Toán học - Chuyên đề IIi: Các dạng toán dãy tỉ số

CHUYÊN ĐỀ III
CÁC DẠNG TOÁN DÃY TỈ SỐ
GV: HỒ ĐẠI ĐOÀN
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 2: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:
Bài 3 :
 Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
Bài 4 :
1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tính b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức:
Bài 5 : 
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 6: 
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
Bài 7:
a) Chøng minh r»ng nÕu th× 
(gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).
b) T×m x biÕt: 
Bài 8:
a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: kh«ng lµ sè nguyªn.
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: .
Bµi 9:
b) BiÕt 
Chøng minh r»ng: 
Bµi 10:
 Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
 vµ 
Bài 11 :
a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6
b) T×m x, y, z biÕt: 
 (x, y, z )
Bài 12:
a) T×m x, y, z biÕt:
 	; vµ 
b) Cho . BiÕt f(0), f(1), f(2) ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. 
Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn.
Bài 13:
a) T×m x, y, z biÕt vµ 
b) CMR: nÕu th× (Gi¶ sö c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).
Bài 14:
Cho . Chøng minh r»ng: 
Bài 15:
a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c 17 nÕu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Î Z).
b) BiÕt 
 Chøng minh r»ng: 
Bµi 16:
Chøng minh r»ng: 
NÕu 
Th× 
Bài 17:
 Cho: .
Chøng minh: .
Bài 18:
 T×m A biÕt r»ng:
A = 
Bài 19: Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 20: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:
Bài 21: T×m x,y,z biÕt:
a) vµ ;	b) vµ 
Bài 22: T×m x, y,z biÕt:
a) vµ 
b) vµ 
Bài 23: Cho tØ lÖ thøc:
Chøng minh r»ng:
	a) 	b) 
Bài 24: Cho tØ lÖ thøc:Chøng minh r»ng:
	a)
Bài 25 Cho : hãy tính giá trị của biểu thức 
Bµi 26: T×m hai sè x vµ y biÕt:
	a) vµ 5x – 2y = 87;	b) vµ 2x – y = 34;
Bµi 27: 
T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30.
Bµi 28: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
	a) vµ 5x + y – 2z = 28;	b) ; vµ 2x + 3y – z = 186;
c) 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32;	d) vµ x + y + z = 49;
e) vµ 2x + 3y – z = 50;
Bµi 29: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
	a) vµ xyz = 810;	b) vµ x2 + y2 + z2 = 14.
Bµi 30: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
	a) ;
	b) ;	c) 
Bµi 31: Cho tØ lÖ thøc: ; Chøng minh r»ng:
	a) ;	b) .
Bµi 32: Cho tØ lÖ thøc: . Chøng minh r»ng: .
Bµi 33: Cho d·y tØ sè : . Chøng minh r»ng: .
Bµi 34: Cho 4 sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4.
Chøng minh r»ng: .
Bµi 35*: Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh r»ng: .
Bµi 36: Cho ba tØ sè b»ng nhau: . T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè ®ã ?
Bµi 37: Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ kh¸c 0 sao cho:
 T×m gi¸ b»ng sè cña biÓu thøc: 
Bài 38: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng:
	a) ;	b) ;
Bài 39: Tìm hai số x và y biết:
	a) và 5x – 2y = 87;	b) và 2x – y = 34;
Bài 40: 
Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 41: Tìm các số x; y; z biết rằng:
	a) và 5x + y – 2z = 28;	b) ; và 2x + 3y – z = 186;
c) 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32;	d) và x + y + z = 49;
e) và 2x + 3y – z = 50;
Bài 42: Tìm các số x; y; z biết rằng:
	a) và xyz = 810;	b) và x2 + y2 + z2 = 14.
Bài 43: Tìm các số x; y; z biết rằng:
	a) ;
	b) ;	c) 
Bài 44: 
Cho ba tỉ số bằng nhau: . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 45: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng: .
Bài 46: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng:
	a) ;	b) .
Bài 47: Cho dãy tỉ số : . Chứng minh rằng: .
Bài 48: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng :
	a) ; 	 b) .
Bài 49: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: .
Bài 50: Cho . CMR: ; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.
Bài 51: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 
	CMR: Ta có đẳng thức: 
Bài 52: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4.
Chứng minh rằng: .
Bài 53: Cho dãy tỉ số : ; CMR: .
Bài 54: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
Bài 55*: Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: .
