Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9

o ®iÓm cña DF vμ BC 
KBC cã BF võa lμ ph©n gi¸c võa lμ ®−êng cao nªn KBC c©n t¹i B  BK = BC vμ FC 
= FK 
I P
FK
M
D C
BA
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 35
MÆt kh¸c D lμ trung ®iÓm AC nªn DF lμ ®−êng trung 
b×nh cña AKC  DF // AK hay DM // AB 
Suy ra M lμ trung ®iÓm cña BC 
DF = 1
2
AK (DF lμ ®−êng trung b×nh cña AKC), ta cã 
BG BK = 
GD DF
( do DF // BK)  BG BK 2BK = 
GD DF AK
 (1) 
Mæt kh¸c CE DC - DE DC AD1 1
DE DE DE DE
     (V× AD = DC) 
 CE AE - DE DC AD1 1
DE DE DE DE
     
Hay CE AE - DE AE AB1 2 2
DE DE DE DF
      (v× AE
DE
= AB
DF
: Do DF // AB) 
Suy ra CE AK + BK 2(AK + BK)2 2
DE DE AK
    (Do DF = 1
2
AK)  CE 2(AK + BK) 2BK2
DE AK AK
   
(2) 
Tõ (1) vμ (2) suy ra BG
GD
 = CE
DE
  EG // BC 
Gäi giao ®iÓm cña EG vμ DF lμ O ta cã OG OE FO = = 
MC MB FM
     OG = OE 
Bμi tËp vÒ nhμ 
Bμi 1: 
 Cho tø gi¸c ABCD, AC vμ BD c¾t nhau t¹i O. §−êng th¼ng qua O vμ song song víi BC 
c¾t AB ë E; ®−êng th¼ng song song víi CD qua O c¾t AD t¹i F 
a) Chøng minh FE // BD 
b) Tõ O kÎ c¸c ®−êng th¼ng song song víi AB, AD c¾t BD, CD t¹i G vμ H. 
Chøng minh: CG. DH = BG. CH 
Bμi 2: 
Cho h×nh b×nh hμnh ABCD, ®iÓm M thuéc c¹nh BC, ®iÓm N thuéc tia ®èi cña tia BC sao 
cho BN = CM; c¸c ®−êng th¼ng DN, DM c¾t AB theo thø tù t¹i E, F. 
Chøng minh: 
a) AE2 = EB. FE 
b) EB =
2AN
DF
    . EF 
M
G
K
F
D E C
B
A
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 36
CHUYEÂN ÑEÀ 9 – CAÙC BAØI TOAÙN SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LÍ TALEÙT VAØ 
TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC 
A. Kieán thöùc: 
1. Ñònh lí Ta-leùt: 
* Ñònh lí Taleùt ABC
MN // BC
   
AM AN = 
AB AC
* Heä quaû: MN // BC  AM AN MN = 
AB AC BC
 
2. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc: 
ABC ,AD laø phaân giaùc goùc A  BD AB = 
CD AC
AD’laø phaân giaùc goùc ngoaøi taïi A: BD' AB = 
CD' AC
B. Baøi taäp vaän duïng 
1. Baøi 1: 
Cho ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phaân giaùc AD 
a) Tính ñoä daøi BD, CD 
b) Tia phaân giaùc BI cuûa goùc B caét AD ôû I; tính tæ soá: AI
ID
Giaûi 
a) AD laø phaân giaùc cuûa BAC neân BD AB c
CD AC b
  
 BD c BD c acBD = 
CD + BD b + c a b + c b + c
    
Do ñoù CD = a - ac
b + c
 = ab
b + c
b) BI laø phaân giaùc cuûa ABC neân AI AB ac b + cc : 
ID BD b + c a
   
2. Baøi 2: 
Cho ABC, coù B < 600 phaân giaùc AD 
a) Chöùng minh AD < AB 
b) Goïi AM laø phaân giaùc cuûa ADC. Chöùng minh raèng 
BC > 4 DM 
Giaûi 
a)Ta coù  
AADB = C + 
2
 > 
 A + C
2
 = 
0
0180 - B 60
2
 
