Toán - Chuyên đề: Phương trình

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH
Dạng trình bậc nhất, bậc hai một ẩn
Phương trình bậc nhất
ạng tổng quát trên trường K :
+ = 0 , ∈
Cách giải và biện luận nghiệm của phương trình :
Đặt điều kiện ẩn x (nếu có)
Nếu ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất = −
Nếu = 0, ℎì ∶
o = 0 ∶ ℎươ ìℎ ó ô
ố ℎệ!, ∀ ∈
o ≠ 0: ℎươ ìℎ ô ℎệ!
6 trang
phammen30
773
0 Download
Bạn đang xem tài liệu "Toán - Chuyên đề: Phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH 
I. Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn 
1. Phương trình bậc nhất 
Dạng tổng quát trên trường K : 
 +  = 0 , ∈  
 Cách giải và biện luận nghiệm của phương trình : 
 Đặt điều kiện ẩn x (nếu có) 
 Nếu  ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất  = −


 Nếu  = 0,ℎì∶ 
o  = 0 ∶ ℎươ ìℎ ó ô ố ℎệ,∀ ∈  
o  ≠ 0:ℎươ ìℎ ô ℎệ 
 Ví dụ: giải và biện luận phương trình sau : 
 (2 − 1) + 2 + − 1 = 0 
Lời giải: 
 2 − 1 ≠ 0  ≠


 , phương trình có nghiệm duy nhất: 
 = − ( + 1) 
 2 − 1 = 0  =


o 2 +  − 1 = 0  =


 ℎặ  = − 1, phương trình có 
vô số nghiệm 
o 2 +  − 1 ≠ 0  ≠


ℎặ  ≠ − 1,phương trình vô 
nghiệm 
2. Phương trình bậc hai 
2.1.Phương trình bậc hai có dạng: 
 +  +  = 0, ≠ 0 
 Cách giải và biện luận nghiệm của phương trình : 
Tính biệt thức ∆=  − 4 
 ∆< 0, phương trình vô nghiệm 
  ∆= 0, phương trình có một nghiệm kép  = −


 ∆> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 =
±√∆

2.2.Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai 
2.2.1. Định lí viét : 
 Nếu phương trình : 
 +  +  = 0, ≠ 0 (1) có hai nghiệm , 
Ta có :  +  = −


 (=S) 
  =


 (=P) 
 Ngược lại: nếu tồn tại hai số , và S =  +  , P =  
Thì chúng là nghiệm của phương trình 
 −  +  = 0 
2.2.2. Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac < 0 
2.2.3. Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương  
∆> 0
 > 0
 > 0
 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm  
∆> 0
 > 0
 < 0
 
2.2.4. Hệ quả 
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x = 1 và 
 =


Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x = -1 và 
 = −


2.3.Ví dụ 
Cho phương trình  − 2(1 + 2) + 3+ 4 = 0 
a. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 
b. Tính 
 + 
 theo m 
c. Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng ba nghiệm kia. 
d. Viết phương trình bậc hai có nghiệm là 
 và 
 , trong đó 
, là nghiệm của phương trình 
Giải: 
a. Điều kiện để phương trình có nghiệm là : 
∆= 4 − 2 ≥ 0 
 : ∈ − ∞ ,−
1
√2
∪ 
1
√2
,+∞  
b. Theo định lí Viét, ta có: 

 +  = 2(1 + 2m )
 = 3 + 4
 
 Theo bài ra: 
 + 
 = ( + )[( + )
 − 3] 
Suy ra: 
 + 
 = 2(1 + 2)(16 + 4 − 5) 
c. Ta có :
 +  = 2(1 + 2m )
 = 3+ 4
 = 3
 
Giải hệ trên ta được nghiệm  =
±√

d. Ta có  = 
 + 
 = 2(8 + 4 − 1) 
  = 
 
 = (3+ 4) 
 Vậy phương trình cần tìm là: 
  − 2(8 + 4 − 1) + (3+ 4) = 0 
II. Phương trình bậc ba, bậc bốn 
1. Phương trình bậc ba 
1.1.Dạng tổng quát của phương trình bậc ba 
  +  +  +  = 0 ( ≠ 0) (1) 
ớ ,,, ∈  
1.2.Dạng thu gọn của phương trình bậc ba 
Từ phương trình tổng quát: ′ + ′ + ′ + ′= 0 (′≠ 0) 
(1) 
Ta chia cả hai vế cho hệ số cao nhất để đưa phương trình (1) về 
dạng :  +  +  +  = 0 (2) 
Để giải phương trình dạng (2) , ta đặt : 
 =  +


 hay  =  −


Thay vào (2) ta được: 
  −

3
 

+    −

3
 

+   −

3
+  = 0 
Hay  + −


+  +


−


+  = 0 
Đặt  = −


+  , =


−


+  
Ta được phương trình :  +  +  = 0 p,q ∈  (3) 
Dạng (3) là dạng thu gọn của phương trình bậc ba 
1.3.Công thức Cacđannô 
Công thức nghiệm của phương trình bậc ba thu gọn : 
 =  +  =  −


