Đề thi học sinh giỏi Toán 9

Bài 2 c ) Giải phương trình : x + ( 1)
Giải : Đặt 
Phương trình ( 1) 
Áp dụng BĐT Co- Si cho các cặp số dương, ta được :
Dấu “=” xảy ra ó a2 = 9 ó x2 = 18 
Từ ( 1) => x > 0 nên x = 
Bài 3 b ) Chứng minh rằng với mọi só tự nhiên n > 1 thì số F= n6 – n4 + 2n3 + 2n2 không thể là số chính phương 
Giải : Phân tích F thành nhân tử :
F = n2 ( n+ 1)2 ( n2 – 2n + 2)
F là số chính phương ó n2 – 2n + 2 là số chính phương
Mà ( n- 1)2 1
Do đó : n2 – 2n + 2 không thể là số chính phương.
Vậy F không thể là SCP với mọi số tự nhiên n > 1
Bài 4 d ) 
Chứng minh rằng :
Giải :
Đặt diện tích của tam giác ABC là S
S = 
=>AB.AC = 
=> 
Dễ thấy : 
HB.HC.SinA = HB. EC = 2 SHBC
Chứng minh tương tự : 
Đpcm.
Bài 5 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn : 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T = 
Giải : 
Ta có ( vì y, z > 0 ) 
Chứng minh tương tự : ;
Suy ra : T 
 T 
Đặt thì a + b + c = 2015
x2 + y2 + z2 = 
x2 = ; y2 = ; z2 = 
T 
T 
T ( 1) 
Ta xét : 
Tương tự : 
Do đó : = 2015 ( 2)
Từ ( 1) và ( 2) suy ra : 
T 
Min T =