 ADB > B  AD < AB 
 b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d 
Trong ADC, AM laø phaân giaùc ta coù 
DM AD = 
CM AC
 DM AD DM AD = = 
CM + DM AD + AC CD AD + AC
 
D' CB
A
D CB
A
a
c
b
I
D CB
A
M D BC
A
NM
CB
A
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 37
 DM = CD.AD CD. d
AD + AC b + d
 ; CD = ab
b + c
( Vaän duïng baøi 1)  DM = abd
(b + c)(b + d)
Ñeå c/m BC > 4 DM ta c/m a > 4abd
(b + c)(b + d)
 hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) 
Thaät vaäy : do c > d  (b + d)(b + c) > (b + d)2  4bd . Baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc c/m 
Baøi 3: 
Cho ABC, trung tuyeán AM, caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc AMB , AMC caét AB, AC 
theo thöù töï ôû D vaø E 
a) Chöùng minh DE // BC 
b) Cho BC = a, AM = m. Tính ñoä daøi DE 
c) Tìm taäp hôïp caùc giao dieåm I cuûa AM vaø DE neáu ABC coù 
BC coá ñònh, AM = m khoâng ñoåi 
d) ABC coù ñieàu kieän gì thì DE laø ñöôøng trung bình cuûa noù 
Giaûi 
a) MD laø phaân giaùc cuûa AMB neân DA MB
DB MA
 (1) 
 ME laø phaân giaùc cuûa AMC neân EA MC
EC MA
 (2) 
Töø (1), (2) vaø giaû thieát MB = MC ta suy ra DA EA
DB EC
  DE // BC 
b) DE // BC  DE AD AI
BC AB AM
  . Ñaët DE = x 
xm - x 2a.m2 x = 
a m a + 2m
  
c) Ta coù: MI = 1
2
 DE = a.m
a + 2m
 khoâng ñoåi  I luoân caùch M moät ñoaïn khoâng ñoåi neân 
taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính MI = a.m
a + 2m
 (Tröø giao ñieåm cuûa noù 
vôùi BC 
d) DE laø ñöôøng trung bình cuûa ABC DA = DB  MA = MB  ABC vuoâng ôû A
4. Baøi 4: 
Cho ABC ( AB < AC) caùc phaân giaùc BD, CE 
a) Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AB ôû 
K, chöùng minh E naèm giöõa B vaø K 
b) Chöùng minh: CD > DE > BE 
Giaûi 
a) BD laø phaân giaùc neân 
AD AB AC AE AD AE = < = 
DC BC BC EB DC EB
  (1) 
Maët khaùc KD // BC neân AD AK
DC KB
 (2) 
Töø (1) vaø (2) suy ra AK AE AK + KB AE + EB
KB EB KB EB
    AB AB KB > EB
KB EB
  
ED
M
I
CB
A
E
D
M
K
CB
A
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 38
 E naèm giöõa K vaø B 
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù  CBD = KDB (so le trong)  KBD = KDB 
 maø E naèm giöõa K vaø B neân KDB > EDB  KBD > EDB  EBD > EDB  EB < DE 
Ta laïi coù    CBD + ECB = EDB + DEC  DEC > ECB  DEC > DCE (Vì DCE = ECB ) 
Suy ra: CD > ED  CD > ED > BE 
5. Baøi 5: Cho ABC . Ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. 
Chöùng minh 
a. 
DB EC FA. . 1
DC EA FB
 . 
b. 1 1 1 1 1 1
AD BE CF BC CA AB
     . 
Giaûi 
a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa BAC neân ta coù: DB AB = 
DC AC
 (1) 
Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: EC BC = 
EA BA
 (2) ; FA CA = 
FB CB
 (3) 
Töø (1); (2); (3) suy ra: DB EC FA AB BC CA. . = . .
DC EA FB AC BA CB
= 1 
b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. 
Qua C kÎ ®−êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. 
Theo §L TalÐt ta cã: AD BA
CH BH
  BA.CH c.CH cAD .CH
BH BA + AH b + c
   
