Bài tập hình học không gian lớp 11 có lời giải

của SC với mặt phẳng (DEF)
	· Chọn mp phụ (SBC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SBC) và (DEF)
	Ta có: E là điểm chung của (SBC) và (DEF)
	 N Î BC mà BC Ì (SBC) Þ N Î (SBC) 
	 N Î FM mà FM Ì (DEF) Þ N Î (DEF)
	Þ N là điểm chung của (SBC) và (DEF)
	Ta có (SBC) Ç (DEF) = EN
	·	Trong (SBC), gọi K = EN Ç SC	
	KÎ SC 
	K Î EN mà EN Ì (DEF) Þ K Î (DEF)	hình 2
	Vậy: K = SC Ç (DEF)
	7.	Cho hình chóp S.ABCD .Gọi O là giao điểm của AC và BD . M, N, P lần lượt là các điểm trên 
	SA, SB ,SD.
	a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng (MNP)	
	b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP)
	Giải 
	a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng (MNP)
	· Chọn mp phụ (SBD) É SO	
	· Tìm giao tuyến của (SBD) và (MNP)	
	Ta có 	N Î MN mà MN Ì (MNP) Þ N Î (MNP) 	
	N Î SB 	 mà SB Ì (SBD) Þ N Î (SBD)	 
	Þ N là điểm chung của (SBD) và (MNP)	
	P Î MP mà MN Ì (MNP) Þ P Î (MNP) 	 
	P Î SD 	 mà SD Ì (SBD) Þ P Î (SBD)	 
	Þ P là điểm chung của (SBD) và (MNP)	Þ (MNP) Ç (SBD) = NP	
	·	Trong (SBD), gọi I = SO Ç NP 	
	I Î SO
	I Î NP mà NP Ì (MNP) Þ I Î (MNP) 
	Vậy: I = SO Ç (MNP)
	b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP)
	· Chọn mp phụ (SAC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SAC) và (MNP)
	Ta có 	M Î MN mà MN Ì (MNP) Þ M Î (MNP) 
	M Î SA mà SA Ì (SAC) Þ M Î (SAC)
	Þ M là điểm chung của (SAC) và (MNP)
	I Î MI mà MI Ì (MNP) Þ I Î (MNP) 
	I Î SO 	 mà SO Ì (SAC) Þ I Î (SAC)
	Þ I là điểm chung của (SAC) và (MNP)
	Þ (SAC) Ç (SBD) = MI	
	·	Trong (SAC), gọi Q = SC Ç MI	
	QÎ SC 
	QÎ MI mà MI Ì (MNP) Þ Q Î (MNP)
	Vậy: Q = SC Ç (MNP)
	8. 	Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là 
trung điểm AC và BC . K là điểm trên BD và 
	không trùng với trung điểm BD .	
	a. Tìm giao điểm của CD và (MNK)	
	b.	Tìm giao điểm của AD và (MNK)
	Giải 
	a. Tìm giao điểm của CD và (MNK) :
	· Chọn mp phụ (BCD) É SC	
	· Tìm giao tuyến của (BCD) và (MNK)	
	Ta có 	N Î (MNK) 	
	N Î BC 	 mà BC Ì (BCD) Þ N Î (BCD)	 	
	Þ N là điểm chung của (BCD) và (MNK)
	K Î (MNK) 	
	K Î BD 	 mà BD Ì (BCD) Þ K Î (BCD)	
	Þ K là điểm chung của (BCD) và (MNK)	
	Þ (BCD) Ç (MNK) = NK
	·	Trong (BCD), gọi I = CD Ç NK	
	IÎ CD 
	IÎ NK mà NK Ì (MNK) Þ I Î (MNK)
	Vậy: I = CD Ç (MNK)
	b.	Tìm giao điểm của AD và (MNK)
	· Chọn mp phụ (ACD) É AD
	· Tìm giao tuyến của (ACD) và (MNK)
	Ta có: 	M Î (MNK) 
	M Î AC mà AC Ì (ACD) Þ M Î (ACD)
	Þ M là điểm chung của (ACD) và (MNK)
	IÎ NK mà NK Ì (MNK) Þ I Î (MNK)
	I Î CD 	 mà CD Ì (ACD) Þ I Î (ACD)
	Þ I là điểm chung của (ACD) và (MNK)
	Þ (ACD) Ç (MNK) = MI
	·	Trong (BCD), gọi J = AD Ç MI	
	JÎ AD 
	JÎ MI mà MI Ì (MNK) Þ J Î (MNK)
	Vậy: J = AD Ç (MNK)
	9.	Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD . O là điểm bên trong tamgiác BCD.