+ 


+



+  −


− 


+



 (4) 
 Nếu kí hiệu , là một cặp giá trị đã biết của hai căn thức bậc 
batrong công thức (4) thì nghiệm của phương trình (3) là : 
 =  +  
 =  + 
 (5) 
 =  + 
 
ớ{1,,} = √1

 là các căn bậc ba của đơn vị, cụ thể 
 = −
1
2
+
√3
2
 , = −
1
2
+
√3
2
 
1.4.Biện luận về số nghiệm thực của phương trình bậc ba 
Ta có ∆= − [4 + 27] 
a. Nếu ∆> 0: phương trình (3) có 3 nghiệm thực phân biệt , tính 
theo công thức (5), trong đó ,là các giá trị nào đó của căn 
bậc ba trong công thức (4) 
b. Nếu ∆= 0: phương trình (3) có ba nghiệm thực , trong đó có 
một nghiệm kép  = 2,  =  = −  
c. Nếu ∆< 0: phương trình (3) có một nghiệm thực: 
 =  +  
à ℎ ℎệ ℎứ ê ℎợ íℎ ℎ ô ℎứ (4) 
Ví dụ: giải phương trình :  + 3 − 3 − 14 = 0 
Đặt  =  + 1 tức y = x-1 ,đưa phương trình về dạng thu gọn 
  − 6 − 9 = 0(1) 
Khi đó : 


+


=


> 0, do đó ∆< 0. 
Theo công thức cacđanô thì  =  +  = 3 
Các nghiệm của phương trình (1) là : 
 = 3 
 = −
3
2
+ 
√3
2
 = −
3
2
− 
√3
2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
 = 2 
 = −
5
2
+ 
√3
2
  = −
5
2
− 
√3
2
2. Phương trình bậc bốn 
2.1.Dạng tổng quát : ′ + ′ + ′ + ′ + ′= 0 (′≠ 0)(1) 
Vì ′≠ 0 nên phương trình được đưa về dạng : 
 +  +  +  +  = 0 (2) 
Phương pháp giải: 
Đặt  =  −


Khi đó phương trình đưa về dạng thu gọn : 
 +  +  +  = 0, với p,q,r ∈  (3) 
Tiếp theo đưa phương trình (3) về bậc 3, bậc 2 bằng cách 
nhẩm nghiệm 
2.2.Phương trình bậc bốn trùng phương 
Dạng phương trình :  +  +  = 0,  ≠ 0 
Phương pháp giải : 
Đặt  =  khi đó phương trình thành :  +  +  = 0 
Đưa về giải phương trình bậc 2 
III. Phương trình bậc cao,phương trình phân thức 
1. Phương trình tam thức 
Phương trình tổng quát :  +  +  = 0,  ≠ 0 
Đặt  =  đưa về dạng:  +  +  = 0 
2. Phương trình phân thức 
Phương trình phân thức là phương trình có chứa các số hạng là phân 
thức hữu tỉ , đều có thể đưa được về dạng bậc 2, bậc 3, bậc cao có kèm 
theo điều kiện. phương pháp giải như trên. 
Ví dụ:giải phương trình sau : 


=


Giải: đk :  ≠ 2, ≠ − 3 
Phương trình tương đương :  − 6 + 3 = 0 
Nghiệm của phương trình là :  = 3 ± √6 
3. Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 
3.1.Phương pháp phân tích thành nhân tử 
Ví dụ: giải phương trình sau:  − 3 +  − 3 = 0 
Phương trình tương đương : ( + 1)( − 3)( −  + 1)= 0 
Vậy nghiệm của phương trình là :  = − 1 à  = 3 
3.2.Phương pháp hệ số bất định 
3.3.Phương pháp đặt ẩn phụ 
3.4.Phương pháp đồ thị 
IV. Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối 
 1. |()| =  ( ≥ 0)
()= 
()= − 
 ( ≥ 0) 
2. |()| = () 
() = ()
()≥ 0
 ℎặ 
()= − ()
()≤ 0
 
3. (||)=  
()= 
 ≥ 0
 ℎặ 
(− )= 
 ≤ 0
 
4. (||)= () 
() = ()
 ≥ 0
 ℎặ 
(− )= ()
 ≤ 0
 
5. |()| = |()| ()= () hoặc ()= − () 
6. |()| + |()| + |ℎ()| = 0, lập bảng xét dấu
Tài liệu đính kèm:
CHUYEN_DE_PHUONG_TRINH.pdf