Toán học - Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ

1, KiÕn thøc 6, 7, 8 quan träng cÇn nhí.
a, TÝnh chÊt vÒ ph©n sè (ph©n thøc): 
 b, C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí:
 	+) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 	+) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
 	+) A2 - B2 = (A - B)(A + B)
 	+) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
 	+) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
 	+) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2)
+) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2)
2, C¸c kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai
	 1) NÕu a ≥ 0, x ≥ 0, = x Û x2 = a 
 2)§Ó cã nghÜa th× A ≥ 0
3) 
4) ( víi A 0 vµ B 0 )
5) ( víi A 0 vµ B > 0 )
6) (víi B 0 )
7) ( víi A 0 vµ B 0 )
 ( víi A < 0 vµ B 0 )
9) ( víi AB 0 vµ B 0 )
10) ( víi B > 0 )
11) ( Víi A 0 vµ A B2 )
12) ( víi A 0, B 0 vµ A B )
II. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: 
1. Rót gän c¸c biÓu thøc kh«ng chøa biÕn
1.1/Rót gän nhê sö dông h»ng ®¼ng thøc 
*)VÝ dô 1: Rót gän: 
 a) ; b) 
 c) d) 
Gi¶i:
a)
b)
c)
d) 
*)VÝ dô 2: Rót gän : 
a) A= 	b) B = ; 
c) C = + d) D = 
Gi¶i:
A = 
 b) B = = =
 = 
 c) C = + = 
 = 2- + 2 + = 4
d) D = 
 = 
*)VÝ dô 3: Rót gän A = 	 
Gi¶i: 
C¸ch1: A = 
Suy ra A = 
C¸ch 2: Ta cã: A2 = 
Do A > 0 nªn A = 
*)Bµi tËp:
Bµi 1: TÝnh: 
Bµi 2: TÝnh: 
Bµi 3: Rót gän A = 
Bài 4: Rót gän A = 
1.2/ Rót gän vËn dông c¸c quy t¾c khai ph­¬ng, nh©n chia c¸c c¨n bËc hai:
*)VÝ dô 1:TÝnh 
a) 	b) 	c) 
Gi¶i: 
a) = 
b) 
c) 
*)VÝ dô 2: Rót gän: 
Gi¶i: 
 *) Bµi tËp: 
Bµi 1: TÝnh: a) b) c) 
 e) 
Bµi 2: Rót gän: 
 a) 	 b) 
 c) 	 d) 
 e) 	 f) 
1.3/ Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ë mÉu vËn dông trôc c¨n thøc ë mÉu b»ng ph­¬ng ph¸p nh©n liªn hîp.
*)VÝ dô 1: Trôc c¨n ë mÉu c¸c biÓu thøc sau
 a) b) c) d) 
Gi¶i: 
 d) = 
 = 
*)VÝ dô 2: Trôc c¨n ë mÉu: a) 
Gi¶i: 
a)
b)	
*)VÝ dô 3: Rót gän:
 A =
*)Bµi t©p: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) b) c) 
d) 
1.4/ Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ë mÉu nhê ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
 *) VÝ dô 1: Rót gän c¸c biÓu thøc:
 a) b) 
 c) d) 
Gi¶i: 
a) 
b) 
c) 
d) 
*)Bµi t©p: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
 a) b) 
 c) d) 
2. Rót gän c¸c biÓu thøc chøa biÕn vµ c¸c bµi to¸n phu
2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN:
B­íc: T×m §KX§ của biểu thức (NÕu bµi to¸n ch­a cho)(Ph©n tÝch mẫu thµnh nh©n tử, t×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¨n cã nghÜa, c¸c nh©n tö ë mÉu kh¸c 0 vµ phÇn chia kh¸c 0)
B­íc ‚:Ph©n tÝch tử và mẫu thành nh©n tử (rồi rót gọn nếu ®­îc).
B­íc ƒ:Quy đồng, gồm c¸c bước:
+ Chọn mẫu chung : lµ tÝch cñc nh©n tử chung vµ riªng, mỗi nh©n tử lấy số mũ lớn nhất.
+ T×m nh©n tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nh©n tử phụ tương ứng.
+ Nh©n nh©n tử phụ với tử – Giữ nguyªn mẫu chung.
B­íc „: Bỏ ngoÆc: bằng c¸ch nh©n đa thức hoặc dïng h»ng đẳng thức.
B­íc …: Thu gọn: lµ cộng trừ c¸c hạng tử đồng dạng.
B­íc †: Ph©n tÝch tử thµnh nh©n tử (mẫu giữ nguyªn).
B­íc ‡:Rót gọn.
L­u ý: Bµi to¸n rót gän tæng hîp th­êng cã c¸c bµi to¸n phô: tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc khi cho gi¸ trÞ cña Èn; t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn ®Ó biÓu thøc lín h¬n (nhá h¬n) mét sè nµo ®ã; t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn; t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña biÓu thøc...Do vËy ta ph¶i ¸p dông c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i t­¬ng øng, thÝch hîp cho tõng lo¹i to¸n.
2.2/ C¸c vÝ dô vÒ bµi tËp rót gän tæng hîp:
*)VÝ dô 1: Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§, rót gän A
Bµi gi¶i: §KX§: 
Ta cã:
 VËy A = 
b) T×m a ®Ó A = 5 (D¹ng bµi to¸n phô thø nhÊt).
Ph­¬ng ph¸p: Thay A bëi biÓu thøc võa rót gän ®­îc vµo vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh:
 (TM§K)
 VËy víi a = th× A = 5.
c) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi a = 3 + 2 (D¹ng bµi to¸n phô thø hai).