Tìm giao điểm của :
	a. MN và (ABO)	
	b. AO và (BMN)
	Giải 
	a. Tìm giao điểm của MN và (ABO):	
	· Chọn mp phụ (ACD) É MN
	· Tìm giao tuyến của (ACD) và (ABO)	
	Ta có :	A là điểm chung của (ACD) và (ABO)	
	Trong (BCD), gọi 	P = BO Ç DC	
	PÎ BO mà BO Ì (ABO) Þ P Î (ABO)	 
	PÎ CD 	 mà CD Ì (ACD) Þ P Î (ACD)	
	Þ P là điểm chung của (ACD) và (ABO)	
	Þ (ACD) Ç (ABO) = AP	 
	·	Trong (ACD), gọi Q = AP Ç MN	
	QÎ MN 
	QÎ AP mà AP Ì (ABO) Þ Q Î (ABO)
	Vậy: Q = MN Ç (ABO)
	b. Tìm giao điểm của AO và (BMN) :
	· Chọn mp (ABP) É AO
	· Tìm giao tuyến của (ABP) và (BMN)
	Ta có :	B là điểm chung của (ABP) và (BMN)
	Q Î MN	 mà MN Ì (BMN) Þ Q Î (BMN)
	Q Î AP 	 mà AP Ì (ABP) Þ Q Î (ABP)
	Þ Q là điểm chung của (ABP) và (BMN)
	Þ (ABP) Ç (BMN) = BQ
	·	Trong (ABP), gọi I = BQ Ç AO	
	IÎ AO 
	IÎ BQ mà BQ Ì (BMN) Þ I Î (BMN)
	Vậy: I = AO Ç (BMN)
	10.	Trong mp (a) cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm trên SA, AB, 
	BC (K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của :
	a.	IK và (SBD)
	b. 	SD và (IJK)
	c.	SC và (IJK)
	Giải 
	a.	Tìm giao điểm của IK và (SBD)
	· Chọn mp phụ (SAK) É IK
	· Tìm giao tuyến của (SAK) và (SBD)
	Ta có : S là điểm chung của (SAK) và (SBD)
	Trong (ABCD), gọi P = AK Ç BD
	P Î AK mà AK Ì (SAK) Þ P Î (SAK)
	P Î BD 	 mà BD Ì (SBD) Þ P Î (SBD)
	Þ P là điểm chung của (SAK) và (SBD)
	Þ (SAK) Ç (SBD) = SP
	·	Trong (SAK), gọi Q = IK Ç SP	
	Q Î IK 
	Q Î SP mà SP Ì (SBD) Þ Q Î (SBD)
	Vậy: Q = IK Ç (SBD)
	b. Tìm giao điểm của	SD và (IJK) :
	· Chọn mp phụ (SBD) É SD
	· Tìm giao tuyến của (SBD) và (IJK)
	Ta có : Q là điểm chung của (IJK) và (SBD)
	Trong (ABCD), gọi M = JK Ç BD
	M Î JK mà JK Ì (IJK) Þ M Î (IJK)
	M Î BD 	 mà BD Ì (SBD) Þ M Î (SBD)
	Þ M là điểm chung của (IJK) và (SBD)
	Þ (IJK) Ç (SBD) = QM
	·	Trong (SBD), gọi N = QM Ç SD	
	N Î SD 
	N Î QM mà QM Ì (IJK) Þ N Î (IJK)
	Vậy: N = SD Ç (IJK)
	c. Tìm giao điểm của SC và (IJK) :
	· Chọn mp phụ (SAC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SAC) và (IJK)
	Ta có : I là điểm chung của (IJK) và (SAC)
	Trong (ABCD), gọi E = AC Ç JK
	E Î JK mà JK Ì (IJK) Þ E Î (IJK)
	E Î AC mà AC Ì (SAC) Þ E Î (SAC)
	Þ E là điểm chung của (IJK) và (SAC)
	Þ (IJK) Ç (SAC) = IE
	·	Trong (SAC), gọi F = IE Ç SC	
	F Î SC 
	F Î IE mà IE Ì (IJK) Þ F Î (IJK)
	Vậy : F = SC Ç (IJK)
	11.Cho tứ diện ABCD . Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD.
	Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.
	a. Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)
	b. Tìm giao điểm của BC với (OMN)
	c.	Tìm giao điểm của BD với (OMN)
	Giải
	a. Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD):
	Ta có : O là điểm chung của (OMN) và (BCD)
	Trong (ACD) , MN không song song CD
	Gọi I = MN Ç CD
	Þ I là điểm chung của (OMN) và (BCD)
	Vậy : OI = (OMN) Ç (BCD)	
	b. Tìm giao điểm của BC với (OMN):
	Trong (BCD), gọi 	P = BC Ç OI
	Vậy : P = BC Ç (OMN)
	c.	Tìm giao điểm của BD với (OMN):
	Trong (BCD), gọi 	Q = BD Ç OI
	Vậy : Q = BD Ç (OMN)
	12.Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC)
	b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) 
	Giải
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) : 
	· Chọn mp phụ (SMN) É MN
	· Tìm giao tuyến của (SAC) và (SMN)
	Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SMN)
	Trong (SBC), gọi 	M’ = SM Ç BC
	Trong (SCD), gọi 	N’ = SN Ç CD
	Trong (ABCD), gọi 	I = M’N’ Ç AC
	I Î M’N’ mà M’N’ Ì (SMN) Þ I Î (SMN)
	I Î AC mà AC Ì (SAC) Þ I Î (SAC)
	Þ I là điểm chung của (SMN) và (SAC)
	Þ (SMN) Ç (SAC) = SI
	·	Trong (SMN), gọi O = MN Ç SI	
	O Î MN 
	O Î SI mà SI Ì (SAC) Þ O Î (SAC)
	Vậy : O = MN Ç (SAC)
	b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
	· Chọn mp phụ (SAC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SAC) và (AMN)
	Ta có : (SAC) Ç (AMN) = AO
	·	Trong (SAC), gọi E = AO Ç SC	
	E Î SC 
	E Î AO mà AO Ì (AMN) Þ E Î (AMN)
	Vậy : E = SC Ç (AMN)
Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng 
	Phương pháp : 	
·	Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt 	
·	Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mp
Bài tập :
	1.	Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của 
	đoạn AB và SC . 
	a. Xác định giao điểm I = AN Ç (SBD) 
	b. Xác định giao điểm J = MN Ç (SBD) 
	c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng 
	Giải 
	a. Xác định giao điểm I = AN Ç (SBD) 
	· Chọn mp phụ (SAC) É AN
	· Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)
	Þ (SAC) Ç (SBD) = SO
	·	Trong (SAC), gọi I = AN Ç SO	
	I Î AN 
	I Î SO mà SO Ì (SBD) Þ I Î (SBD)
	Vậy: I = AN Ç (SBD)
	b. Xác định giao điểm J = MN Ç (SBD) 
	· Chọn mp phụ (SMC) É MN
	· Tìm giao tuyến của (SMC) và (SBD)
	S là điểm chung của (SMC) và (SBD)
	Trong (ABCD) , gọi E = MC Ç BD
	Þ (SAC) Ç (SBD) = SE
	·	Trong (SMC), gọi J = MN Ç SE	
	JÎ MN 
	JÎ SE mà SE Ì (SBD) Þ J Î (SBD)
	Vậy J = MN Ç (SBD)
	c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
	Ta có : B là điểm chung của (ANB) và (SBD)	
	· I Î SO mà SO Ì (SBD) Þ I Î (SBD)
	· I Î AN mà AN Ì (ANB) Þ I Î (ANB)
	Þ I là điểm chung của (ANB) và (SBD)
	· J Î SE mà SE Ì (SBD) Þ JÎ (SBD)
	· J Î MN mà MN Ì (ANB) Þ J Î (ANB)
	Þ J là điểm chung của (ANB) và (SBD)
	Vậy : B , I , J thẳng hàng 
	2.	Cho tứ giác ABCD và S Ï (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và 
	OJ cắt SC tại M .
