Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức

I. Đại cương về bất đẳng thức

1. Định nghĩa

Cho 2 số a , b ∈ K ( K là trường số hữu tỉ Q hay trường số thực R ). Ta nói

> , < ="" ,="" ≤="" ="" ,="" ≥="" ="" nếu="" a="" –="" b="" là="" một="" số="" dương="" hoặc="">

không là các bất đẳng thức trên trường số K

Chú ý : quan hệ “lớn hơn”, “bé hơn” chỉ có trên những trường sắp thứ tự

Ví dụ: 4 > 3

3 + 4 ≤ 7

3 trang

phammen30

754

1 Download

Bạn đang xem tài liệu "Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

 CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC 
I. Đại cương về bất đẳng thức 
1. Định nghĩa 
Cho 2 số a , b ∈ K ( K là trường số hữu tỉ Q hay trường số thực R ). Ta nói 
 >  ,  <  ,  ≤  ,  ≥  nếu a – b là một số dương hoặc bằng 
không là các bất đẳng thức trên trường số K 
Chú ý : quan hệ “lớn hơn”, “bé hơn” chỉ có trên những trường sắp thứ tự 
Ví dụ: 4 > 3 
 3 + 4 ≤ 7 
2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 
  >   <  
  > ,  >  =>  >  (Tính bắc cầu) 
  >  =>  +  >  +  
 
 > 
 > 
 =>  +  >  +  
 A>  =>  >  ế  > 0
 <  ế  < 0
 
 
 > 
 < 
 =>  −  >  −  
 
 >  > 0
 >  > 0
 =>  >  
  >  > 0 =>  >  (∀ ∈ ∗) 
  >  > 0 => √

> √

 (∀ ∈ ∗) 
  >  > 0 ℎặ  


>


II. Các bất đẳng thức quan trọng 
1. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 
 Cho các số thực ,,  , .  : 
| +  + ⋯ + | ≤ || + || + ⋯ + || 
 Cho 2 số thực khác không bất kì a,b. Thế thì: 



+


 ≥ 2 
Dấu “=” xảy ra khi  = ∓ 
2. Bất đẳng thức Côsi 
Cho ,,  ,  ∈  . ℎ đó: 
 +  + ⋯ + 

≥   
 
 Dấu “=” xảy ra khi: 
 =  = ⋯ =  
 3. Bất dẳng thức Bunhiacốpski 
Cho n cặp số thực tùy ý ,  ∈ ,  = 1,2,  , . Thế thì: 
 


 ≤  



  



 
Dấu “=” xảy ra khi ∃ ∈   ℎ  = ,  = 1,2,  , . 
4. Bất đẳng thức Becnuli 
Với số thực dương a và số hữu tỉ  > 1(0 <  ∈ , 1 <  ∈ ) thì: 
(1 + ) > 1 +  
III. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
1. Phương pháp dựa vào định nghĩa 
Để chứng minh  >  (ℎặ  ≥ ) ta chứng minh : 
  −  > 0 ( ℎặ  −  ≥ 0) 
í ụ: chứng minh  +  + 4 ≥ 2 
 +  + 4 ≥ 2 suy ra  +  + 2 ≥ 0 (đpcm) 
2. Phương pháp biến đổi tương đương 
Để chứng minh  ≥  ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất ở 
mục I.2) 
  ≥   ≥  
Ví dụ :chứng minh  +  ≥ 2√ 
 +  ≥ 2√ 
  ( + ) ≥ 4 
  ( − ) ≥ 0 (đpcm) 
3. Phương pháp dùng tam thức bậc 2 
Ví dụ : cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Chứng minh : 
1 +


 ≥ cos  − (cos  + cos )  , ∀ ∈  
Chứng minh : 1 +


 ≥ cos  − (cos  + cos )  
 


 + (cos  + cos ) + 1 − cos  ≥ 0 
Xét ∆= (cos  + cos ) − 2(1 − cos ) 
 = 4


(


− 1) ≤ 0 
 Đpcm 
4. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết 
Ví dụ: cho  > 0,  >0 chứng minh : 


+


≥


 Chứng minh : theo bất đẳng thức Cosi với 


> 0 à 


> 0,  ó: 


+


≥ 2


= 2

√
 (1) 
ạ ó: 0 < √ ≤


 suy ra : 

√
≥


 (2) 
ừ (1) à (2) ó: 


+


≥ 2


=


 (đpcm) 
5. Phương pháp quy nạp toán học 
Ví dụ : Giả sử  = 2 + 2 + ⋯ + √2 (n dấu căn) (1) 
Chứng minh :  < 2, ∀ ≥ 1 
Với n=1 : √2 < 2 , luôn đúng 
Giả sử đúng với n = k , ta chứng minh (1) đúng với n =k + 1 
Ta có  = 2 + 2 + ⋯ + √2 < 2 (k dấu căn) 
Suy ra :  = 2 + 2 + ⋯ + √2 < 2 +  = √2 + 2 = 2 (đpcm)

Tài liệu đính kèm:

Chuyen_de_bat_dang_thuc.pdf