Do CH < AC + AH = 2b nªn: 2a
bcd
b c
  
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2a a
b c
d bc b c d b c
                 
Chøng minh t−¬ng tù ta cã : 1 1 1 1
2bd a c
     Vμ 
1 1 1 1
2cd a b
     Nªn: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2a b cd d d b c a c a b
                         
1 1 1 1 1 1 1.2
2a b cd d d a b c
         
1 1 1 1 1 1
a b cd d d a b c
      ( ®pcm ) 
Bμi tËp vÒ nhμ 
Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caùc phaân giaùc BD, CE 
a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE 
b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK 
c) Chöùng minh CE > BD 
www.vnmath.com 
H
F
E
D
CB
A
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 39
CHUYEÂN ÑEÀ 10 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG 
A. Kieán thöùc: 
* Tam giaùc ñoàng daïng: 
a) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.c.c) 
ABC A’B’C’  AB AC BC = = 
A'B' A'C' B'C'
b) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.g.c) 
ABC A’B’C’  AB AC = 
A'B' A'C'
 ;  A = A' 
c. Tröôøng hôïp ñoàng daïng thöù ba (g.g) 
ABC A’B’C’   A = A' ;  B = B' 
AH; A’H’laø hai ñöôøng cao töông öùng thì: A'H'
AH
 = k (Tæ soá ñoàng daïng); A'B'C'
ABC
S
S
 = K
2 
B. Baøi taäp aùp duïng 
Baøi 1: 
Cho ABC coù  B = 2 C , AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC 
b)Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc treân laø ba soá töï nhieân lieân tieáp thì 
moãi caïnh laø bao nhieâu? 
Giaûi 
Caùch 1: 
Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm E sao cho:BD = BC 
ACD ABC (g.g)  AC AD
AB AC
 
2AC AB. AD =AB.(AB + BD)  = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144  AC = 12 cm 
Caùch 2: 
Veõ tia phaân giaùc BE cuûa ABC  ABE ACB 
2AB AE BE AE + BE AC = AC = AB(AB + CB) 
AC AB CB AB + CB AB + CB
    = 8(8 + 10) = 144 
  AC = 12 cm 
b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c thì töø caâu a ta coù b2 = a(a + c) (1) 
Vì b > aneân coù theå b = a + 1 hoaëc b = a + 2 
+ Neáu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac  2a + 1 = ac  a(c – 2) = 1 
a = 1; b = 2; c = 3(loaïi) 
+ Neáu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4 
- Vôùi a = 1 thì c = 8 (loaïi) 
- Vôùi a = 2 thì c = 6 (loaïi) 
E
D
C
B
A
D
CB
A
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 40
- vôùi a = 4 thì c = 6 ; b = 5 
Vaäy a = 4; b = 5; c = 6 
Baøi 2: 
Cho ABC caân taïi A, ñöôøng phaân giaùc BD; tính BD 
bieát BC = 5 cm; AC = 20 cm 
Giaûi 
Ta coù CD BC 1 = 
AD AC 4
  CD = 4 cm vaø BC = 5 cm 
Baøi toaùn trôû veà baøi 1 
Baøi 3: 
Cho ABC caân taïi A vaø O laø trung ñieåm cuûa BC. Moät ñieåm O di ñoäng treân AB, laáy 
ñieåm E treân AC sao cho 
2OBCE = 
BD
. Chöùng minh raèng 
a) DBO OCE 
b) DOE DBO OCE 
c) DO, EO laàn löôït laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE, CED 
d) khoaûng caùch töø O ñeán ñoaïn ED khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB 
Giaûi 
a) Töø 
2OBCE = 
BD
  CE OB = 
OB BD
 vaø  B = C (gt)  DBO OCE 
b) Töø caâu a suy ra   23O = E (1) 
 Vì B, O ,C thaúng haøng neân    03O + DOE EOC 180  (2) 
trong tam giaùc EOC thì    02E + C EOC 180  (3) 
Töø (1), (2), (3) suy ra   DOE B C  
DOE vaø DBO coù DO OE = 
DB OC
 (Do DBO OCE) 
vaø DO OE = 
DB OB
 (Do OC = OB) vaø   DOE B C  
neân DOE DBO OCE 
c) Töø caâu b suy ra  1 2D = D  DO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE 
Cuûng töø caâu b suy ra  1 2E = E EO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc CED 
c) Goïi OH, OI laø khoaûng caùch töø O ñeán DE, CE thì OH = OI, maø O coá ñònh neân OH 
khoâng ñoåi OI khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB 
Baøi 4: (Ñeà HSG huyeän Loäc haø – naêm 2007 – 2008) 
Cho ABC caân taïi A, coù BC = 2a, M laø trung ñieåm BC, laáy D, E thuoäc AB, AC sao 
cho  DME = B 
a) Chöùng minh tích BD. CE khoâng ñoåi 
b)Chöùng minh DM laø tia phaân giaùc cuûa BDE 
c) Tính chu vi cuûa AED neáu  ABC laø tam giaùc ñeàu 
Giaûi 
21
3
2
1 H
I
O
E
D
CB
A
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 41
a) Ta coù     DMC = DME + CME = B + BDM , maø  DME = B(gt) 
neân  CME = BDM , keát hôïp vôùi  B = C (ABC caân taïi A) 
suy ra BDM CME (g.g) 
 2BD BM = BD. CE = BM. CM = a
CM CE
 khoâng ñoåi 
b) BDM CME  DM BD DM BD = = 
ME CM ME BM
 