	a. Tìm giao điểm K = IJ Ç (SAC) 
	b. Xác định giao điểm L = DJ Ç (SAC) 
	c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng 
	Giải
	a. Tìm giao điểm K = IJ Ç (SAC) 
	· Chọn mp phụ (SIB) É IJ 
	· Tìm giao tuyến của (SIB) và (SAC)
	S là điểm chung của (SIB) và (SAC)
	Trong (ABCD) , gọi E = AC Ç BI
	Þ (SIB) Ç (SAC) = SE 
	·	Trong (SIB), gọi K = IJ Ç SE	
	KÎ IJ 
	KÎ SE mà SE Ì (SAC) Þ K Î (SAC)
	Vậy: K = IJ Ç (SAC)
	b. Xác định giao điểm L = DJ Ç (SAC)
	· Chọn mp phụ (SBD) É DJ 
	· Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)
	S là điểm chung của (SBD) và (SAC)
	Trong (ABCD) , gọi F = AC Ç BD
	Þ (SBD) Ç (SAC) = SF 
	·	Trong (SBD), gọi 	L = DJ Ç SF	
	LÎ DJ 
	LÎ SF mà SF Ì (SAC) Þ L Î (SAC)
	Vậy : L = DJ Ç (SAC)
	c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
	Ta có	:A là điểm chung của (SAC) và (AJO)
	· K Î IJ mà IJ Ì (AJO) Þ KÎ (AJO)
	· K Î SE mà SE Ì (SAC) Þ K Î (SAC)
	Þ K là điểm chung của (SAC) và (AJO)
	· L Î DJ mà DJ Ì (AJO) Þ L Î (AJO)
	· L Î SF mà SF Ì (SAC) Þ L Î (SAC)
	Þ L là điểm chung của (SAC) và (AJO)	
	· M Î JO mà JO Ì (AJO) Þ M Î (AJO)
	· M Î SC mà SC Ì (SAC) Þ M Î (SAC)
	Þ M là điểm chung của (SAC) và (AJO)
	Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng
	3.	Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
	không song song với AB, LN không song song với SC.
	a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
	b. Tìm giao điểm I = BC Ç (LMN) và J = SC Ç (LMN)
	c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
	Giải
	a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
	Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC)
	Trong (SAB) , LM không song song với AB
	Gọi K = AB Ç LM
	K Î LM mà LM Ì (LMN) Þ K Î (LMN)
	K Î AB mà AB Ì (ABC) Þ K Î (ABC)	b. Tìm giao điểm I = BC Ç (LMN)
	· Chọn mp phụ (ABC) É BC 
	· Tìm giao tuyến của (ABC) và (LMN)
	Þ (ABC) Ç (LMN) = NK 
	·	Trong (ABC), gọi I = NK Ç BC	
	IÎ BC 
	IÎ NK mà NK Ì (LMN) Þ I Î (LMN)
	Vậy : I = BC Ç (LMN)
	Tìm giao điểm J = SC Ç (LMN)
	·	Trong (SAC), LN không song song với SC
	gọi J = LN Ç SC	
	JÎ SC 
	JÎ LN mà LN Ì (LMN) Þ J Î (LMN)
	Vậy : J = SC Ç (LMN)
	c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
	Ta có	: M , I , J là điểm chung của (LMN) và (SBC)