Bài 56: Tìm các số x, y, z biết :
x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
x + y = x : y = 3.(x – y)
Bài 57: Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai
lần tổng của a và b ?
Bài 58: Cho 2002 số tự nhiên, trong đó cứ 4 số bất kỳ trong chúng đều lập nên một tỉ lệ thức.
CMR: trong các số đó luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau.
Bài 59: Có 130 học sinh thuộc ba lớp 7A, 7B, 7C của một trường cùng tham gia trồng cây. 
	Mỗi học sinh của 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng được 2 cây, 3 cây, 4 cây. 
Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây biết rằng số cây trồng được của
ba lớp bằng nhau ?
 Bài 60:
(0,5đ) Cho tỉ lệ thức tính giá trị của 
(0,5đ) Cho tỉ lệ thức chứng minh rằng 
 Bài 61:
 Tìm x, y, z biết:
 và x2 + y2 + z2 = 14
Bài 62:
(1đ) Tìm x biết 
(1đ) Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32
Bài 63: 
Tính hai cạnh của hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa 2 cạng là 2 : 3 và chu vi của nó là 90cm?
Tính 3 góc của một tam giác biết rằng các góc đó tỉ lệ với 1:2:6 và tổng 3 góc đó bằng 1800 ?
Hd:
Gọi độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật đó lần lượt là a và b ( cm; a, b >0)
Theo bài ra ta có: a : b = 2 : 3 và 2(a+b) = 90
Từ a : b = 2 : 3 => ; a + b = 45
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 => a = 2 . 9 = 18; b = 3 . 9 = 27
vậy độ dài hai cạnh của hcn đó là 18cm và 27cm
Làm tương tự, kết quả: số đo 3 góc lần lượt là: 200; 400; 1200
Bài 64: Tìm a, b biết rằng và 
Hd: Từ => . áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 => a2 = 9 . 25 = 225 => a = 15 hoặc a = -15
	 b2 = 9 .16 = 144 => b = 12 hoặc b = -12
Vì nên a và b cùng dấu. Vậy a = 15 và b = 12 hoặc a = -15 và b = -12
Bài 65: Cho tỉ lệ thức , chứng minh rằng: 
a. 	b. 	
Hd: 
a. Từ => 
b.Từ => =>.
 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: = 
 hay .
Bµi 66: T×m 3 sè x, y, z biÕt r»ng:
x : y : z = 3 : 5 : -2 vµ 5x – y + 3z = 124
2x = 3y ; 5y = 7z vµ 3x – 7y + 5z = 30.
Bµi 67: Cho tỉ lệ thức . C/m: 
; ; .
Bài 68: Nếu thì:
 a) ; b) 
Bài 69: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) , và 
c) và d) và e) và 
Bài 70: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) và 
c) và d) và 
Bài 71:Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
Bài 72: a. Tìm ba số a, b, c biết : và b.c = 3
ĐK : 
Bài 73: Chia số 136 thành 3 phần tỉ lệ nghịch với ?
Bài 74: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số của nó nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 ; 2 ; 3.
b) Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức suy ra hệ thức a2 = b.c
Bài 75. Tìm các số x, y, z, biết rằng: = , = , 2x – 3y + z = 6
Bài 76: a. Cho tỉ lệ thức . 
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). 
b.Tìm x, y, z biết: và x + z = 2y.
Bài 77
a.) Cho tỉ lệ thức 
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) 
 b )Cho dãy tỷ số bằng nhau Tính giá trị biểu thức :
Bài 78 Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
Bài 79: Tìm x, y biết rằng: 
Bài 80: Cho và 
Tìm giá trị của: 
Bài 81: Tìm x, y, z biết: 
a) và b) = , = , 2x – 3y + z = 6
c) d) 
Bài 82 : Tìm các số x, y, z biết 
a) (3x - 5)2010 +(y2 - 1)2012 + (x - z) 2014 = 0
b) và x2 + y2 + z2 = 116
 c) , 2x + 3y - z = 50; d) và xyz = 810.
Bài 84. Tìm các số x, y, z biết : 
 a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 b) và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 85:
Tìm x, y, z biết: và 
Bài 86: 	Ba ph©n sè cã tæng b»ng , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã.
Bài 87:
a. Tìm x, y biết: = và x + y = 22
b. Cho và . Tính M = 
Bài 88: 	T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l­ît ®é dµi hai ®­êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8.