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c)   MDE = BMD 
hay DM laø tia phaân giaùc cuûa BDE 
c) chöùng minh töông töï ta coù EM laø tia phaân giaùc cuûa DEC 
keû MH CE ,MI DE, MK DB thì MH = MI = MK  
DKM = DIM 
DK =DI  EIM = EHM EI = EH 
Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) 
ABC laø tam giaùc ñeàu neân suy ra CME cuûng laø tam giaùc ñeàu CH = MC
2 2
a 
 AH = 1,5a  PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a 
Baøi 5: 
Cho tam giaùc ABC, trung tuyeán AM. Qua ñieåm D thuoäc caïnh 
BC, veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AM, caét AB, AC taïi E vaø F 
a) chöùng minh DE + DF khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân BC 
b) Qua A veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC, caét FE taïi K. 
Chöùng minh raèng K laø trung ñieåm cuûa FE 
Giaûi 
a) DE // AM  DE BD BD = DE = .AM
AM BM BM
 (1) 
 DF // AM  DF CD CD CD = DF = .AM = .AM 
AM CM CM BM
 (2) 
Töø (1) vaø (2) suy ra 
DE + DF = BD CD .AM + .AM
BM BM
 = BD CD BC+ .AM = .AM = 2AM
BM BM BM
    khoâng ñoåi 
b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g)  FK KA = 
AM CM
 (3) 
EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = 
ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM
      (2) 
(Vì CM = BM) 
Töø (1) vaø (2) suy ra FK EK
AM AM
 FK = EK hay K laø trung ñieåm cuûa FE 
Baøi 6: (Ñeà HSG huyeän Thaïch haø naêm 2003 – 2004) 
Cho hình thoi ABCD caïnh a coù  0A = 60 , moät ñöôøng thaúng baát kyø qua C caét tia ñoái cuûa 
caùc tia BA, DA taïi M, N 
K
H
I
M
E
D
CB
A
K
F
E
D M
CB
A
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 42
a) Chöùng minh raèng tích BM. DN coù giaù trò khoâng ñoåi 
b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa BN vaø DM. Tính soá ño cuûa goùc BKD 
Giaûi 
a) BC // AN  MB CM = 
BA CN
(1) 
 CD// AM  CM AD = 
CN DN
 (2) 
Töø (1) vaø (2) suy ra 
2MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a
BA DN
 