	Vậy : M , I , J thẳng hàng
	4.	Cho tứ giác ABCD và S Ï (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.
	a. Tìm giao điểm I = BN Ç (SAC) 
	b. Tìm giao điểm J = MN Ç (SAC)
	c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng 
	Giải 
	a. Tìm giao điểm I = BN Ç (SAC)
	· Chọn mp phụ (SBD) É BN 
	· Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)
	Trong (ABCD), gọi O = AC Ç BD
	Þ (SBD) Ç (SAC) = SO 
	·	Trong (SBD), gọi I = BN Ç SO	
	IÎ BN 
	IÎ SO mà SO Ì (SAC) Þ I Î (SAC)
	Vậy : I = BN Ç (SAC)
	b. Tìm giao điểm J = MN Ç (SAC) : 
	· Chọn mp phụ (SMD) É MN 
	· Tìm giao tuyến của (SMD) và (SAC)
	Trong (ABCD), gọi K = AC Ç DM
	Þ (SMD) Ç (SAC) = SK 
	·	Trong (SMD), gọi J = MN Ç SK	
	J Î MN 
	J Î SK mà SK Ì (SAC) Þ J Î (SAC)
	Vậy : J = MN Ç (SAC)
	c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng :
	Ta có	: C , I , J là điểm chung của (BCN) và (SAC)
	Vậy : C , I , J thẳng hàng
Dạng 4 : Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (a) : 
	Chú ý : Mặt phẳng (a) có thể chỉ cắt một số mặt của hình chóp
	Cách 1 : 	Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến 
Bài tập : 
	1.	Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .
	Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO .
	Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)
	Giải 
	Trong (ABCD), gọi 	J = BD Ç MN
	K = MN Ç AB
	H = MN Ç BC
	Trong (SBD), gọi 	Q = IJ Ç SB
	Trong (SAB), gọi 	R = KQ Ç SA
	Trong (SBC), gọi 	P = QH Ç SC
	Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR
	2.	Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt
	là trung điểm lấy trên AB , AD và SC . 
	Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
	Giải
	Trong (ABCD) , gọi 	E = MN Ç DC
	F = MN Ç BC
	Trong (SCD) , gọi 	Q = EP Ç SD
	Trong (SBC) , gọi 	R = FP Ç SB
	Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR
	3.	Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên đường thẳng CD 
	lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Tìm thiết diện của tứ diện với mp (HKM). 
	Xét 2 .trường hợp :
	a. M ở giữa C và D
	b. M ở ngoài đoạn CD	
	Giải 
	a. M ở giữa C và D : 
	Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD)
	Trong (BCD), gọi L = KM Ç BD
	Trong (ABD), gọi N = AD Ç HL
	Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN
	b. M ở ngoài đoạn CD: 
	Trong (BCD), gọi L = KM Ç BD
	Vậy : thiết diện là tam giác HKL
	4.	Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên
	 AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
	Giải
	Trong (SCD), gọi Q = EN Ç SC
	Trong (SAD), gọi P = EM Ç SA
	Trong (ABCD), gọi F = MN Ç BC
	Trong (SBC), gọi R = FQ Ç SB
	Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP
	Cách 2 :Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ :
Bài tập : 
	5.	Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và BC không 
	song song .
	a. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)	 
	b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
	Giải
	a. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC) :
	Trong (ABCD) , gọi 	I = AD Ç BC
	Vậy : SI = (SAD) Ç (SBC)
	b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
	Trong (SBC) , gọi 	J = MN Ç SI
	Trong (SAD) , gọi 	K = SD Ç AJ 
	Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK
	6.	Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M 
	trong tam giác SCD lấy một điểm N.