Ph­¬ng ph¸p: Thay gi¸ trÞ cña biÕn vµo biÓu thøc võa rót gän ®­îc råi thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh (L­u ý: Cã thÓ tÝnh gi¸ trÞ råi thay vµo).
 Ta cã: 
 Suy ra . Do ®ã thay vµo biÓu thøc A ta ®­îc:
 A = 
d) T×m gi¸ trÞ a nguyªn ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn (D¹ng bµi to¸n phô thø ba).
Ph­¬ng ph¸p: Chia tö cho mÉu, t×m a ®Ó mÉu lµ ­íc cña phÇn d­ (mét sè), chó ý ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh.
 Ta cã: A = = 1 + 
§Ó A nguyªn th× nguyªn, suy ra lµ ­íc cña 2
 (TM§K).
VËy a = 0; 4; 9 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn.
e) T×m a ®Ó A < 1 (D¹ng bµi to¸n phô thø t­).
Ph­¬ng ph¸p: ChuyÓn vÕ vµ thu gän ®­a vÒ d¹ng 0) trong ®ã dùa vµo ®iÒu kiÖn ban ®Çu ta ®· biÕt ®­îc M hoÆc N d­¬ng hay ©m, tõ ®ã dÔ dµng t×m ®­îc ®iÒu kiÖn cña biÕn. 
 < 1 - 1 < 0 < 0 < 0 < 0 a <1. KÕt hîp ®iÒu kiÖn ban ®Çu, suy ra 0 a < 1.
*)VÝ dô 2: Cho biÓu thøc 
a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, Rót gän A
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Bµi gi¶i: a) §KX§ x > 0; x1. Rót gän 
b)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A (D¹ng bµi to¸n phô thø n¨m).
Ph­¬ng ph¸p: Dùa vµo ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ c¸c bÊt ®¼ng thøc.
 Ta cã A= (B§T C«si cho hai sè d­¬ng)
(TM§K)
VËy Amin = 2.
*)VÝ dô 3: Cho biÓu thøc 
 a) T×m §KX§, vµ rót gän A.
 b)T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó 
Bµi gi¶i: a) §KX§ x > 0; x .
=
b)
 (v× x > 1). VËy x > 9 th× .
*)VÝ dô 4: Cho biÓu thøc 
a) T×m §KX§, rót gän biÓu thøc A
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× 
Bµi gi¶i: a) §KX§ x > 0; x . 
b) (v× )
. KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh 0 < x <1 th× .
*)VÝ dô 5: 
Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m x ®Ó P.
Bµi gi¶i:
a) §KX§: x > 0; x : 
b) 
 (TM§K) 
VËy x = 2005 th× P.
2.3/ Bµi tËp t­¬ng tù:
Bµi 1: Cho biÓu thøc 
 a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, rót gän biÓu thøc A
 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A > 
 c) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 2. Cho biÓu thøc 
a) Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc P	
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M
Bµi 3. Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§, rót gän biÓu thøc
b) T×m x ®Ó D < -
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D
Bµi 4. Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§, rót gän P
b) T×m a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 5. Cho biÓu thøc 
a) T×m x ®Ó B cã nghÜa vµ rót gän B.
b) T×m x nguyªn ®Ó B nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 6. Cho biÓu thøc 
a) T×m §KX§, rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
c) T×m x ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 7. Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§ vµ rót gän P	b) T×m x ®Ó P > 0
Bµi 8. Cho biÓu thøc 
a) T×m §KX§, rót gäp P
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P > 0
Bµi 9. (§Ò thi tuyÔn sinh vµo líp 10 - N¨m häc 2011 - 2012)
Cho , với x ³ 0 và x ¹ 25.
	1) Rút gọn biểu thức A.
	2) Tìm giá trị của A khi x = 9. 
	3) Tìm x để A < .
Bµi 10. Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§, rót gän P.
b) T×m x ®Ó P <.
Bµi 11. Cho biÓu thøc 
a) T×m §KX§ vµ rót gän A
b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho A < 0
Bµi 12. Cho biÓu thøc: víi a > 0 vµ a1.
 a) Rót gän biÓu thøc P.
 b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× P > .
Bµi 13. Cho biểu thức : A = với ( x > 0 và x ≠ 1)
1) Rót gän biÓu thøc A.
2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi 
Bµi 14. Cho biÓu thøc P =
a) Rót gän P
b) TÝnh GT cña P khi x= 4
c) T×m GT cña x ®Ó P = 
 (§Ò thi Hà Nội năm 2008-2009)
Bµi 15. Cho biểu thức : A = 
 1) T×m §KX§ vµ rót gän biÓu thøc A
 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A < -1
Bµi 16. Cho biểu thức : A = (Với ) 
 a) Rót gän A
 b) T×m x ®Ó A = - 1
Bµi 17. Cho biểu thức : B = 
 a) T×m §KX§ vµ rót gän biÓu thøc B. 
 b) TÝnh gi¸ trÞ cña B víi x = 3 
 c) TÝnh gi¸ trÞ cña x ®Ó 
Bµi 18. Cho biểu thức : P = 
 a) T×m TX§ råi rót gän P
 b) T×m x ®Ó P = 2 
Bµi 19. Cho biểu thức : Q = (
 a) T×m TX§ råi rót gän Q. 
 b) T×m a ®Ó Q d­¬ng. 
 c) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi a = 9 - 4
Bµi 20. Cho biểu thức : M = 
 a) T×m TX§ råi rót gän M
 b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó M = - 4.