b) MBD vaøBDN coù   MBD = BDN = 1200 
 MB MB CM AD BD = = 
BD BA CN DN DN
  (Do ABCD laø hình thoi 
coù  0A = 60 neân AB = BC = CD = DA)  MBD BDN 
Suy ra  1 1M = B . MBD vaøBKD coù  BDM = BDK vaø  1 1M = B neân   0BKD = MBD = 120 
Baøi 7: 
Cho hình bình haønh ABCD coù ñöôøng cheùo lôùn AC,tia Dx caét SC, AB, BC laàn löôït taïi 
I, M, N. Veõ CE vuoâng goùc vôùi AB, CF vuoâng goùc vôùi AD, BG vuoâng goùc vôùi AC. Goïi 
K laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua I. Chöùng minh raèng 
a) IM. IN = ID2 
b) KM DM = 
KN DN
c) AB. AE + AD. AF = AC2 
Giaûi 
a) Töø AD // CM  IM CI = 
ID AI
 (1) 
Töø CD // AN  CI ID 
AI IN
 (2) 
Töø (1) vaø (2) suy ra IM
ID
= ID
IN
 hay ID2 = IM. IN 
b) Ta coù DM CM DM CM DM CM = = = 
MN MB MN + DM MB + CM DN CB
  (3) 
Töø ID = IK vaø ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
 IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM = = = = 
IM IK IM IK IM IK KN IK
    KM IM CM CM = 
KN ID AD CB
  (4) 
Töø (3) vaø (4) suy ra KM DM = 
KN DN
c) Ta coù AGB AEC  AE AC= AB.AE = AC.AG
AG AB
 
 AB. AE = AG(AG + CG) (5) 
CGB AFC  AF CG CG = 
AC CB AD
 (vì CB = AD) 
AF . AD = AC. CG  AF . AD = (AG + CG) .CG (6) 
1
1 K
M
ND
C
B
A
I
K
F
G
E
M
D
C
BA N
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 43
Coäng (5) vaø (6) veá theo veá ta coù: 
AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG 
 AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 
Vaäy: AB. AE + AD. AF = AC2 
Baøi taäp veà nhaø 
Baøi 1 
Cho Hình bình haønh ABCD, moät ñöôøng thaúng caét AB, AD, AC laàn löôït taïi E, F, G 
Chöùng minh: AB AD AC + = 
AE AF AG
HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuoäc AC) 
Baøi 2: 
Qua ñænh C cuûa hình bình haønh ABCD, keû ñöôøng thaúng caét BD, AB, AD ôû E, G, F 
 chöùng minh: 
a) DE2 = FE
EG
. BE2 
b) CE2 = FE. GE 
(Gôïi yù: Xeùt caùc tam giaùc DFE vaø BCE, DEC vaø BEG) 
Baøi 3 
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH, trung tuyeán BM, phaân giaùc CD caét 
nhau taïi moät ñieåm. Chöùng minh raèng 
a) BH CM AD. . 1
HC MA BD
 
b) BH = AC 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 44
CHUYEÂN ÑEÀ 11 – PHÖÔNG TRÌNH BAÄC CAO 
A.Muïc tieâu: 
* Cuûng coá, oân taäp kieán thöùc vaø kyõ naêng giaûi caùc Pt baäc cao baèng caùch phaân tích thaønh 
nhaân töû 
* Khaéc saâu kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû vaø kyõ naêng giaûi Pt 
B. Kieán thöùc vaø baøi taäp: 
I. Phöông phaùp: 
* Caùch 1: Ñeå giaûi caùc Pt baäc cao, ta bieán ñoåi, ruùt goïn ñeå döa Pt veà daïng Pt coù veá traùi 
laø moät ña thöùc baäc cao, veá phaûi baèng 0, vaän duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc 
thaønh nhaân töû ñeå ñöa Pt veà daïng pt tích ñeå giaûi 
* Caùch 2: Ñaët aån phuï 
II. Caùc ví duï: 
1.Ví duï 1: Giaûi Pt 
 a) (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 
 ... 2x3 + 10x = 12  x3 + 5x – 6 = 0  (x3 – 1) + (5x – 5)  (x – 1)(x2 + x + 6) 
= 0 
 2
2
x = 1
x - 1 = 0
x 11 23x + x + 6 = 0 x + 0
2 4
          