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
	b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) 
	c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
	Giải 
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC):
	· Chọn mp phụ (SMN) É MN
	· Tìm giao tuyến của (SAC) và (SMN)
	Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SMN)
	Trong (SBC), gọi M’ = SM Ç BC
	Trong (SCD), gọi N’ = SN Ç CD
	Trong (ABCD), gọi I = M’N’ Ç AC
	I Î M’N’ mà M’N’ Ì (SMN) Þ I Î (SMN)
	I Î AC mà AC Ì (SAC) Þ I Î (SAC)
	Þ I là điểm chung của (SMN) và (SAC)
	Þ (SMN) Ç (SAC) = SI
	·	Trong (SMN), gọi O = MN Ç SI	
	O Î MN 
	O Î SI mà SI Ì (SAC) Þ O Î (SAC)
	Vậy : O = MN Ç (SAC)
	b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
	· Chọn mp phụ (SAC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SAC) và (AMN)
	Ta có : (SAC) Ç (AMN) = AO
	·	Trong (SAC), gọi E = AO Ç SC	
	E Î SC 
	E Î AO mà AO Ì (AMN) Þ E Î (AMN)
	Vậy : E = SC Ç (AMN)
	c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD:
	Trong (SBC), gọi P = EM Ç SB
	Trong (SCD), gọi Q = EN Ç SD
	Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ
	7.	Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm 
	lấy trên các cạnh SA, SB, SC . Tìm thiết diện của
	 hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’)
	Giải	
	Trong (ABCD), gọi O = AC Ç BD
	Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ Ç SO
	Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ Ç SD
	Có hai trường hợp : 
	· Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’
	· Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì 
	Gọi	E = CD Ç C’D’
	F = AD Ç A’D’
	Þ thiết diện là tứ giác A’B’C’EF	
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Dạng 5 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song : 
	Sử dụng một trong các cách sau :
	·	Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung 
	· 	Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba 
	·	Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình 
	bình hành , định lý talet )
	·	Sử dụng các định lý 
	·	Chứng minh bằng phản chứng 
Bài tập :
	1.	Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung
	điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
	a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành 
	b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD	
	Giải
	a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
	Trong tam giác SAB, ta có : A’B’AB	
	Trong tam giác SCD, ta có : C’D’CD	Mặt khác AB CD 
	Þ 	A’B’ C’D’
	Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
	b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
	Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
	Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’
	Gọi N = Mx Ç AD
	Vậy : 	thiết diện là hình thang A’B’MN
	2.	Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD). 
	Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB 
	a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
	b. Tìm P = SC Ç (ADN)
	c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .
	 Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
	Giải
	a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
	Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB 
	 Mà AB ∕ ∕ CD (ABCD là hình thang)
	Vậy : MN ∕ ∕ CD
	b. Tìm P = SC Ç (ADN):
	· Chọn mp phụ (SBC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SBC) và (ADN)
	Ta có : N là điểm chung của (SBC) và (ADN)
	Trong (ABCD), gọi E = AD Ç AC
	Þ (SBC) Ç (ADN) = NE	
	·	Trong (SBC), gọi P = SC Ç NE	
	Vậy : P = SC Ç (ADN)
	c. Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
	Ta có : 	 (theo định lí 2)
	Xét D ASI , ta có : SI // MN (vì cùng song song AB)
	M là trung điểm AB
	Þ SI 2MN
	Mà AB 2.MN
	Do đó : SI AB
	Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành 
	3.	Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD.
	Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD
	Giải
	Gọi E là trung điểm AB 
	Ta có : Þ IJ và CD đồng phẳng 
	Do đó : (tính chất trọng tâm)
	Vậy : IJ // CD 
	4. 	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là 
	trung điểm 	AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN = SB . 
	a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
	b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD
	Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành
	Giải 
	a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK):
	Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của (SAB) và (IJK)	Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB 
	b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD :
	Gọi L = Kx Ç SA
	Thiết diện là hình thang IJKL
	Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
	Þ 	IJ = (AB + CD)
	Xét DSAB có : Þ LK = 
	IJKL là hình bình hành 	Û IJ = KL
	Û (AB + CD) = 
	Û AB = 3.CD
	Vậy : 	thiết diện IJKL là hình bình hành Û AB = 3.CD
	5.	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm 
	nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD	
	a. Chứng minh : PQ // SA.
	b.	Gọi K = 	MN Ç PQ 
	Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
	Giải
	a. Chứng minh : PQ // SA.
