả mãn
Kết luận: m = 2
e) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 – 7x2 + mx + 27 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân.
	áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình
	 ị x2 = - 3 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = - 21
	Điều kiện đủ: 
Khi m = -21 ta có phương trình x3 – 7x2 - 21x + 27 = 0 Û x = 1 v x = 9 v x = -3 thoả mãn 
Kết luận: m = - 21
f) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 + (3m - 1)x2 + (8m - 5)x - 27 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân.
	áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình
	 ị x2 = - 3 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = - 2
	Điều kiện đủ: 
Khi m = - 2 ta có phương trình x3 – 7x2 - 21x + 27 = 0 Û x = 1 v x = 9 v x = - 3 thoả mãn 
Kết luận: m = - 2
g) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm
 x3 – (m + 3)x2 - (m2 + m + 1)x + 27 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân.
	áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình
	 ị x2 = - 3 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 4 v m = -2
	Điều kiện đủ: 
Khi m = 4 ta có phương trình x3 – 7x2 - 21x + 27 = 0 Û x = 1 v x = 9 v x = - 3 thoả mãn 
Khi m = - 2 ta có phương trình x3 + x2 + 3x + 27 = 0 Û x = -3 không thoả mãn 
Kết luận: m = 4
h) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm
 x3 – (3m + 1)x2 + ( m + 12)x – m3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân.
	áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình
	 ị x2 = - m thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 3 v m = - 2 v m = 0
	Điều kiện đủ: 
Khi m = 3 ta có phương trình x3 – 7x2 - 21x + 27 = 0 Û x = 1 v x = 9 v x = - 3 thoả mãn
Khi m = - 2 ta có phương trình x3 - 2x2 + 4x - 8 = 0 Û x = 2 không thoả mãn
Khi m = 0 ta có phương trình x3 – 4x2 - 6x = 0 Û x = 0 v x = không thoả mãn
Kết luận: m = 3
B - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.
Bài tập 8: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.
a) (C m): y = f(x) = x3 + (2m - 2)x2 - (m - 4)x - 6m - 8. 
b) (C m): y = f(x) = 2x3 +3x2 - 72x + m. 
c) (C m): y = f(x) = x3 - x2 + mx - 20.
d) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - 20x + 24. 
Giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm (x - 2)(x2 + 2mx + 3m + 4) = 0
	Bài toán trở thành tìm m để phương trình x2 + 2mx + 3m + 4 = 0 có nghiệm kép khác 2 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 2
	Û
b) Ta có y’ = 6(x2 + x - 12)
	y’ = 0 Û x = - 4 v x = 3
	yCĐ = y(- 4) = m + 208
	yCT = y(3) = m – 135
	Bài toán trở thành tìm m sao cho yCĐ.yCT = 0 Û m = 135 v m = - 208
c) Phương trình hoành độ giao điểm – m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = - 2
	Bảng biến thiên	
x
-Ơ	- 2	 0	+Ơ
y’
	-	0	+	+
y
+Ơ	+Ơ	+Ơ
	16	 - Ơ
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m = 16 Û m = - 16
d) Phương trình hoành độ giao điểm - m = 
	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = 2
	Bảng biến thiên	
x
-Ơ	0	2	+Ơ
y’
	-	-	0	+
y
+Ơ	+Ơ	+Ơ
	-Ơ	-2
	Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m = -2 Û m = 2
Bài tập 9: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2.
a) (C m): y = f(x) = x3 - (2m + 3)x2 + (9m + 4)x - 9m - 12 với 1 < x1 < x2 
b) (C m): y = f(x) = x3 - 6x2 +9x + m với - 1 < x1 < x2 
c) (C m): y = f(x) = x3 - 2x2 + mx - 4 với - 2 < x1 < x2 
d) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - 20x - 24 với - 3 < x1 < x2 
Giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm : x3 - (2m + 3)x2 + (9m + 4)x - 9m - 12 = 0 
	Û (x - 3)(x2 – 2mx + 3m + 4) = 0 
	Bài toán trở thành tìm m sao cho 
	TH1: PT x2 – 2mx + 3m + 4 = 0 có nghiệm kép khác 3 và lớn hơn 1
	Û 
	TH2: PT x2 – 2mx + 3m + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 trong đó có một nghiệm x = 3.
	Û 
	Kết luận : m = 4 và m = 13/3
b) y’ = 3x2 – 12x + 9
	yCĐ = y(1) = m + 4
	yCT = y(3) = m
	af(- 1) = m – 16
	Bài toán trở thành tìm m sao cho 
c) Phương trình hoành độ giao điểm - m = 
 	Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = 
	g’(x) = 0 Û x = - 1
	Bảng biến thiên	
x
-Ơ	-2	- 1	 0	+Ơ
y’
	-