 (Vì 
21 23x + 0
2 4
      voâ nghieäm) 
b) x4 + x2 + 6x – 8 = 0 (1) 
Veá phaûi cuûa Pt laø moät ña thöùc coù toång caùc heä soá baèng 0, neân coù moät nghieäm x = 1 neân 
coù nhaân töû laø x – 1, ta coù 
(1)  (x4 – x3) + (x3 – x2) + (2x2 – 2x) + (8x – 8) = 0 
  ... (x – 1)(x3 + x2 + 2x + 8)  (x – 1)[(x3 + 2x2) – (x2 + 2x) + (4x – 8) ] = 0 
  (x – 1)[x2(x + 2) – x(x + 2) + 4(x + 2) = 0  (x – 1)(x + 2)(x2 – x + 4) = 0 .... 
c) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8 
 x3 – 3x2 + 3x – 1 + 8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 27x3 – 8 = 0 
 - 18x3 + 33x2 + 57 x + 18 = 0  6x3 - 11x2 - 19x - 6 = 0 (2) 
Ta thaáy Pt coù moät nghieäm x = 3, neân veá traùi coù nhaân töû x – 3: 
(2)  (6x3 – 18x2) + (7x2 – 21x) + (2x – 6) = 0 
 6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0  (x – 3)(6x2 + 7x + 2) = 0 
 (x – 3)[(6x2 + 3x) + (4x + 2)] = 0  (x – 3)[3x(2x + 1) + 2(2x + 1)] = 0 
 (x – 3)(2x + 1)(3x + 2) ..... 
d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) = 24  [(x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) + 1] – 25 = 0 
 (x2 + 5x - 1)2 – 25 = 0  (x2 + 5x - 1 + 5)( (x2 + 5x - 1 – 5) = 0 
 (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x – 6) = 0  [(x2 + x) +(4x + 4)][(x2 – x) + (6x – 6)] = 0 
 (x + 1)(x + 4)(x – 1)(x + 6) = 0 .... 
e) (x2 + x + 1)2 = 3(x4 + x2 + 1)  (x2 + x + 1)2 - 3(x4 + x2 + 1) = 0 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 45
 (x2 + x + 1)2 – 3(x2 + x + 1)( x2 - x + 1) = 0 
 ( x2 + x + 1)[ x2 + x + 1 – 3(x2 - x + 1)] = 0  ( x2 + x + 1)( -2x2 + 4x - 2) = 0 
 (x2 + x + 1)(x2 – 2x + 1) = 0  ( x2 + x + 1)(x – 1)2 = 0... 
f) x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2  (x5 – 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 
 (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 
 (x – 2) (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 
+) x – 2 = 0  x = 2 
+) x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0  (x4 + x3) + (x + 1) + x2 = 0  (x + 1)(x3 + 1) + x2 = 0 
 (x + 1)2(x2 – x + 1) + x2 = 0  (x + 1)2 [(x2 – 2.x. 1
2
 + 1
4
) + 3
4
] + x2 = 0 
 (x + 1)2 
21 3x + + 
2 4
       