	Xét tam giác SCD :
	Ta có : 	NP // CD	
	Þ	(1)
	Tương tự : 	MN // SB
	Þ	(2)	
	Tương tự : 	MQ // CD
	Þ	(3)
	Từ (1) , (2) và (3), suy ra 	
	Vậy : 	PQ // SA
	b.	Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC
	Ta có :	 	
	Þ	giao tuyến là đường thẳng St qua S cố định song song BC và AD
	Mà 	K Î (SBC) Ç (SAD)
	Þ	K Î St (cố định)
	Vậy : K Î St cố định khi M di động trên cạnh BC
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG
Dạng 6 : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) : 
	Phương pháp : Chứng minh 
Bài tập :
	1.	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .
	Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD .
	a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
	b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC 
đều song song với (MNP)
	c. Gọi G,G lần lượt là trọng tâm của DABC và DSBC
	Chứng minh // (SAB)	Giải 
	a. Chứng minh MN // (SBC):
	Ta có : 
	Tương tự : 
	b. Chứng minh SB // (MNP):
	Ta có : 
	Chứng minh SC // (MNP):
	Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD)
	Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD)
	MN // AD 
	Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN cắt SD tại Q	Þ PQ = (MNP) Ç (SAD) 
	Xét D SAD , Ta có : 	PQ // AD
	P là trung điểm SA
	Þ Q là trung điểm SD
	Xét D SCD , Ta có : 	QN // SC
	Ta có : 
	c. 	Chứng minh // (SAB)	: 
	Xét D SAI , ta có : 
	Þ	 // SA
	Do đó : 
	2.	Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng (a) qua MN // SA 
	a. 	Tìm các giao tuyến của (a) với (SAB) và (SAC).
	b.	Xác định thiết diện của hình chóp với (a) 
	c. 	Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang
	Giải 
	a. 	Tìm các giao tuyến của (a) với (SAB):
	Ta có : 
	Þ	(a) Ç (SAB) = MP với MP // SA
	Tìm các giao tuyến của (a) với (SAC):
	Gọi R = MN Ç AC
	Ta có : 
	Þ	(a) Ç (SAC) = RQ với RQ // SA	b.	Xác định thiết diện của hình chóp với (a):
	Thiết diện là tứ giác MPQN
	c. 	Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang:
	Ta có : MPQN là hình thang Þ 
	Xét (1) ,ta có 
	Do đó : (vô lí)
	Xét (2) ,ta có 
	Ngược lại, nếu 	MN // BC thì 
	Vậy để thiết diện là hình thang thì MN // BC.
	3.	Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N bất kỳ . 
	Gọi () là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
	a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng () với tứ diện ABCD.
	b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành .
	Giải
	a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng () với tứ diện ABCD.
	Ta có :	
	Tương tự :	
	Từ (1) và (2), ta được : MP // NQ 
	Vậy: thiết diện là hình thang MPNQ 
	b. Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành .
	Ta có : 	MP // NQ
	MP = 	
	MPNQ là hình bình hành Û 
	Do đó : N là trung điểm BC . 
	Vậy : N là trung điểm BC thì MPNQ là hình bình hành 
	4.	Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang . 
	Gọi M là một điểm của CD ; (a) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC .
	a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng () với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì ? 
	b.	Tìm giao tuyến của (a) với mặt phẳng (SAD).
	Giải
	a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng () với hình chóp S.ABCD:
	Ta có : 	
	Tương tự :	
	Từ (1) và (2) , ta được : MN // PQ
	Vậy : thiết diện là hình thang MNPQ.
	b.	Tìm giao tuyến của (a) với mặt phẳng (SAD).
	Trong (ABCD) , gọi 	I = AD Ç BC
	Þ	I là điểm chung của (a) và (SAD)
	Ta có :	
	Vậy : giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SA.
	5.	 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và
	(a) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.
	a.	Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng (a) lần lượt với các cạnh SB, SD.
	b. 	Gọi I là giao điể