 + x2 = 0 Voâ nghieäm vì (x + 1)2 
21 3x + + 
2 4
         0 nhöng 
khoâng xaåy ra daáu baèng 
Baøi 2: 
a) (x2 + x - 2)( x2 + x – 3) = 12  (x2 + x – 2)[( x2 + x – 2) – 1] – 12 = 0 
 (x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = 0 
Ñaët x2 + x – 2 = y Thì 
(x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = 0  y2 – y – 12 = 0  (y – 4)(y + 3) = 0 
* y – 4 = 0  x2 + x – 2 – 4 = 0  x2 + x – 6 = 0  (x2 + 3x) – (2x + 6) = 0 
  (x + 3)(x – 2) = 0.... 
* y + 3 = 0  x2 + x – 2 + 3 = 0  x2 + x + 1 = 0 (voâ nghieäm) 
b) (x – 4)( x – 5)( x – 6)( x – 7) = 1680  (x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 
Ñaët x2 – 11x + 29 = y , ta coù: 
(x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680  (y + 1)(y – 1) = 1680  y2 = 1681  y =  
41 
y = 41  x2 – 11x + 29 = 41  x2 – 11x – 12 = 0 (x2 – x) + (12x – 12) = 0 
 (x – 1)(x + 12) = 0..... 
* y = - 41  x2 – 11x + 29 = - 41  x2 – 11x + 70 = 0  (x2 – 2x. 11
2
+121
4
)+159
4
 = 0 
c) (x2 – 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) = 1 (3) 
Ñaët x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = y  0, ta coù 
(3)  y2 – 15(y + 1) – 1 = 0  y2 – 15y – 16 = 0  (y + 1)(y – 15) = 0 
Vôùi y + 1 = 0  y = -1 (loaïi) 
Vôùi y – 15 = 0  y = 15  (x – 3)2 = 16  x – 3 =  4 
+ x – 3 = 4  x = 7 
+ x – 3 = - 4  x = - 1 
d) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0 (4) 
Ñaët x2 + 1 = y thì 
(4)  y2 + 3xy + 2x2 = 0  (y2 + xy) + (2xy + 2x2) = 0  (y + x)(y + 2x) = 0 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 46
+) x + y = 0  x2 + x + 1 = 0 : Voâ nghieäm 
+) y + 2x = 0  x2 + 2x + 1 = 0  (x + 1)2 = 0  x = - 1 
Baøi 3: 
a) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) = 18  (2x + 1)(2x + 2)2(2x + 3) = 72. (1) 
Ñaët 2x + 2 = y, ta coù 
(1)  (y – 1)y2(y + 1) = 72  y2(y2 – 1) = 72 
 y4 – y2 – 72 = 0 
Ñaët y2 = z  0 Thì y4 – y2 – 72 = 0  z2 – z – 72 = 0  (z + 8)( z – 9) = 0 
* z + 8 = 0  z = - 8 (loaïi) 
* z – 9 = 0  z = 9  y2 = 9  y =  3 x = ... 
b) (x + 1)4 + (x – 3)4 = 82 (2) 
Ñaët y = x – 1 x + 1 = y + 2; x – 3 = y – 2, ta coù 
(2)  (y + 2)4 + (y – 2)4 = 82 
  y4 +8y3 + 24y2 + 32y + 16 + y4 - 8y3 + 24y2 - 32y + 16 = 82 
  2y4 + 48y2 + 32 – 82 = 0  y4 + 24y2 – 25 = 0 
Ñaët y2 = z  0  y4 + 24y2 – 25 = 0  z2 + 24 z – 25 = 0  (z – 1)(z + 25) = 0 
+) z – 1 = 0  z = 1 y =  1 x = 0; x = 2 
+) z + 25 = 0  z = - 25 (loaïi) 
Chuù yù: Khi giaûi Pt baäc 4 daïng (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thöôøng ñaët aån phuï y = x + a + b
2
c) (4 – x)5 + (x – 2)5 = 32  (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32 
Ñaët y = x – 3 x – 2 = y + 1; x – 4 = y – 1; ta coù: 
 (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32  (y + 1)5 - (y – 1)5 = 32 
  y5 + 5y4 + 10y3 + 10y2 + 5y + 1 – (y5 - 5y4 + 10y3 - 10y2 + 5y - 1) – 32 = 0 
  10y4 + 20y2 – 30 = 0  y4 + 2y2 – 3 = 0 
Ñaët y2 = z  0  y4 + 2y2 – 3 = 0  z2 + 2z – 3 = 0  (z – 1)(z + 3) = 0 ........ 
d) (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 
Ñaët x – 7 = a; x – 8 = b ; 15 – 2x = c thì - c = 2x – 15  a + b = - c , Neân 
(x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4  a4 + b4 = c4  a4 + b4 - c4 = 0  a4 + b4 – (a + b)4 = 
0 
 4ab(a2 + 3
2
ab + b2) = 0  
2
23 74ab a + b + b 
4 16
       
= 0  4ab = 0 
(Vì 
2
23 7a + b + b
4 16
     0 nhöng khoâng xaåy ra daáu baèng)  ab = 0  x = 7; x = 8 
e) 6x4 + 7x3 – 36x2 – 7x + 6 = 0  2 21 16 x 7 x - 36 0x x
             
(Vì x = 0 khoâng laø nghieäm). Ñaët 1x - 
x
 = y  2 21x x = y
2 + 2 , thì 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 47
2
2
1 16 x 7 x - 36 0
x x
              6(y
2 + 2) + 7y – 36 = 0  6y2 + 7y – 24 = 0 
 (6y2 – 9y) + (16y – 24) = 0  (3y + 8 )(2y – 3) = 0 
+) 3y + 8 = 0  y = - 8
3
 1x - 
x
 = - 8
3
  ... (x + 3)(3x – 1) = 0
x = - 3x + 3 = 0
13x - 1 = 0 x = 
3
   
+) 2y – 3 = 0  y = 3
2
 1x - 
x
 = 3
2
 ... (2x + 1)(x – 2) = 0
x = 2x - 2 = 0
12x + 1 = 0 x = - 
2
   
Baøi 4: Chöùng minh raèng: caùc Pt sau voâ nghieäm 
a) x4 – 3x2 + 6x + 13 = 0  ( x4 – 4x2 + 4) +(x2 + 6x + 9) = 0  (x2 – 2)2 + (x + 3)2 = 
0 
Veá traùi (x2 – 2)2 + (x + 3)2  0 nhöng khoâng ñoàng thôøi xaåy ra x2 = 2 vaø x = -3 
b) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0  (x – 1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 
 x7 – 1 = 0  x = 1 
x = 1 khoâng laø nghieäm cuûa Pt x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 
Baøi taäp veà nhaø: 
Baøi 1: Giaûi caùc Pt 
a)(x2 + 1)2 = 4(2x – 1) 
HD: Chuyeån veá, trieån khai (x2 + 1)2, phaân tích thaønh nhaân töû: (x – 1)2(x2 + 2x + 5) = 0 
b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (Nhaân 2 nhaân töû vôùi nhau, aùp duïng PP ñaët aån phuï) 
c) (12x + 7)2(3x + 2)(2x + 1) = 3 (Nhaân 2 veá vôùi 24, ñaët 12x + 7 = y) 
d) (x2 – 9)2 = 12x + 1 (Theâm, bôùt 36x2) 
e) (x – 1)4 + (x – 2)4 = 1 ( Ñaët y = x – 1,5; Ñs: x = 1; x = 2) 
f) (x – 1)5 + (x + 3)5 = 242(x + 1) (Ñaët x + 1 = y; Ñs:0; -1; -2 ) 
g) (x + 1)3 + (x - 2)3 = (2x – 1)3 
Ñaët x + 1 = a; x – 2 = b; 1 - 2x = c thì a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc 
h) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 (Chia 2 veá cho x2; Ñaët y = 1x + 
x
 ) 
i) x5 + 2x4 + 3x3 + 3x2 + 2x + 1 = 0 (Veá traùi laø ña thöùc coù toång caùc heä soá baäc chaün 
baèng toång caùc heä soá baäc leû...) 
Baøi 2: Chöùng minh caùc pt sau voâ nghieäm 
a) 2x4 – 10x2 + 17 = 0 
(Phaân tích veá traùi thaønh toång cuûa hai bình phöông) 
b) x4 – 2x3 + 4x2 – 3x + 2 = 0 
(Phaân tích veá traùi thaønh tích cuûa 2 ña thöùc coù giaù trò khoâng aâm....) 
www.VNMATH.com
www.vnmath.com 
 48
CHUYEÂN ÑEÀ 12 – VEÕ ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG ÑEÅ TAÏO 
THAØNH CAÙC CAËP ÑOAÏN THAÚNG TYÛ LEÄ 
A. Phöông phaùp: 
Trong caùc baøi taäp vaän duïng ñònh lí Taleùt. Nhieàu khi ta caàn veõ theâm ñöôøng phlaø moät 
ñöôøng thaúng song song vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc,. Ñaây laø moät caùch veõ ñö